案例 070 不能低于 15%

案例 070　不能低于 15%

摘要：平台说「电量不低于 15%」，这句话在数学上不是一条约束，而是一族约束——因为剩余多少电取决于跑了多少公里，而公里数本身是随机的。本案把 10 单装进一个机会约束背包：里程消耗 \(d\sim N(\mu_d,0.15\mu_d)\)，要求 \(P(\text{电量}<15\%)\le 5\%\)。把随机项移到一侧合并同类项，得到一条「保守里程预算」：\(48\times0.85/1.2468=32.7\) km。四方案对比：按 100% 规划能接 8 单、92.5 元，但班次结束时电量期望只有 2.1%，破线概率 81%；按 85% 硬约束接 7 单、80.5 元，破线概率仍有 47%；机会约束接 6 单、67.0 元，破线概率降到 4.2%；而中途换一次电，10 单全接、净收入 109.5 元，破线概率 2.0%。底线不是不能碰，是碰了要付概率的钱：15% 的底线真实价值是 2 单、25.5 元；它的临界点在 7.8%，过了这条线开始掉单。

关键词：机会约束；背包问题；电量底线；安全裕度；正态近似；灵敏度分析

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1　问题提出

1.1　问题是什么

午高峰系统推来 10 单，期望总里程 60.1 km，毛收入 111.0 元。车的满电续航 48 km，平台要求电量始终不低于 15%。粗看这道题很简单：40.8 km 的可用里程，装单装到装不下为止——按 85% 硬约束能接 7 单、80.5 元（40.4 km）。

但这 7 单是「名义上」安全的。真实里程不会正好等于期望值：每一单都可能有绕路、等电梯、找楼栋，实测的里程消耗相对误差约 15%。跑到 40.4 km 时，实际消耗按 \(N(40.4, 6.1^{2})\) 分布，超过 40.8 km 的概率是 47%——三分之一的班次会踩穿 15% 的底线。

1.2　为什么「留 15%」不等于「安全」

第一，底线是概率事件，不是余量事件。留 15% 只是把期望值的天花板压低 15%，波动还在原地；波动幅度正比于跑得多远（\(\sigma=0.15\mu_d\)），跑得越多，尾巴越长。

第二，按 100% 规划等于把底线当没有。装到 47.0 km、8 单、92.5 元，账面还剩 2.1%，看起来只差 4 个百分点，实际破线概率高达 81%——这不是风险，这是必然。

第三，换电是唯一能把「单量」和「裕度」同时买回来的手段。一次换电把电量复位到 100%，可用里程从 32.7 km 变成两段 32.7 km，代价是 1.5 元固定成本和 3 min 停留。

1.3　Gurobi 如何求解

模型本身是一个 10 变量的 0-1 背包：目标最大化收入，约束是里程不超过保守预算。麻烦不在求解，在把概率约束变成线性约束——正态假设下 \(P(\xi\le b)\ge1-\alpha\) 等价于 \(\mu+\Phi^{-1}(1-\alpha)\sigma\le b\)，代进电量不等式、把 \(\sum\mu_ix_i\) 当同类项合并，就得到一条普通的线性约束（式 4）。换电方案是两段背包，10 单分进两个各 32.7 km 的箱子，同一单只能进一个。全部 4 个方案加 7 点底线扫描、28 点热图、4 点置信扫描，合计求解墙钟 0.0 s 的模型时间，脚本总耗时 1.5 s。

2　数学模型

2.1　符号说明

\(I\) 为订单集合（\(|I|=10\)），\(x_i\in\{0,1\}\) 表示接不接第 \(i\) 单；\(\mu_i\) 为订单 \(i\) 的期望里程（km），\(d_i\) 为实际里程，\(d_i\sim N(\mu_i,0.15\mu_i)\)；\(w_i\) 为单笔收入；\(R\) 为满电续航；\(E_0\) 为出发电量（100%）；\(\underline{e}\) 为电量底线（15%）；\(\alpha\) 为允许的破线概率（5%）；\(\beta=1-\alpha\) 为置信水平；\(\gamma\) 为波动系数（0.15）。

2.2　目标函数

\[\max\ Z=\sum_{i\in I}w_{i}x_{i}\tag{1} \]

