案例 077 周末该多跑还是多歇

案例 077　周末该多跑还是多歇

摘要：周六单量是平日的 1.25 倍、单价 5.50 元（比平日高 0.4 元），毛收益 21.31 元/h，看上去周末该把 12 小时跑满。但疲劳不是当天的账：\(F_{t}=0.85F_{t-1}+h_{t}\) 把每一天的小时都带进后面所有天，折扣 \((1-0.02F_{t})\) 在疲劳高位时会把收入砍到三成。把单日 12 小时、一周 66 小时、疲劳上限 40 三条约束一起写进模型，最优排班是 11.3/7.4/5.5/4.7/5.9/10.7/11.7 小时，合计 57.13 小时——66 小时的额度根本没用完；周六只排 10.65 小时而不是 12 小时，周净收益 491.0 元。同一组数据，每天均摊 9.43 小时得 466.5 元、周末堆满得 470.7 元，分别比优化少 24.5 与 20.3 元。

关键词：多期疲劳递推；分段线性化；时长分配；影子价格；边际收益递减

1　问题提出

1.1　问题是什么

一周七天，每天最多在线 12 小时，一周合计不超过 66 小时。单量系数以平日为 1.00：周二周三 0.98，周五 1.08，周六 1.25、周日 1.05；单价平日 5.10 元，周六 5.50 元（+0.4）、周日 5.30 元。折算成无疲劳的小时毛收益，周六 21.31 元/h，平日 15.81 元/h，差 5.50 元/h。

表 1　七天单量系数、单价与最优排班（金额单位：元）

日序	星期	单量系数	单价	毛收益/h	最优小时	疲劳 F	折扣因子	净收益
1	周一	1.00	5.10	15.81	11.26	11.26	0.775	137.9
2	周二	0.98	5.10	15.49	7.44	17.01	0.660	76.1
3	周三	0.98	5.10	15.49	5.49	19.95	0.601	51.1
4	周四	1.00	5.10	15.81	4.72	21.68	0.566	42.3
5	周五	1.08	5.10	17.07	5.87	24.29	0.514	51.5
6	周六	1.25	5.50	21.31	10.65	31.30	0.374	84.9
7	周日	1.05	5.30	17.25	11.70	38.30	0.234	47.2

直觉会让人把周六、周日各堆满 12 小时，剩下的 42 小时摊给五个工作日。表 1 的模型解否掉了这个直觉：周六只要 10.65 小时，周日 11.70 小时最多，周一 11.26 小时次之，周四最少（4.72 小时）。

1.2　为什么要优化

第一，疲劳是跨期的。今天的小时按 0.85 的比例留到明天，七天下来权重和是 4.671 倍——一周 60 小时不是"每天 8.6 小时"，而是"某一天的 8.6 小时会在后面变成 8.6、7.3、6.2、5.3……的连续负担"，这个几何级数人脑算不准。第二，边际收益也不是常数。多跑一小时的收入是 \(r_{t}(1-0.02F_{t})\)，但它同时把当天的折扣再压低 \(0.02r_{t}h_{t}\)、把后面所有天的折扣压低 \(0.02\times0.85^{s-t}r_{s}h_{s}\)。三项一减，周六的第 12 小时边际是 -1.15 元——负的。第三，约束之间会互相"抵消"。66 小时的额度与 40 的疲劳上限不是两个独立的天花板，它们谁先到谁说了算；本案例里两个都没到，先用完的是"划算的小时"。

1.3　Gurobi 如何求解

决策是 7 个连续变量 \(h_{t}\)；疲劳 \(F_{t}\) 由递推等式定义，不是独立决策；折扣因子用 addGenConstrPWL 在 9 个折点上定义为 \(F_{t}\) 的分段线性函数；目标里的 \(h_{t}\cdot g_{t}\) 是一条双线性约束，靠 NonConvex=2 打开空间分支。7 个双线性项、21 个变量，单次求解 0.5 秒。真正花时间的是扫描：疲劳上限 6 点、总时长 8 点、衰减系数 6 点、周末系数 6 点、二维网格 20 点，共 40 余次求解，全部墙钟 25 s。

2　数学模型

\(d_{t}\) 为单量系数，\(p_{t}\) 为单价（元/单），\(h_{t}\) 为在线小时，\(F_{t}\) 为疲劳累积，\(g_{t}\) 为折扣因子，\(e_{t}\) 为疲劳折算后的有效小时，\(r_{t}=3.1d_{t}p_{t}\) 为无疲劳小时毛收益，\(\bar{F}\) 为疲劳上限，\(\bar{T}\) 为总时长额度。

