案例075 补贴时段的抢点

案例075　补贴时段的抢点

摘要：平台午高峰每单加 1.5 元、晚高峰 2.0 元、夜宵 2.5 元，三段单均收益因此拉开到 4.2、6.9、7.4 元，单均占用 1.2、1.1、1.0 小时。把三段折成单位小时收益 3.50、6.27、7.40 元/h，本题就变成一句话：先打满最高的那段，再看上限。夜宵段 7.40 元/h 最高但有 9 单上限，线性规划给出 \(n_3=9\)、\(n_2=0.909\)、总收益 72.87 元；小时约束的影子价 6.27 元/h，夜宵上限的影子价 1.13 元/单。单量取整后掉到 66.60 元（少 6.27 元），因为剩 1 小时装不下 1.1 小时的一单。

关键词：线性规划；资源分配；影子价格；临界补贴；整数化损失

1　问题提出

1.1　三段补贴摆在面前

午高峰（11:00—13:30）、晚高峰（17:30—20:00）、夜宵（22:00—01:00）三段各有补贴，越晚补得越多：1.5、2.0、2.5 元/单。夜宵补贴最高，但夜宵的单量本来就少——全城只有那么点夜宵单，跑得再快也接不到第 10 单，所以上限写 9。三段的单均占用也不一样：午高峰堵、晚高峰更堵，夜宵路空，1.2 / 1.1 / 1.0 小时一单。

把补贴和超距加价折进收益，三段是 4.2 / 6.9 / 7.4 元一单。直觉会直接选夜宵——单价最高。但真正决定收益的是每小时赚多少：3.50 / 6.27 / 7.40 元/h。夜宵仍然第一，可它只有 9 单的容量，9 小时就把上限吃满，剩下的 1 小时必须换段。

窗口的算法要说清：题面给的 6 小时是不熬夜宵的两段窗口（午 3 + 晚 3）；既然夜宵的 9 单上限要真正起作用，窗口就得延到 10 小时（白天 7 + 夜宵 3）。两个口径都留在图 5、图 6 的坐标轴里：6 小时那一端，夜宵只跑得动 6 单，上限永远闲置。

表 1　三段的补贴、单价、耗时与容量

| 时段 | 补贴/元 | 均单收益/元 | 单均耗时/h | 单位小时收益/(元/h) | 单量上限/单 | |---|---|---|---|---|---| | 午高峰 | 1.5 | 4.2 | 1.2 | 3.50 | 18 | | 晚高峰 | 2.0 | 6.9 | 1.1 | 6.27 | 22 | | 夜宵 | 2.5 | 7.4 | 1.0 | 7.40 | 9 |

排序一目了然：夜宵 7.40 > 晚高峰 6.27 > 午高峰 3.50。若没有上限，10 小时全砸夜宵就是 74.00 元；有了 9 单上限，天花板被压到 72.87 元。

1.2　三个必须回答的问题

第一，打满之后还剩多少时间、投给谁——剩 1 小时，整单不成立，但按小时计价它变成 0.909 单晚高峰（每小时 6.27 元，压过午高峰的 3.50 元）；第二，上限值多少钱——多给一单夜宵容量，能多赚 1.13 元，这才是该去跟平台争的量；第三，补贴降到多少就该撤——夜宵的单位小时收益跌到 6.27 元/h（即补贴 1.37 元）时，晚高峰接班。

1.3　Gurobi 怎么解

3 个连续变量、4 条约束，单纯形一步收敛，耗时不到 0.01 秒。全案求解 163 个 LP，共用 1.7 秒——这类题的价值不在算力，而在读得懂影子价。

2　数学模型

设 \(n_1,n_2,n_3\ge 0\) 为投在午高峰、晚高峰、夜宵的单量（线性规划允许小数，含义是“把这一小时切给某段的一部分”），\(p_i\) 为均单收益，\(t_i\) 为单均占用小时，\(\bar n_i\) 为单量上限，\(T=10\) 为三段合计可用窗口。

2.2　目标函数

\[\max\; Z = 4.2\,n_1 + 6.9\,n_2 + 7.4\,n_3 \tag{1} \]

