案例073 9000 元怎么拆到每天

案例073　9000 元怎么拆到每天

摘要：月净收入 9000 元、出勤 26 天，折成日均 346.15 元。以均单净收益 5.6 元、固定成本 62.60 元/天（租金 32.69 + 换电 7.65 + 餐费杂项 22.25）建目标规划模型，26 天单量上限 62 单使满格日净额只有 284.60 元，日缺口 61.55 元、月缺口 1600.4 元——纯单量路径目标不可行。本文给出三条延伸：加权偏差（工作日欠 3、周末超 4）在日分解结构下不改变日程，只在月度运力预算 1500 单的耦合模型里才改变；临界均单收益 6.59 元/单是可行的充要门槛；补贴兜底的最小月补贴为 2160.4 元。

关键词：目标规划；加权偏差；不可行性分析；日程分摊；灵敏度分析

1　问题提出

「一个月挣 9000」是一句目标，不是一句结论。把它落到日程上，先要做一次除法：9000 元除以出勤 26 天，日均 346.15 元。再往下拆，每一单净赚 5.6 元，但每天一睁眼就有 62.60 元固定成本要先摊掉——租金 850 元/月、换电 199 元/月、餐费与杂项 22.25 元/天。于是问题变成：把日目标写成一条等式约束，求每天该跑多少单，使「差多少」的总和最小。这正是目标规划（goal programming）的标准形式：目标不是被优化的对象，而是被写进约束的右端项，优化的是偏差。

表 1　基础参数

符号	含义	取值	来源
\(T\)	日净收入目标	346.15 元	9000 / 26
\(b\)	均单净收益	5.60 元	平台流水扣除抽成与油耗
\(C\)	日固定成本	62.60 元	850/26 + 199/26 + 22.25
\(\bar{n}\)	日单量上限	62 单	在线 11 小时的体力上限
\(N\)	月出勤天数	26 天	月休 4 天
\(B\)	月度运力预算	1500 单	全月总单量天花板

三个必须回答的问题：其一，欠达成与超达成的痛感不同（夜班疲劳、单量上限），加权后日程会不会变；其二，如果 62 单的天花板根本够不着 346 元，缺口有多大、补多少才够；其三，26 天里工作日与周末单产不同，偏差该往哪些天摊。

2　数学模型

2.1　日分解的目标规划

设第 \(d\) 天单量为 \(n_d\)，正负偏差为 \(u_d^{+}\)（超达成）与 \(u_d^{-}\)（欠达成）。日净额等于毛收入减固定成本：

\[\pi_d = b\,n_d - C \tag{1} \]

把「日净额达到 \(T\)」写成等式，差额由一对偏差变量吸收，这就是目标规划的核心技巧：

\[b\,n_d - C + u_d^{-} - u_d^{+} = T,\qquad d = 1,\dots,26 \tag{2} \]

偏差成对出现且反号，故任一可行解中 \(u_d^{+}\) 与 \(u_d^{-}\) 至少有一个为零——若两者同为正，同时减去同一个量仍满足式 (2) 且目标更小，与最优性矛盾。因此无需额外的 0-1 变量去做互补约束，这是目标规划比「分段线性」写法更省事的地方。

\[\begin{aligned} \min_{n,u}\;&\sum_{d=1}^{26}\left(u_d^{+} + u_d^{-}\right) \\ \text{s.t.}\;&0 \le n_d \le \bar{n} = 62,\quad u_d^{+},\,u_d^{-} \ge 0 \end{aligned} \tag{3} \]

2.2　加权偏差

等权把「多跑一元的累」与「少挣一元的慌」看成一样重，现实中并非如此。引入权重 \(w_d^{-}\)、\(w_d^{+}\)：

\[\min_{n,u}\;\sum_{d=1}^{26}\left(w_d^{-} u_d^{-} + w_d^{+} u_d^{+}\right) \tag{5} \]

取 \(w_d^{-} = 3\)、\(w_d^{+} = 1\) 表示欠达成更疼。这里有一个容易被忽略的结构性事实：若 26 天同质（\(b\)、\(C\)、\(\bar{n}\) 都相同）且无跨天耦合，式 (5) 的解与式 (3) 完全重合，因为每天的最优 \(n_d\) 只取决于本日参数，权重只是把同一个目标值放大了 \(3\) 倍。权重要想改变日程，必须让日子之间有差异，并有共享的稀缺资源。