2.1　目标函数

\[F_{t}=0.85\,F_{t-1}+h_{t},\qquad F_{0}=0,\qquad t=1,\dots,7\tag{1} \]

\[\max\ Z=\sum_{t=1}^{7}3.1\,d_{t}\,h_{t}\,p_{t}\left(1-0.02F_{t}\right)\tag{2} \]

式 (1) 是全案例的骨架：一个等式把七天的决策串成一条链。\(F_{t}\) 没有独立的经济含义，它是历史小时按 \(0.85^{t-s}\) 的加权和；写成递推而不是求和式，是因为约束 \(F_{t}\le40\) 要逐日成立，递推形式天然给出每一天的疲劳水平，也让"今天多跑一小时"的后果自动落到后面每一天上。式 (2) 中 \(3.1d_{t}h_{t}\) 是单量（每小时 3.1 单），乘单价得毛收入，再乘折扣。周六的 \(d\)、\(p\) 同时抬高这个系数，但折扣也按同一系数放大绝对损失——这正是"系数最高的那天未必最该多跑"的根源。

2.2　约束条件

\[0\le h_{t}\le 12,\qquad \sum_{t=1}^{7}h_{t}\le 66\tag{3} \]

\[F_{t}\le 40,\qquad t=1,\dots,7\tag{4} \]

\[g(F)=1-0.02F\ \ \Longleftrightarrow\ \ \mathrm{PWL}\left(F;\,0,10,20,\dots,80\right)\tag{5} \]

\[e_{t}=h_{t}\,g_{t},\qquad g_{t}=g\left(F_{t}\right),\qquad e_{t}\ge 0\tag{6} \]

式 (3) 是两条容量，式 (4) 是疲劳上限。式 (5) 把折扣因子写成 \(F\) 的分段线性函数：原函数本身是线性的，9 个折点、8 段，PWL 是精确表示而不是近似——这里的 PWL 不是为了拟合曲率，而是为了让折扣因子成为一个可被约束、可被检验的变量。式 (6) 是双线性项，\(h_{t}\) 与 \(g_{t}\) 都是变量，需要辅助变量 \(e_{t}\) 承载。

\[h^{\mathrm{uni}}=\frac{66}{7}=9.43,\qquad h^{\mathrm{wknd}}=\left(8.4,8.4,8.4,8.4,8.4,12,12\right)\tag{7} \]

\[m_{t}=r_{t}\left(1-0.02F_{t}\right)-0.02\,r_{t}h_{t}-0.02\sum_{s>t}0.85^{\,s-t}r_{s}h_{s}\tag{9} \]

\[\pi_{\bar{F}}=\frac{\partial Z^{*}}{\partial \bar{F}}\approx\frac{Z^{*}\left(\bar{F}+\Delta\right)-Z^{*}\left(\bar{F}-\Delta\right)}{2\Delta}\tag{8} \]

式 (7) 定义两个对照排班；若要求均摊又要守住上限，最大日时长是 \(\bar{h}=40/\sum_k0.85^{k}=40/4.671=8.83\) 小时，除数就是一周疲劳的几何权重和——它把 66 小时的额度换算成了 8.83 小时/天。式 (9) 是某一小时的边际账单：自身收入减自身折扣、再减它对后面各天的溢出。式 (8) 是疲劳上限的影子价，用中心差分而不是读对偶值——双线性模型在空间分支下的对偶不稳，差分更可靠。

2.3　规模与性质

7 个连续决策、7 条递推等式、7 条疲劳上限、7 条双线性、2 条容量，共约 30 条约束、21 个变量。双线性让问题非凸，但只有 7 个乘积项、每项两个有界变量，空间分支树极浅；实测单次 0.5 秒、相对间隙 1% 内。值得注意的是：目标在非负象限上是凹的（\(\sum_t r_t h_t F_t\ge0\) 恒成立），所以最优解唯一，不同初值、不同折点密度都收敛到同一组小时——图 6 的 20 个格子与表 1 的排班完全自洽，靠的就是这一点。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

核心五行对应式 (1)(4)(5)(6)：

F = m.addVars(7, lb=0, ub=80); g = m.addVars(7, lb=0.2, ub=1.0)
for t in range(1, 7):
    m.addConstr(F[t] == DEC * F[t-1] + h[t])     # 递推，本案例的核心
    m.addConstr(F[t] <= CAP)                     # 疲劳上限
for t in range(7):
    m.addGenConstrPWL(F[t], g[t], XP, YP)        # 折扣因子的分段线性
    m.addConstr(e[t] == h[t] * g[t])             # 双线性项
m.setObjective(quicksum(r[t] * e[t] for t in range(7)), GRB.MAXIMIZE)