系数已经含补贴与超距加价：\(4.2=2.7+1.5\)、\(6.9=4.9+2.0\)、\(7.4=4.9+2.5\)。写目标时不要漏掉第二段的基数——晚高峰不含补贴的毛收益本来就比午高峰高 2.2 元，这是“晚高峰更远、单价更高”的体现。

2.3　约束条件

\[1.2\,n_1 + 1.1\,n_2 + 1.0\,n_3 \le 10 \tag{2} \]

\[n_1 \le 18,\qquad n_2 \le 22,\qquad n_3 \le 9 \tag{3} \]

式 (2) 是唯一的时间账：一小时只能记一次账，三段互斥地抢同一批小时。式 (3) 是容量：午晚两段的上限（18、22 单）在本窗口内根本摸不到——18 单要 21.6 小时、22 单要 24.2 小时，都远超 10 小时；只有夜宵的 9 单（正好 9 小时）会在可行域里真的卡住。

2.4　把 LP 读成“排队”

式 (1)(2) 是典型的一维装箱：每小时只装得下一段。按单位小时收益从高到低排队，贪心装填就是最优解——这是 LP 的基本性质，不需要 Gurobi 也能算。但贪心必须先看容量：夜宵装 9 单用掉 9 小时，剩 1 小时，晚高峰每小时值 6.27 元，于是余量全给晚高峰，得 \(n_2=(10-9)/1.1=0.9091\)。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

n = m.addVars(3, lb=0.0, vtype=GRB.CONTINUOUS, name='n')
hc = m.addConstr(1.2*n[0] + 1.1*n[1] + 1.0*n[2] <= 10, name='hours')
cc = [m.addConstr(n[i] <= cap[i]) for i in range(3)]
m.setObjective(4.2*n[0] + 6.9*n[1] + 7.4*n[2], GRB.MAXIMIZE)

两个坑。其一，默认下界是 0 还是 \(-\infty\)：addVars 不写 lb=0 时 Gurobi 默认 0，但若换了写法（如 addVar 逐个加）忘了下界，模型会给出负单量的荒谬解。其二，影子价要给约束起名再取 Pi，否则分不清哪个是小时、哪个是容量。

表 2　LP、整数解与三种“全投一段”的对照

| 方案 | 午高峰/单 | 晚高峰/单 | 夜宵/单 | 用时/h | 总收益/元 | |---|---|---|---|---|---| | 全投午高峰 | 8.33 | 0 | 0 | 10.0 | 35.00 | | 全投晚高峰 | 0 | 9.09 | 0 | 10.0 | 62.73 | | 全投夜宵 | 0 | 0 | 9 | 9.0 | 66.60 | | LP 最优 | 0.000 | 0.909 | 9 | 10.00 | 72.87 | | 整数最优 | 0 | 0 | 9 | 9.0 | 66.60 |

全投夜宵已经拿到 66.60 元（9 小时、9 单），LP 再把剩下的 1 小时按 6.27 元/h 卖给晚高峰，多出 6.27 元；整数解做不到这一步，因为 1 小时 < 1.1 小时，只能整单整单地跑。

4　结果分析

4.1　结构：谁的单位小时收益最高

图 1　三段的单位小时收益：夜宵 7.40 元/h 最高，但容量只有 9 单

图 1 把三段折成同一把尺子。午高峰 3.50 元/h 垫底——单均只有 4.2 元，却要耗 1.2 小时；夜宵 7.40 元/h 领先 1.13 元。绿色虚线（6.27 元/h）是本模型真正的小时价格，它等于次高段而不是最高段——因为最高段已经打满。**这两条线的落差 1.13 元，就是“上限”的代价**。

图 2　三段的上限与均单收益（气泡=单位小时收益）

图 2 用横轴把容量摆开：午高峰 18 单、晚高峰 22 单，看着富裕，实际都用不完；夜宵只有 9 单，气泡最大（效率最高）也最先见底。线性规划的点（星号）正落在夜宵的右上角——**顶到上限**，这是本题唯一真正起作用的容量约束。

