案例 072 电池被偷了

案例 072　电池被偷了

摘要：沥滘村夜间电池被盗率约 1.20%/年，一块电池 780 元，一年期望损失 9.36 元。村里有两件东西可买：120 元的防盗锁把被盗率压到 0.3%，60 元/年的电池险赔 80%。把两件东西写成 0-1 变量，乘积项 \(z_{1}z_{2}\) 用辅助变量 \(w\) 线性化，模型只有 3 个 0-1 变量、5 条约束。四种组合算下来：都不买 9.36 元、只买险 61.87 元、只买锁 122.34 元、两样都买 180.47 元——最优是「什么都不买」，因为 9.36 元的期望损失连保费的零头都不到。真正的结论是三个临界值：险要到被盗率 9.62% 或电池价 6250 元才回本，锁要到 20.51%，本案 1.20%、780 元一条都没碰到；而锁在任何被盗率下都被险严格支配（更贵、削减更少）。两措施叠加只削减 8.89 元，比各自单干之和 14.51 元少 5.62 元——这正是次可加性，也是「都买最安全」在成本口径下站不住的原因。

关键词：0-1 规划；风险削减；乘积线性化；次可加性；保险精算；盈亏平衡

1　问题提出

1.1　问题是什么

外卖小哥的电动车停在沥滘村的巷子里，夜里电池被撬走。村口的经验数字是：一年里被偷的概率 1.20%，一块电池 780 元，折成期望损失 9.36 元/年。物业推销两样东西：

• 防盗锁：120 元一次性投入，把被盗率从 1.2% 压到 0.3%（削减 75%）；
• 电池险：60 元/年，被偷后赔 80%（自担 20%）。

预算一年不超过 200 元。问题不是「买哪个」，而是「这套组合里到底有没有值得买的」——因为 9.36 元的期望损失，比任何一件商品的价格都低一个量级。

1.2　为什么要把两件事写进一个模型

第一条目的是避免「越安全越好」的直觉。安全是有效益的，但效益要能和成本放在同一天平上称：锁削减 7.02 元卖 120 元，险削减 7.49 元卖 60 元，两者的性价比差 2.13 倍。不写模型，这笔账很容易算反。

第二条目的是处理交互。两个措施不是简单相加：上了锁，被盗率已经降到 0.3%，此时再买险，险只能赔那 0.3% 里的 20%，边际作用被压扁。目标函数里的乘积项 \((1-0.75z_{1})(1-0.8z_{2})\) 就是用来捕捉这个「重合」的，它让模型自动算出叠加后的真实削减，而不是 75%+80%=155% 这种荒谬结果。

第三条目的是给出可执行的临界值。小哥真正想问的是「什么时候我才该买」。把被盗率和电池价格扫一遍，模型能回答：被盗率超过 9.62% 才该买险，电池涨到 6250 元以上才该买险（表 2）。

1.3　Gurobi 如何求解

模型是 3 个 0-1 变量（\(z_{1}\) 锁、\(z_{2}\) 险、\(w\) 乘积辅助）加 5 条线性约束的纯整数规划。Gurobi 先做系数预处理与界收紧，再由分支定界在 8 个格点上走一遍——实际连根节点都不用展开，因为它只有 4 个可行组合，一次枚举即得。真正的工作量在参数扫描：被盗率 7 点、险价×电池价 20 点、电池价 7 点、预算 6 点，合计 40 次求解，每次都在 0.01 s 量级，总求解墙钟 2 s。

2　数学模型

2.1　符号说明

\(z_{1}\in\{0,1\}\) 表示买锁，\(z_{2}\in\{0,1\}\) 表示买险；\(w\in\{0,1\}\) 是乘积辅助变量；\(V=780\) 元为电池重置价，\(p=0.012\) 为年被盗率；\(c_{1}=120\)、\(c_{2}=60\) 为两件商品的价格；\(r_{1}=0.75\)、\(r_{2}=0.80\) 为削减比例；\(B=200\) 为年预算；\(\lambda=Vp=9.36\) 为基准期望损失。

2.2　目标函数

\[\min\ C=120\,z_{1}+60\,z_{2}+780\times 0.012\,(1-0.75z_{1})(1-0.8z_{2})\tag{1} \]

