案例 078 首单奖与连续在线奖

案例 078　首单奖与连续在线奖

摘要：平台挂了两个奖励：早 7 点前跑首单给 8 元，连续在线 4 h 给 15 元；早起折算成本 5 元。两个奖励看上去互不相干，实际是嵌套的——早班必须落在连续段之内（\(a\le c\)）。写成两个独立约束，模型会给出"拿了首单奖却只在线 1 h"的假解 18.81 元；补上 \(a\le c\) 后同一场景只剩 15.81 元，虚高 3.00 元，被平台追回 8 元后倒比不报名还少 5 元。完整模型的最优解是 184.0 元：10.50 小时全在线，首单奖与连续奖一起拿。四组合对比显示"都拿"确实最优，但它对"只连续"的领先只有 3.0 元——首单奖扣掉 5 元早起成本后净贡献不过 3 元，占净收益的 1.6%。

关键词：嵌套依赖；0-1 逻辑约束；奖励门槛；阶跃灵敏度；可行性审计

1　问题提出

1.1　问题是什么

一条街上的外卖小哥每天有 10.5 小时可以上线，平均每小时出 3.1 单、每单 5.1 元，折成劳动收入 15.81 元/h。平台当天挂两条奖励，条款写在两张不同的海报上：

• 首单奖：7 点前完成当日首单，奖 8 元。代价是早起，折算成本 5 元（睡眠、早餐、通勤提前）。
• 连续在线奖：连续在线满 4 h 且在段内跨越午高峰（11:30—13:30），奖 15 元。

表 1　条款要素与折算口径（金额单位：元）

条款	触发条件	金额	折算成本	净贡献	模型变量
首单奖	7 点前完成当日首单	8.0	5.0（早起）	3.0	\(a\)
连续在线奖	连续 4 h 且跨午高峰	15.0	0.0	15.0	\(c\)
劳动收入	每在线 1 h 出 3.1 单	15.81/h	0.0	15.81/h	\(h\)
嵌套依赖	早班必在连续段内	—	—	—	\(a\le c\)

表 1 第四行是本案例的全部难点："早班"不是一个独立可选项，它是"连续段"的子集。谁在 7 点前上线，谁就必须一直在线上待到这段连续时长收尾；两个奖励不是"加法关系"，是"包含关系"。

1.2　为什么要优化

第一，奖励是一次性转移，劳动收入是边际量，两者的量纲不同，人脑很容易把 8 元、15 元当成"每小时多 8 元、15 元"来算，从而高估奖励、低估在线时长。第二，门槛会把可行域切碎。4 h 的门槛看起来只是"多待 3 小时"，但它与"7 点前首单"叠加后，把连续段的起点钉死在 6:00、终点钉死在 13:30——条款门槛 4 h 在时间轴上被顶成 7.5 h。第三，漏写一条逻辑约束不会有任何报错。\(a\le c\) 漏掉时，模型照样求解、照样给出最优值，只有把时间卡紧，假解才会浮出来（见 4.3 节）。这类"静默错误"比 infeasible 危险得多。

1.3　Gurobi 如何求解

决策只有三个：\(a\)、\(c\) 两个 0-1 变量与一个连续变量 \(h\)。单次求解在根节点就收敛，墙钟不到 0.05 s。真正的工作量在扫描：门槛 7 点、奖金 6 点、二维网格 20 点、四组合 4 点、假解对照 2 点，共 40 次求解，全部墙钟 2 s。因为模型极小，本文所有对比都直接改约束重解，不用对偶值推。

2　数学模型

\(h\) 为当日在线小时，\(a\in\{0,1\}\) 表示是否跑早班，\(c\in\{0,1\}\) 表示是否完成连续段，\(\bar{T}\) 为条款门槛，\(\bar{h}\) 为在线上限。

2.1　目标函数

\[\max\ Z=8a+15c+5.1\times 3.1\,h-5a\tag{1} \]

式 (1) 里 8 元与 15 元都是一次性的，只有 \(5.1\times 3.1h=15.81h\) 随小时线性增长。这个结构决定了后面的全部结论：奖励改变的是"值不值得上线"，不改变"上线后每小时值多少"，所以只要上限松，最优时长就永远顶在上限上。