图 3　全投一段、LP 最优与整数最优的五方案对比

图 3 的顺序是本题的全部结论：LP 72.87 最高，全投夜宵与整数解并列 66.60，再往下是全投晚高峰 62.73、全投午高峰 35.00。全投夜宵输在“剩 1 小时闲着”，整数解输在“1 小时装不下 1.1 小时的一单”，两者相差 6.27 元——**正好是 0.909 单晚高峰的价钱**，即 LP 拿小数单换来的那点钱。

图 4　10 h 窗口内的三段排布：夜宵 9 h 打满，尾巴 1 h 给晚高峰

图 4 是这张时间表的实物：夜宵从 0 排到 9 小时（9 单，顶满上限），晚高峰接在最后 1.0 小时。这个顺序不能倒——先排效率最高的段，再拿余量填缝；反过来先排晚高峰，夜宵的 9 单就挤不进窗口，只能干 1 小时，收益立刻塌回全投晚高峰的水平。

4.2　影子价：多一小时、多一单各值多少

前沿（图 8，见 4.4 末）的斜率就是答案。每往右一格（多投 1 单夜宵、少投 \(1/1.1=0.909\) 单晚高峰），总收益涨 1.13 元——即 \(7.4-6.9/1.1=1.1273\)，这正是夜宵容量约束的影子价。右侧灰区是 \(n_3>9\) 的不可行区，前沿到此为止。

\[\lambda_{\text{cap}} = p_3 - \frac{p_2}{t_2} = 7.4 - \frac{6.9}{1.1} = 1.1273\;\text{元/单} \tag{4} \]

式 (4) 有个直白读法：多一单夜宵要用 1 小时，这 1 小时本来能给晚高峰干 \(1/1.1=0.909\) 单、赚 6.27 元，所以净增只有 1.13 元。同理，小时约束的影子价是 \(\lambda_{\text{time}}=6.2727\) 元/h——再多 1 小时，投给晚高峰（因为夜宵已满），不是 7.4 元。“若多给 1 小时该投哪段”的答案是：晚高峰，而不是继续夜宵。

结论要配套说清：只有当 \(n_3<9\) 时，多 1 小时的边际值才是 7.40 元；一旦 \(n_3\) 顶到 9，边际值立刻掉到 6.27 元，跌幅 1.13 元。这就是“打满最高段”这句话的完整版：先打到上限，之后一切按次高段定价。

4.3　整数化：小数单量买到的是“可分割时间”

把 \(n_i\) 改成整数，最优解从 \((0,0.909,9)\) 变成 \((0,0,9)\)，收益从 72.87 掉到 66.60，LP 松弛高估 6.27 元（9.4%）。原因是那 1 小时余量：LP 允许它变成 0.909 单晚高峰，现实里只能整单，而 1.1 小时的单装不进 1 小时的格子。

实务含义是：LP 解的小数部分是“排班的毛边”。若能把窗口从 10 小时拉到 11 小时，整数解就能再吃一单晚高峰（6.9 元），反超当前的整数最优；若窗口只有 9 小时，整数与 LP 完全重合。所以整数化损失不是模型缺陷，而是时间粒度的度量。

4.4　灵敏度：补贴、窗口与体力

图 5　夜宵补贴 × 最优收益（右轴：夜宵单量）

图 5 只在 $p_3^{\ast}=1.37$ 元处拐一次。补贴高于它，夜宵 9 单顶满；低于它，夜宵单位小时收益跌破 6.27 元/h，整段让给晚高峰，收益从 72.87 掉到 62.73 元，一夜少 10.15 元。临界条件就是「夜宵小时收益 = 晚高峰小时收益」：

\[4.9 + s_3^{\ast} = \frac{6.9}{1.1} = 6.2727 \;\Rightarrow\; s_3^{\ast} = 1.37\;\text{元} \tag{5} \]

本案 2.5 元离临界只差 1.13 元，缓冲不到一半——这是本模型最脆的一处。平台把夜宵补贴从 2.5 调到 2.2 仍安全（\(p_3=7.1>6.27\)），要跌到 1.37 元以下，整张表才重排。