第一项是锁的钱（一次性，按年摊），第二项是险的钱（年费），第三项是自担的期望损失：概率被打折两次，一次被锁（乘 0.25），一次被险（乘 0.2）。第三项写成乘积，说明两措施的削减不是相加而是相乘——这就是次可加性的来源。

2.3　线性化与约束

Gurobi 支持二次目标，但 \((1-0.75z_{1})(1-0.8z_{2})\) 展开后含 \(z_{1}z_{2}\)，非线性项进目标会让模型变成非凸二次整数规划，求解器只能靠空间分支，本题规模小看不出代价，规模一大就崩。标准做法是令 \(w=z_{1}z_{2}\) 并加三条线性约束：

\[(1-0.75z_{1})(1-0.8z_{2})=1-0.75z_{1}-0.8z_{2}+0.6\,w,\qquad w=z_{1}z_{2}\tag{2} \]

\[w\le z_{1},\qquad w\le z_{2},\qquad w\ge z_{1}+z_{2}-1\tag{3} \]

\(w\le z_{1}\) 与 \(w\le z_{2}\) 保证 \(w\) 不会超过两个因子的较小者，\(w\ge z_{1}+z_{2}-1\) 保证两个都买时 \(w\) 至少为 1；三条合起来，\(w\) 在 0-1 格点上恰好等于 \(z_{1}z_{2}\)。注意不能只写前两条：目标里 \(w\) 的系数是正的（\(0.6\lambda\)），最小化会把它压到 0，只写 \(w\le\) 会得到「两个都买但不算交互」的虚假便宜解，必须补下界那条。

预算是硬约束：

\[120\,z_{1}+60\,z_{2}\le 200,\qquad z_{1},z_{2}\in\{0,1\}\tag{4} \]

2.4　规模与性质

3 个 0-1 变量、5 条约束（3 条线性化 + 1 条预算 + 1 条隐含的 \(w\) 非负），4 个可行组合。这是一个可以手算的模型，它的价值不在求解难度，而在把「削减率」「保费」「预算」三个量放进同一套符号里，让临界值和次可加性都能被算出来，而不是被感觉出来。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

z1 = m.addVar(vtype=GRB.BINARY); z2 = m.addVar(vtype=GRB.BINARY)
w  = m.addVar(vtype=GRB.BINARY)
m.addConstr(w <= z1); m.addConstr(w <= z2); m.addConstr(w >= z1 + z2 - 1)
m.addConstr(C_LOCK * z1 + C_INS * z2 <= BUD)
m.setObjective(C_LOCK*z1 + C_INS*z2
               + LAM*(1 - 0.75*z1 - 0.8*z2 + 0.6*w), GRB.MINIMIZE)

一个实现细节：把 \(\lambda\) 提出来做公因子，目标里所有系数都是「元」，量级统一在 1—200 之间，Gurobi 的数值缩放不会报警；如果把 \(780\times 0.012\) 拆开写成三个系数相乘，预处理器要多做一轮化简，虽然本题无感，但换到 170 例里的多期版本就是隐患。

3.2　求解结果

表 1　四种措施组合的年成本分解（电池 780 元、被盗率 1.2%）

组合	\(z_{1}\) 锁	\(z_{2}\) 险	保费 /元	期望损失 /元	削减额 /元	削减率	合计 /元
都不买	0	0	0	9.36	0.00	0%	9.36
只买险	0	1	60	1.87	7.49	80%	61.87
只买锁	1	0	120	2.34	7.02	75%	122.34
锁 + 险	1	1	180	0.47	8.89	95%	180.47

表 1 的四行与手算逐位吻合（Gurobi 目标值 9.36 元，与穷举最小值差 0.0e+00）。模型选中 \(z_{1}=0,z_{2}=0\)：9.36 元的期望损失，比最便宜的保险 60 元还低 6 倍多，任何措施都是亏本买卖。第二便宜的是只买险 61.87 元，第三是只买锁 122.34 元——锁比险贵一倍、削减还少 5 个百分点，这是第一个反直觉的结论。

4　结果分析

图 1　四种措施组合的年成本：灰段是期望损失，彩色段是保费，星标为最优

4.1　四组合的成本结构　图 1 把每个组合的「期望损失 + 保费」画成浮动棒棒糖：灰段是自担的风险，彩色段是买保障的钱。四个点依次是 9.36、61.87、122.34、180.47 元，最高与最低差 171.11 元。图形本身就在说：保费那一截远长于损失那一截，风险中性下买保险是净亏。