2.3　日型差异与运力预算

把 26 天分成工作日 18 天与周末 8 天：周末有冲单奖与溢价，均单净收益从 5.0 元升到 6.95 元，按出勤天数加权后仍等于 5.6 元；同时全月在线时长有上限，等价于单量预算 \(B = 1500\) 单。式 (2) 的 \(b\) 换成 \(b_d\)，并增加

\[\sum_{d=1}^{26} n_d \le B = 1500 \tag{6} \]

此时「多跑哪一天」才成为真正的选择。

2.4　可行性与最小补贴

式 (4) 给出单日可达净额的上界，把它与目标相减即得结构性缺口：

\[\Delta = T - \left(b\bar{n} - C\right) = 346.15 - 284.60 = 61.55 \;\text{元/天} \tag{7} \]

只要 \(\Delta > 0\)，无论怎么排日程，式 (2) 都无法让全部偏差为零。补一条「兜底」变量 \(S\)（月度补贴）：

\[\min S \quad \text{s.t.}\quad \sum_{d=1}^{26}\left(b_d n_d - C\right) + S \ge 9000,\;\; \sum_d n_d \le 1500 \tag{8} \]

\(S^{*}\) 就是月缺口的下界，也是「换电折扣 / 平台补贴 / 少休一天」这类松弛手段的定价基准。把式 (7) 反解，得到目标可行的临界单产：

\[b^{\ast} = \frac{T + C}{\bar{n}} = \frac{408.75}{62} \approx 6.59 \;\text{元/单} \tag{9} \]

3　Gurobi 求解实现

模型全部是线性规划：变量 \(26\times 3 = 78\) 个，约束 \(26\times 2 = 52\) 条（加运力预算），单次求解在 0.01 秒量级，全部扫描（含 20 点热图）总耗时 2.6 秒。核心代码只有五句：

n, up, um = m.addVars(k, lb=0.0), m.addVars(k, lb=0.0), m.addVars(k, lb=0.0)
for i in range(k):
    m.addConstr(b[i]*n[i] - CFIX + um[i] - up[i] == T)   # 目标进约束
    m.addConstr(n[i] <= cap[i])
m.setObjective(gp.quicksum(wm[i]*um[i] + wp[i]*up[i] for i in range(k)))

求解结果如表 2。基准模型（等权、均单 5.6 元）的最优日程是 26 天全部顶到 62 单，偏差和为 1600.40 元；加权 3 : 1 后目标值变为 4801.21 元，而每天的单量仍是 62.00 单——一个数字变了，日程一个字没动，印证了 2.2 节的可分性判断。

表 2　三种排班方案对比

方案	月总单量	月净额 / 元	目标值 / 元	距 9000 元
等权偏差（日分解）	1612	7399.6	1600.4	1600.4
加权 3 : 1（日分解）	1612	7399.6	4801.2	1600.4
等权 + 运力预算	1500	6789.9	2210.1	2210.1
加权 + 运力预算	1500	6621.2	2378.8	2378.8
补贴兜底（最大净额）	1500	6839.6	2160.4	2160.4

4　结果分析

4.1　一天的结构：347.2 元怎么变成 284.6 元

图 1　单日收支结构：毛收入、固定成本、净额、目标与缺口

图 1 把一天的钱拆成五根柱子。62 单的毛收入 347.2 元，扣掉 62.60 元固定成本，落在 284.6 元；目标线 346.15 元在它上方 61.55 元处。这个缺口不是排班不努力，而是**参数决定的天花板**：单量上限每加一单只多 5.6 元，想把 61.55 元的缺口填平需要再跑 11 单，可上限已经没有余量。

图 2　日单量—日净额散点（气泡=单产），目标线与单量上限

图 2 里两条斜线的斜率就是单产：周末 6.95、工作日 5.0。工作日线在 $n = 62$ 处才到 247.4 元，离目标还差 98.8 元；周末线在 $n = 58.8$ 单就穿过目标线——**同样 62 单，周末能过线，工作日不能**。这是把偏差往周末摊的全部理由。

4.2　三方案：等权、加权与兜底

图 3　等权 / 加权 / 补贴兜底三方案的月净额与缺口

图 3 的三个方案落在 6621～6840 元之间，都够不着 9000。等权方案月净额 6790 元，缺口 2210 元；加权方案反而低到 6621 元，因为工作日欠达成被记 3 倍疼，单量先紧着工作日顶格，周末只剩 48.0 单，用「少挣」换「少累」；补贴兜底方案按最大净额排，月净额 6840 元，缺口 2160 元由外部补上。