第一个细节：\(F_{t}\) 的变量上界要放到 80 而不是 40。约束写 \(F_{t}\le40\) 是一回事，ub 是另一回事；若把 ub 也设成 40，PWL 定义域被截断，扫描上限参数时模型直接 infeasible，扫不出一条曲线。第二个细节：NonConvex=2 不能省。默认设置下 Gurobi 拒绝求解含双线性的模型，直接报错；打开之后它用空间分支处理这 7 个乘积，相对间隙压到 1% 只需 0.5 秒。第三个细节：扫描时改用等价的直接写法 \(e_{t}=h_{t}(1-0.02F_{t})\)，省掉 7 个 PWL 变量，速度快 4 倍。两种写法的目标值一致到 \(10^{-4}\) 以内（490.9987 对 490.9987），本文所有图用快写法生成，表 1 的排班用 PWL 写法复核。

3.2　求解结果

表 2　三种排班的净收益与疲劳后果（金额单位：元）

策略	每天小时	周总时长	周净收益	周日疲劳	与优化差
每天均摊	9.43	66.0	466.5	42.71	-24.5
周末堆满	8.4/12	66.0	470.7	44.71	-20.3
同总时长均摊	8.16	57.1	479.3	36.97	-11.7
本案例优化	见表 1	57.1	491.0	38.30	0.0

三行基线的差别不在"跑多少小时"（前三行都是 66 小时额度），而在"怎么摊"。均摊 466.5 元、堆满 470.7 元、同总时长均摊 479.3 元、优化 491.0 元。把小时堆到系数最高的那两天，只比均摊多 4.2 元（代价是周日疲劳从 42.71 顶到 44.71）；而把总时长从 66 砍到 57.13 小时、仍按均摊跑，反倒多赚 12.7 元——前者是把钱堆在最贵的地方，后者是把最不划算的小时直接丢掉。优化排班只跑 57.13 小时，比前两行各少 8.9 小时，收益反而最高——少跑的那 8.9 小时本来就是负收益的。

4　结果分析

图 1　七天单量系数与单价：周六单量 ×1.25、单价 +0.4 元

4.1　结构：七天的不对称　图 1 把单量系数（棒棒糖）与单价（右轴菱形）画在一起。周六双高：单量 1.25、单价 5.50；周日退到 1.05 与 5.30；周五 1.08 是工作日最高。图 1 只交代收益侧，疲劳侧在下一张。

图 2　在线小时与单位小时净收益：气泡为当日净收益，短横为无疲劳毛收益

4.2　小时—边际收益　图 2 横轴是各天实际排的小时，纵轴是单位小时净收益，短横是无疲劳毛收益。所有点都落在短横下方，越靠右落得越多：周一 11.26 小时还能拿到 12.25 元/h，周日 11.70 小时只剩 4.04 元/h。虚线是周六的全边际曲线（含对周日的溢出），它在 12 小时处已经跌到零以下——周六的第 12 小时是倒贴的，这就是"为什么不是周六堆满"的直接答案。

图 3　三种排班策略的周净收益对比

4.3　三策略对比　图 3 是主图。均摊 466.5 元、堆满 470.7 元、优化 491.0 元。折扣吃掉的钱可以直接读：毛收益合计 982.0 元、到手 491.0 元，折扣吃掉 491.0 元，占 50%。这不是百分比修辞——491.0 元是三种排法之间差距（24.5—20.3 元）的二十倍。排班的胜负，本质是"谁的折扣损失小"，而不是"谁跑得多"。

图 4　七天在线小时与疲劳累积的时序（点线为疲劳上限 40）

4.4　时序：小时与疲劳　图 4 左轴柱是排班小时，右轴是疲劳曲线。小时不是单调下台阶，而是两头高、中间低：周一 11.26、周六 10.65、周日 11.70，周三周四只有 5.49 与 4.72。原因在式 (9)：周一早，累积疲劳低，自己那小时的折扣损失小；周日是最后一天，它的疲劳没有明天可以溢出；周三周四既不早也不晚，两头的好处都占不到，只能让路。

图 5　疲劳衰减系数扫描：周净收益与周日疲劳

4.5　主灵敏度：疲劳衰减系数　图 5 横轴是 0.85 从 0.70 扫到 0.94。系数越大（恢复越慢），周净收益从 633.6 元掉到 409.1 元，周日疲劳从 30.8 涨到 40.0。0.85 落在曲线最陡的一段：再慢 0.05（到 0.90），收益要再掉 46.8 元。系数到 0.94 时疲劳几乎不衰减，周日疲劳撞上 40，上限才开始真正 binding——"上限是不是紧"取决于体力恢复速度，不取决于上限本身。