2.2　约束条件

\[h\ge 4c,\qquad h\le 10.5\tag{2} \]

\[a\le c\tag{3} \]

\[a,c\in\{0,1\},\qquad h\ge 0\tag{4} \]

式 (2) 是条款原文：连续段至少 4 h，全天不超过 10.5 h。式 (3) 是本案例的核心——早班必须落在连续段内。它不是"额外的好意"，而是条款的语法：首单奖要求"7 点前上线"，连续奖要求"连续在线"，两条叠加意味着 7 点前的那一小时已经被算进连续段，不能单独存在。式 (4) 是变量域。

2.3　时间轴上的真实门槛

\[h\ge 7.5\,c,\qquad 7.5=13.5-6.0\tag{5} \]

\[h_{\min}(c)=\begin{cases}\max\left(\bar{T},7.5\right), & c=1\\ 0, & c=0\end{cases}\tag{6} \]

式 (5) 把条款翻成时间轴：连续段必须从 6:00 开始（否则赶不上首单奖窗）、必须在 13:30 之后结束（否则跨不过午高峰），于是段长下界是 \(13.5-6.0=7.5\) h，而不是条款写的 4 h。式 (6) 给出"拿奖所需的最短开工时长"：\(c=1\) 时它等于 \(\max(\bar{T},7.5)\)，\(c=0\) 时为 0。这个分段函数就是图 5 右轴那条阶梯的解析形式，也是"门槛在 4 到 7.5 之间怎么调都不动"的原因。

2.4　规模与性质

3 个决策变量、4 条约束，规模可以忽略；性质上它是纯逻辑的 0-1 组合问题：\(h\) 的最优值由"\(c\) 取 0 还是 1"决定，而 \(c\) 的取舍由 \(15-15.81\times(7.5-h^{\circ})\) 的正负决定。所以整张解空间只有 4 个点（图 3 的四根柱），不存在内点最优。

2.5　漏掉嵌套约束后的模型

\[\max\ Z=8a+15c+15.81\,h-5a\quad \mathrm{s.t.}\ h\ge 4c,\ h\le 10.5\tag{7} \]

式 (7) 是反面教材：删掉 \(a\le c\)，\(a\) 与 \(c\) 各自独立。它在本案例的基准参数下恰好也给出 184.0 元（因为 \(c\) 本来就取 1），错误被掩盖；一旦当天只剩 1 h 可用，它立刻报出 \(a=1,c=0,h=1\) 的 18.81 元。这是最典型的静默错误：最优值对正确，可行域错。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

核心三行：

a = m.addVar(vtype=GRB.BINARY); c = m.addVar(vtype=GRB.BINARY)
h = m.addVar(lb=0, ub=min(HMAX, hcap))
m.addConstr(h >= max(T, 7.5) * c)   # 条款门槛与时间轴几何合并
m.addConstr(a <= c)                 # 嵌套依赖，写成一条，不要分散
m.setObjective((B1 - E1) * a + B2 * c + R0 * h, GRB.MAXIMIZE)

第一个细节：\(h\ge 4c\) 与 \(h\ge 7.5c\) 不必都写。\(7.5c\) 更强，直接写它；但如果只写 4 h 而忘了时间轴，模型会允许"6:00 上线、10:00 收工"的段，而这段根本没跨过午高峰，属于把条款读漏了。第二个细节：\(a\le c\) 必须写成一条约束，不能写成"\(a\) 的可行域是 \(c=1\)"再加一条别的——分散写容易出现"某条分支漏改"的漏洞。第三个细节：假解对照要把 link 做成开关，用同一个函数、同一份数据、只翻一个布尔量，才能保证两次求解的差异只来自那条约束。

3.2　求解结果

表 2　四种 0-1 组合的净收益（金额单位：元）

组合	\(a\)	\(c\)	在线小时	劳动收入	奖励	净收益	判定
都不拿	0	0	10.50	166.0	0.0	166.0	可行
只首单	1	0	—	—	8.0	—	违反 \(a\le c\)
只连续	0	1	10.50	166.0	15.0	181.0	可行
两个都拿	1	1	10.50	166.0	23.0	184.0	最优