图 2　削减率—年成本气泡图：气泡面积是投入，越靠左下越划算

4.2　削减率—成本画像　图 2 横轴是削减率、纵轴是年成本、气泡面积是投入。四个点里，原点（9.36 元、0%）在左下，只买险（61.87 元、80%）在右上但气泡很小，两样都买（180.47 元、95.0%）在最右上且气泡最大。从 80% 到 95.0% 这 15 个百分点，要多付 118.60 元——边际上每多削减 1% 风险要花 7.91 元，是险前 80% 平均单价的 10.22 倍。

图 3　四方案成本分项：锁 120、险 60、期望损失随组合递减

4.3　四方案分项对比　图 3 把成本拆成锁、险、损失三块。都不买全是红（损失 9.36 元）；只买险是 60 + 1.87；只买锁是 120 + 2.34；都买是 180 + 0.47。注意「都买」那一根柱子：保费 180 元已经占了总成本的 99.7%，再削减损失也只能省下 1.4 元——削减的边际收益被保费的天花板彻底压住。

图 4　十年累计支出四条线，以及不买方案按 5% 贴现的现值

4.4　十年累计　图 4 把账拉长到十年：不买累计 93.6 元、只买险 618.7 元、都买 1804.7 元。按 5% 贴现的不买方案现值只有 72.28 元，比名义值低 22%——贴现只会让「不买」更划算，因为它的支出全在将来，而保费今年就要掏。这也解释了一个常见误判：把「十年总要被偷一次」当成买险的理由，其实十年内至少被偷一次的概率只有 11.3%。

图 5　被盗率主灵敏度：四条成本线与模型选中的方案（双轴）

4.5　被盗率主灵敏度　图 5 左轴是四条成本线、右轴是模型选中的组合。在 1.20% 处，不买线（9.36 元）仍在最下方；随被盗率升到 9.62%，只买险线追上不买线，模型把方案从「都不买」翻到「只买险」——右轴的阶梯在 9.6%—14.4% 之间跳一格（临界 9.62%）。只买锁那条线（橙色）始终在只买险上方，永远没有翻身点：锁的斜率 0.25 大于险的 0.2，截距 120 大于 60，两条线平行且被压住，这就是严格支配的几何形态。两样都买的线（紫色）斜率最平（0.05）但截距最高（180），要到被盗率超过 102.6% 才可能反超，现实中不存在。

图 6　险价 × 电池价值的最优年成本热图，星标为本案参数

4.6　险价 × 电池价值　图 6 是 5×4 热图，行是电池重置价、列是险价。左下角（780 元、30 元）成本 9 元，右上角（12000 元、90 元）119 元，全网格 9—119 元。热图的等值线是斜的：电池越贵、保费越便宜，保险越值得买；沿着 780 元那一行自左向右（9 → 9 元）几乎不动，因为 780 元的电池根本不值得保。星标（60 元、780 元）落在左下角，是「最不该买」的那一格。

图 7　电池重置价（第三维）对最优成本与方案的影响

4.7　电池价值（第三维）　图 7 把电池价格单独拉出来：从 400 元到 9000 元，最优成本从 4.80 元升到 81.60 元，模型选中的方案在临界值之后从「都不买」换成「只买险」（虚线抬升、蓝线走平）。这个临界值就是 60/(0.8×0.012)=6250 元：电池涨到 6250 元时，60 元保费刚好等于它省下的 80% 期望损失。本案 780 元只有临界值的八分之一——不是保险不好，是这块电池太便宜。

图 8　成本—残余风险非支配前沿，灰区为超预算的不可行区

4.8　非支配前沿与不可行区　图 8 横轴残余风险、纵轴年成本，灰区是超过 200 元预算的不可行区。四个点里只有三个是非支配的（都不买、只买险、都买），只买锁被只买险严格支配：险更便宜（61.87 vs 122.34）而且残余更低（1.87 vs 2.34），它在图上落在险的右上方，是个永远不该被选中的点。预算在这里几乎不构成约束：最优解只花 0 元，预算从 200 收到 120、60 都不改变选择。只有把「残余不超过 2 元」当成硬指标时，预算才变成门槛——低于 60 元无解，恰好 60 元只够买险（1.87 元残余），180 元才买得起两样，可那是最贵的一条路。