图 6　总时长 × 疲劳上限 二维网格上的最优净收益

4.6　二维：总时长 × 疲劳上限　图 6 的 20 个格子里，从左到右（额度 46→70）收益上升后转平，从下到上（上限 30→44）也在上升。上限 40 与 44 两行几乎相同，而与 30 那一行差 18.8 元——40 在本案例是"松的"，真正卡住收益的是折扣本身，不是上限；额度过 58 之后同样转平，与图 8 的前沿一致。

图 7　周六单量系数扫描：周净收益与周六小时

4.7　第三维：周六单量系数　图 7 把周六的单量系数从 1.00 拉到 1.50。周收益从 475.8 涨到 509.8 元，周六小时从 8.50 爬到 12.00——系数 1.00 时只排 8.50 小时，一路加到 1.50 才顶到 12 小时的天花板。系数涨五成，收益只涨 7%——多出来的单量主要靠"单位小时更值钱"兑现，不是靠"多干几小时"：周六小时涨了 41%。

图 8　总时长额度—净收益前沿与超出 66 h 的不可行区

4.8　前沿与不可行区　图 8 横轴是一周总时长额度，纵轴是最优净收益。曲线在 58 小时之前一路向上，之后转平；绿点线标出实际用满的 57.13 小时，它在平台的起点之前一点点——这说明 66 小时的额度是宽裕的，把额度从 66 砍到 60 收益也几乎不变，砍到 50 才开始疼。斜率从 46 小时处的 3.76 元/h 掉到 70 小时处的 0.00 元/h，这条曲线的斜率就是"多跑一小时值多少钱"。

图 9　单量 ±12% 波动下的周净收益分布

4.9　分布：单量波动　图 9 给每天的单量系数加 ±12% 的正态扰动，跑 4000 次。周净收益均值 491 元、P5 451 元、P95 530 元，变异系数 0.049。均值与确定性解 491.0 元几乎重合，因为折扣因子对 \(h\) 是线性的、扰动只影响毛收益，期望不被扭曲；但 530 与 451 之间拉开 79 元，这才是"这周能赚多少"的真实口径。

图 10　各天收益分解：毛收益、疲劳折扣损失与累计份额

4.10　各天贡献分解　图 10 每根柱由两段组成：深色是到手净收益，浅色是被折扣吃掉的部分，柱顶是毛收益。七天毛收益 982.0 元，周六一天 227.0 元、占 23%，是最大的一块；但周六被吃掉的也有 142.1 元。被吃掉最多的是周日（154.6 元）与周六（142.1 元）——正是系数最高的两天。优化做的事，就是把这两天的小时压到"折扣还不算太狠"的位置，把省下的小时挪给周一。

5　结论

1. 周六不该堆满 12 小时。 最优排班 11.3/7.4/5.5/4.7/5.9/10.7/11.7 小时，周六 10.65 小时。原因不是周六不划算（21.31 元/h 最高），而是周六每一小时都按 0.85 折到周日，而周日自己也排了 11.70 小时；周六第 12 小时的边际是 -1.15 元，倒贴。
2. 66 小时的额度用不完。 最优只跑 57.13 小时，比额度少 8.9 小时；把额度从 66 砍到 60，收益几乎不变（图 8）。"能跑 66 小时"和"该跑 66 小时"是两件事。
3. 疲劳折扣吃掉 491.0 元（毛收益的 50%）。 毛收益 982.0 元、到手 491.0 元。三种排法的差距是 24.5—20.3 元量级，折扣损失是 491.0 元量级——选排法就是选折扣损失最小的那条路径。
4. 疲劳上限 40 不 binding，余量 1.7 单位，影子价 0.00 元。 分界点就是解出来的 \(F_{7}=38.30\)：上限压在 32—40 之间时每单位只值 1.35 元，压到 28 附近涨到 4.53 元/单位——上限越紧，代价涨得越快。上限是安全阀，不是瓶颈；真正的瓶颈是折扣本身。
5. 连续第 7 天值得跑，但只值 37.6 元。 强制周日休息的排班（11.6/8.0/6.4/6.2/8.2/12.0/0.0）收益 453.4 元，比最优低 37.6 元。周日的 11.70 小时是"没有明天"的小时，不必为溢出买单，所以仍然划算；但这一天的边际已经薄到 3.2 元/小时的量级——再累一点、再热一点，它就翻负了。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.