图 4　26 天偏差分布（灰底为周末），等权与加权对比

图 4 是三种排班方式的日程差。等权方案让周末恰好踩线（58.8 单、偏差 0.0 元），工作日天天欠 122.8 元；加权方案反过来，工作日顶到 62 单、欠额降到 98.8 元，代价是周末掉到 48.0 单、欠 75.2 元。**偏差没有消失，只是换了位置**——这正是目标规划的输出：它不消除缺口，它决定缺口落在谁头上。

4.3　灵敏度：临界单产 6.59 元

图 5　均单净收益对日净额与所需单量的影响

图 5 的双轴给出两个答案。左轴：均单收益从 4.6 涨到 6.6，满格日净额从 223 元升到 347 元，在 $b = 6.59$ 元处穿过目标线；右轴：达标所需单量从 88.9 单降到 61.9 单，与 62 单上限的交点正是同一条临界线。结论很硬：均单收益只要涨 17.7%（5.6 → 6.59），9000 元就从不可行变为可行，无需多跑一单。

图 6　均单收益 × 单量上限 的日缺口热图

图 6 把两个杠杆放在一张网格上：横轴是上限（54～66 单），纵轴是单产（5.2～6.8 元）。右上一片深色为零缺口区——上限 62 单时，单产到 6.4 元仍差 12.0 元，要到 6.8 元才归零；而上限放宽到 66 单、单产 6.4 元同样能归零。两者等价：**放宽 4 单 ≡ 单产涨 0.4 元**，因为 $4\times 6.4 \approx 0.4 \times 62$ 左右。

图 7　出勤天数对日目标额与所需单量的影响

图 7 检验第三条路径：多出勤。出勤从 22 天增到 28 天，日目标额从 409 元降到 321 元，所需单量从 84.2 单降到 68.6 单，整条曲线始终压在 62 单上限之上——哪怕 28 天全勤也要 68.6 单。**「少休几天」这条路也堵死了**：分母只从 26 变到 28，降幅 7.1%，远不够填 21.6% 的缺口，要压到 62 单以内需出勤超过 28 天，一个月没有这么多天。

4.4　前沿、分布与结构

图 8　月总单量—月净额前沿与不可行阴影

图 8 的前沿是「周末优先」的包络：同样 1500 单，周末多摊一单就多 1.95 元。前沿的右端 7400 元是全域最大净额，仍低于 9000 元的横线，于是灰色区域——也就是补贴 $S$ 要填的部分——就是整个可行域的上方。三个方案点都落在前沿下方，说明它们都没有把单量用到「最值钱的日子」上。

图 9　单产波动下日净额的累积分布（400 次抽样）

图 9 把单产的日间波动（标准差 0.35 元/单，约 400 次抽样）叠进来，看日净额分布：等权方案只有 15% 的天数越过 346 元，加权 0%，补贴兜底 26%。即使按最优日程跑，达标也只是小概率事件——**目标不能靠「某几天跑猛一点」实现，只能靠参数或补贴**。

图 10　达标所需每日毛收入的构成：租金、换电、餐费、净得与缺口

图 10 把达标所需的 408.8 元毛收入按去向切片：租金 8.0%、换电 1.9%、餐费杂项 5.4%，落到口袋的净得 69.6%，缺的 15.1% 谁也没拿到。62 单实收 347.2 元，只够覆盖到净得段的右端——**缺口不在成本侧，而在单产侧**。

5　结论

（1）9000 元拆到 26 天是 346.15 元/天，而 62 单上限只给 284.60 元，结构性缺口 61.55 元/天、1600.4 元/月，这不是排班失误，是参数不可行。目标规划的价值不在「算出该跑几单」，而在把缺口显式化：等权与加权 3 : 1 在日分解结构下给出同一张日程表（26 天全 62 单），加权只改目标值（1600.4 → 4801.2）；只有引入日型差异与 1500 单运力预算，权重才真正挪动日程——工作日从 57.2 单顶到 62 单，周末从 58.8 单压到 48.0 单，月净额掉到 6621 元。

（2）三条松弛路径的价格已标好：单产涨 17.7% 到 6.59 元即可归零；或多出勤两天（28 天仍需 68.6 单，堵死）；或月补贴 2160 元。补贴兜底方案的 2160 元是「什么都不改」的代价上限，任何方案只要花得比它少就值得做。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.
[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.
[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.
[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

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复现方式：python batch_073.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/