表 2 是全部答案。四行里第二行不可行，这正是本案例的教学点；第四行 184.0 元最优，比第三行只多 3.0 元。"都拿"确实是最优，但优势薄得像一张纸：首单奖 8 元减去 5 元早起成本，净贡献 3.0 元，只占净收益的 1.6%。若早起成本涨到 8 元（多睡一小时的价值），这个优势就归零——等价于图 7 里首单奖跌回 5 元的那道台阶。

4　结果分析

图 1　奖励条款的时间轴与嵌套关系：早班窗嵌在连续段之内

4.1　结构：条款的时间轴形态　图 1 把三条信息叠在一根时间轴上：橙色带是 7 点前的首单奖窗，蓝色带是 11:30—13:30 的午高峰，两根棒棒糖分别是 8 元与 15 元，灰色矮棒是 5 元早起成本。箭头标出 \(a\le c\) 的方向：早班不是独立的一段，它落在连续段内部。看懂这张图，就等于看懂了"为什么 4 h 的门槛会变成 7.5 h"——段要同时罩住 6:00 的首单和 13:30 的午高峰末，长度被两头夹住。

图 2　在线小时与净收益：4 h 是条款门槛，7.5 h 才是真正可拿奖的最短段

4.2　小时—净收益：两条平行线　图 2 的三条线在 7.5 h 处同时起跳：不拿奖的线从原点直线上升，只连续奖的线在 7.5 h 处跳 15 元，都拿的线跳 18 元。两条奖励线是平行的，间距恒为 3 元——这就是首单奖的全部净贡献。图里 4 h 的竖线（条款门槛）与 7.5 h 的竖线（跨高峰最短段）相距 3.5 h，中间的区间是"看起来够门槛、实际拿不到奖"的陷阱带。

图 3　四种 0-1 组合与漏约束假解：只首单在 a ≤ c 下不可行

4.3　四组合与假解　图 3 是主图。五根柱：都不拿 166.0 元、只首单不可行（违反 \(a\le c\)）、只连续 181.0 元、都拿 184.0 元、以及最右边那根矮柱——漏掉 \(a\le c\) 后在"只有 1 h"场景下算出的假解 18.81 元。假解看起来小，是因为它偷偷把 10.5 h 缩成 1 h；把它和"老老实实跑 1 小时"的 15.81 元比，账面虚高 3.00 元（正好是 8−5）；平台核验连续时长后追回 8 元，实际到手 10.81 元，比不报名还少 5 元。假解的危害不在数值大小，在于它把"不可行的方案"包装成了"最优方案"。

图 4　当日时序：连续段 7.5 h 跨午高峰，晚段补 3 h，累计收益阶梯上行

4.4　时序：一天的形状　图 4 上半是在线段：6:00 上线，一连 7.5 h 到 13:30，中间跨过午高峰；休息 3 h 后 16:30 再上，19:30 收工，合计 10.5 h。下半是累计净收益：6:00 先掉 5 元（早起成本），6:30 首单完成跳 8 元，之后每半小时稳定 +7.9 元，13:30 段满再跳 15 元，收工在 184.0 元。奖励的两级台阶在累计曲线上是两道明显的竖线，它们的斜率是无穷大，而劳动收入的斜率恒为 15.81 元/h——两种钱的性质完全不同。

图 5　连续奖门槛扫描：净收益在 10.5 h 处阶跃下掉，最短开工时长阶梯上抬

4.5　主灵敏度：门槛扫描　图 5 横轴是连续奖门槛，从 3 h 扫到 11.5 h。左轴净收益在 3—10.5 h 之间完全不动（恒为 184.0 元），到 11.5 h 一步掉 18.0 元；右轴"拿奖所需最短开工时长"在 3—6 h 之间被时间轴钉在 7.5 h 不动，8 h 处抬到 8，10.5 h 处抬到 10.5。两条曲线都是阶梯，没有一段是斜的：门槛从 3 调到 4，骑手什么都不用改；从 6 调到 8，才真的要多待 0.5 h。这就是"离散跳变"的含义——参数连续地变，解只在几个点上变。