图 9　十年内被盗次数分布与累计概率，橙点为加锁后的分布

4.9　十年被盗次数分布　图 9 是单车十年内被盗次数的泊松分布（均值 0.12 次）：88.69% 的车一次都不会被偷，被偷一次的占 10.64%，两次以上只有 0.66%。加锁后（橙柱，均值 0.03）概率整体向左压，零次被盗的占比从 88.69% 升到 97.04%。十年至少被偷一次：无锁 11.3%、加锁 3.0%——这就是「小概率、大损失」的完整画像，也是保费定价能高于期望赔付 8 倍的市场基础。

图 10　各措施的削减额与保费对比，点线为单干之和

4.10　各措施的净贡献与次可加性　图 10 把削减额（绿）与保费（橙）并排。只买锁削减 7.02 元、付 120 元；只买险削减 7.49 元、付 60 元；两样都买削减 8.89 元、付 180 元。单干之和是 14.51 元，叠加却只有 8.89 元，少掉的 5.62 元（占 39%）就是重合部分：

\[\Delta_{\mathrm{both}}=8.89\ <\ \Delta_{\mathrm{lock}}+\Delta_{\mathrm{ins}}=7.02+7.49=14.51,\qquad \Delta_{\mathrm{lock}}+\Delta_{\mathrm{ins}}-\Delta_{\mathrm{both}}=0.6\times 9.36\tag{6} \]

重合项恰好等于 \(0.6\lambda\)——系数 0.6 就是 \(r_{1}r_{2}=0.75\times 0.8\)。次可加性的代数来源是「削减率相乘而非相加」，经济含义是「两种保护保的是同一块电池的同一笔损失，第二层保护只能保护第一层剩下的那部分」。这也是保险行业「共保条款」和「免赔额」存在的理由：多重保障的边际价值递减，定价必须按边际而非按全额。

4.11　风险厌恶口径下的对照

纯期望成本口径下答案是「不买」，但现实中很多人还是买了。把这种偏好写成约束——比如要求残余期望损失不超过 2 元/年——模型给出的最优是 只买险，61.87 元，残余 1.87 元；两样都买要 180.47 元，只为把残余从 1.87 元压到 0.47 元，多付 118.60 元买 1.4 元的安心。这就是「风险厌恶的定价」：愿意为确定性付多少溢价，是偏好问题，不是优化问题；模型能做的是把这个溢价算清楚，让人知道自己买的是安心而不是收益。

5　结论

1. 本案最优是什么都不买，9.36 元/年。 期望损失 9.36 元，低于任何一件商品的售价；四组合里 9.36 < 61.87 < 122.34 < 180.47（表 1、图 1）。这不是「不该防」，而是「这块 780 元的电池不值 60 元的保费」。
2. 锁被险严格支配，可以直接从选项里划掉。 险 60 元削减 80%，锁 120 元削减 75%：更便宜、削减更多、残余更低（图 8）。任何被盗率、任何预算下锁都不会被选中——这是本案唯一可以用「支配」而不是「权衡」来下的结论。
3. 临界值比结论更有用：险要到被盗率 9.62% 或电池价 6250 元才回本（式 5、图 5、图 7）。 本案 1.20%、780 元，分别只到门槛的 12% 和 12%。把这两个数记住，换城市、换车型都不用重算。
4. 两措施叠加是次可加的，重合 5.62 元（式 6、图 10）。 单干之和 14.51 元，叠加只有 8.89 元，差的部分恰是 \(r_{1}r_{2}\lambda\)。「都买最安全」在安全上成立，在成本上不成立；预算 200 元全部买保障，只换来 1.4 元的额外削减。
5. 保费是期望赔付的 8.01 倍（险）与 17.09 倍（锁），这是风险中性的必然结果。 保险卖的是「把小概率大损失换成确定的小支出」的效用，不是期望值的套利。风险厌恶者该买，风险中性者不该买；模型算不出你是哪一种，但能算出这个溢价有多贵（4.11 节：118.60 元买 1.4 元安心）。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

复现方式：python batch_072.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/