图 6　可用窗口 × 夜宵上限 的最优夜宵单量

图 6 是二维地图：横轴窗口、纵轴夜宵容量。深色区是“上限先卡死、夜宵吃满”的地带，它沿对角线扩张——只要 $T\ge \bar n_3$（1 单 1 小时），夜宵必然打满；窗口小于上限时（左下角），卡的是时间而不是容量，格子里的数就等于 $T$。本案 $(10,9)$ 落在深色区右缘，说明**上限刚好等于窗口的九成**，是最“紧”的配置。

图 7　夜宵超时率 × 最优收益（第三维，翻转点 15.2%）

图 7 把“体力”折进系数：夜宵单价高但疲劳，超时率 $q$ 让有效系数变成 $7.4(1-q)$。当 $q>15.2\%$，夜宵 9 单的收入 66.6(1-q) 跌破全投晚高峰的 62.73 元，结论**翻转**。临界式：

\[9 \times 7.4(1-q^{\ast}) + \frac{1}{1.1}\times 6.9 = \frac{10}{1.1}\times 6.9 \;\Rightarrow\; q^{\ast} = 15.2\% \tag{6} \]

斜率也很说明问题：\(q\) 每涨 1 个百分点，夜宵段少赚 0.67 元；而晚高峰那条水平线一分不动。高单价段的脆弱性正比于单价，夜宵赚得最多，也最怕跑到凌晨三点手抖。

图 8　夜宵单量—总收益前沿与不可行阴影

图 8 把 4.2 节的影子价画成斜率：前沿从 $(0,62.73)$ 一路爬到 $(9,72.87)$，每格涨 1.13 元，正是 $\lambda_{\text{cap}}=1.13$ 元/单；再往右是灰色的不可行区——上限之外的单量再多也接不到。**容量约束把一条直线生生截断**，这就是本题的几何本质。

4.5　波动与贡献

图 9　夜宵单量波动下的一夜实收分布（4000 次模拟）

图 9 承认夜宵单量本身随机（按 $\lambda=9$ 泊松抽样、截断在 9 单）：均值 66.01 元，P10—P90 只有 [64.60, 66.60]，全距不到 4 元。原因是每少接一单夜宵，空出的 1 小时正好塞进 0.909 单晚高峰，收益只掉 0.50 元——**两段的替代性把单量风险吸收掉了**。真正的风险不是少单，而是 4.4 节那个超时率：它直接改写系数，替代段补不回来。

图 10　三方案的段收益堆叠：夜宵贡献多少、余量贡献多少

图 10 按段拆开：LP 方案里夜宵贡献 66.60 元、晚高峰贡献 6.27 元；整数方案只剩夜宵 66.60 元；全投晚高峰则整块换成 62.73 元。三根柱子的高度差，就是“打满 + 余量”与“只打满”“只跑次高”的差别。

5　结论

（1）最优解是“夜宵打满 9 单、余量给晚高峰”：\(n_3=9\)、\(n_2=0.909\)，总收益 72.87 元；若不熬夜宵（只跑 6 h），最优退化到全投夜宵 6 单的 44.40 元。
（2）上限是本题唯一的“卡点”：夜宵容量影子价 1.13 元/单，多争 1 单夜宵名额等于多拿 1.13 元；午高峰 18 单、晚高峰 22 单的上限在 10 h 内根本摸不到，影子价为 0。
（3）小时影子价是 6.27 元/h，不是 7.4 元/h：最高段打满后，边际小时的定价权交给次高段。回答“多给 1 小时投哪段”，答案是晚高峰。
（4）整数化损失 6.27 元（9.4%），全部来自那 1 小时余量装不下 1.1 小时的一单。把窗口拉到 11 小时，整数解反超；缩到 9 小时，整数与 LP 重合。
（5）两条临界线：夜宵补贴跌破 1.37 元（现 2.5，余量 1.13 元）、超时率升破 15.2%，结论都会翻到晚高峰。前者是平台调价风险（缓冲 1.13 元），后者是体力风险（缓冲仅 15.2 个百分点）——这张表该每两周重算一次。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.
[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.
[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.
[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

复现方式：python batch_075.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/