图 6　可用时长与门槛的二维网格：左下角无奖区，右上角可行

4.6　二维：可用时长 x 门槛　图 6 是 5x4 的网格。左下角（可用 1—6 h）全部落在"无奖区"：无论门槛是 3 还是 6，只要当天凑不出 7.5 h 的连续段，15 元一分拿不到，收益只剩 15.81—94.86 元的纯劳动收入。跨过 7.5 h 的红线后，整行突然跳到 184.0 元量级。这张图说明"门槛 4 h"是个伪参数：真正的分界线是横着的那条 7.5 h，不是竖着的任何一条。

图 7　首单奖额扫描：金额线性变化，跑不跑早班是 0/1 阶跃

4.7　第三维：首单奖额　图 7 把首单奖从 3 元扫到 14 元。净收益是一条斜率 1 的直线（181.0 元到 190.0 元），但右轴的 \(a\) 在 5 元处是一道垂直的台阶：\(B<5\) 时早起亏本，\(a\) 从 1 掉到 0。金额是连续的，参与是离散的——这是所有"门槛型激励"的共同形状，也是本案例与普通定价问题的分野。

图 8　时长—净收益前沿与两段不可行区

4.8　前沿与不可行区　图 8 横轴在线小时，三条前沿在 7.5 h 处一起向上跳 18/15/0 元。左侧灰色区（\(h<7.5\)）里三条线重合，因为奖励全拿不到；右侧粉色区（\(h>10.5\)）不可行。帕累托前沿在这里是"两段直线 + 一个断点"，没有曲率，也没有权衡：多跑一小时永远多赚 15.81 元，直到撞上 10.5 h 的硬墙。

图 9　单量波动下的净收益分布

4.9　分布：单量波动　图 9 给单量密度加 7% 的正态扰动，跑 4000 次。净收益均值 184.0 元、标准差 11.7 元、P5 164.2 元、P95 202.8 元。均值与确定性解 184.0 元几乎重合，因为奖励是常数、劳动收入对密度是线性的，期望不被扭曲；但两端拉开 38.6 元，这才是"今天能赚多少"的真实口径。奖励 23 元在这里的作用是抬高整条分布，而不是压缩波动。

图 10　净收益的条款分解：劳动收入 166 元，奖励 23 元，成本 5 元

4.10　净收益分解　图 10 把 184.0 元拆成四块：劳动收入 166.0 元、首单奖 8 元、连续奖 15 元、早起成本 −5 元。奖励合计 23 元，占净收益 12.5%。看上去奖励贡献了一成多，但扣掉成本后的净贡献只有 18 元（9.8%），其中 15 元还绑着 7.5 h 的在线承诺。真正决定收入的仍是那 166.0 元劳动收入——奖励是"把已经在线上的人留住"的工具，不是"让人上线"的理由。

5　结论

1. 奖励条款是嵌套的，不是并列的。 \(a\le c\) 一条约束就把"早班"锚定在连续段内。漏掉它，基准解的最优值不变（仍是 184.0 元），但可行域已经错了——这就是最危险的静默错误。
2. 漏约束的假解虚高 3.00 元。 只有 1 h 可用时，假模型报 18.81 元（\(a=1,c=0,h=1\)），真模型只有 15.81 元；追回 8 元首单奖后到手 10.81 元，比不报名少 5 元。虚高的部分正好是"8 元奖金 − 5 元成本"。
3. "都拿"是最优，但只赢 3.0 元。 184.0 元对 181.0 元。首单奖的净贡献被 5 元早起成本吃掉大半，只占净收益 1.6%；早起成本一旦涨到 8 元，这个优势就归零（图 7 的台阶）。
4. 4 h 的门槛是伪参数，真门槛是 7.5 h。 6:00 起、13:30 止的时间轴几何把段长下界顶到 7.5 h，门槛在 3—6 h 之间怎么调，最优解一动不动（图 5、图 6）。条款写的数字和条款真正的约束力，差着 3.5 小时。
5. 阶梯出现在"是否参与"和"最短开工时长"上，不在"最优时长"上。 因为 15.81 > 0，最优时长永远顶在 10.5 h；门槛越过 10.5 h 时，连续奖整块消失，净收益一步掉 18.0 元而时长不变（图 5 右端）。理解这一点，才不会把"多跑一小时"和"多拿一笔奖"混为一谈。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.