目标是毛收入，不扣里程成本——本案的取舍全在「能不能接」上，不在「接哪个更赚」上。这样做的另一个好处是：\(Z\) 就是可接单量的加权形式，单量与收入同向，图 3 的两组柱子不会打架。

2.3　电量递推与底线

\[E_{\text{end}}=E_0-\frac{100}{R}\sum_{i\in I}d_{i}x_{i}\ge \underline{e}\cdot E_0\tag{2} \]

式 (2) 是确定版本：把 \(d_i\) 当成已知数代进去，就退化成「总里程不超过 40.8 km」这一条硬约束。方案 B 就是它。

2.4　机会约束

\[P\left(E_0-\frac{100}{R}\sum_{i\in I}d_{i}x_{i}\ge \underline{e}E_0\right)\ge \beta\tag{3} \]

注意这里 \(d_i\) 是随机变量，\(x_i\) 是决策变量，约束里出现「决策 × 随机」——这是机会约束的典型形态。

2.5　线性化：保守里程预算

令 \(S=\sum_i d_ix_i\)。\(d_i\) 独立正态，故 \(S\sim N(\sum_i\mu_ix_i,\ \gamma^2\sum_i\mu_i^2x_i^2)\)。把式 (3) 括号里的不等式整理为 \(S\le R(1-\underline{e})\)，再用正态分位数：

\[\sum_{i}\mu_{i}x_{i}+z_{\beta}\,\gamma\sqrt{\sum_{i}\mu_{i}^{2}x_{i}}\le R(1-\underline{e})\tag{4} \]

式 (4) 里有根号，不线性。本案采用工程上通用的保守替代：用 \(\gamma\sum_i\mu_ix_i\) 代替 \(\gamma\sqrt{\sum\mu_i^2x_i}\)（因为 \(\sqrt{\sum a_i^2}\le\sum a_i\)），于是

\[(1+z_{\beta}\gamma)\sum_{i\in I}\mu_{i}x_{i}\le R(1-\underline{e})\quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{i\in I}\mu_{i}x_{i}\le \frac{R(1-\underline{e})}{1+z_{\beta}\gamma}\tag{5} \]

代入 \(R=48\)、\(\underline{e}=0.15\)、\(z_{0.95}=1.645\)、\(\gamma=0.15\)：

\[B=\frac{48\times0.85}{1+1.645\times0.15}=\frac{40.8}{1.2468}=32.7\ \text{km}\tag{6} \]

这条式子只需一次乘除，代价是「保守」：\(\sqrt{\sum\mu_i^2x_i}\le\sum\mu_ix_i\) 的等号只在单一订单时成立，10 单同跑时右边比左边大 67% 左右，等于把置信水平从 95% 悄悄抬到了 99% 以上。本案在 4.3 节用数值验证了这一点：实际破线概率 4.2%，远低于允许的 5%。

2.6　换电方案：两段背包

\[\max\ Z=\sum_{i}w_{i}(x_{i1}+x_{i2})-c_{s},\qquad x_{i1}+x_{i2}\le1,\qquad \sum_{i}\mu_{i}x_{ik}\le B\ \ (k=1,2)\tag{7} \]

\(x_{ik}=1\) 表示第 \(i\) 单放在第 \(k\) 段。两段各有一条式 (6) 的预算，中间换一次电把电量复位，\(c_s\) 为换电固定成本。这里有个隐含假设：换电点不产生额外绕行，若绕行 \(\delta\) km，则只需把第二段的预算改成 \(B-\delta\)。

3　Gurobi 求解实现

3.1　数据

表 1　十单的基础数据与单位里程收入（全表见 data_070.csv）

订单	区域	期望里程 \(\mu_i\) /km	收入 \(w_i\) /元	份数 \(q_i\)	单位里程收入 /(元/km)
O01	天河	3.4	9.5	2	2.79
O02	越秀	4.2	11.0	3	2.62
O03	海珠	5.1	8.5	2	1.67
O04	海珠	6.3	13.0	4	2.06
O05	番禺	7.4	12.5	3	1.69
O06	番禺	8.0	10.0	2	1.25
O07	天河	9.2	14.0	4	1.52
O08	越秀	4.5	9.0	2	2.00
O09	海珠	6.6	12.0	3	1.82
O10	天河	5.4	11.5	3	2.13

总期望里程 60.1 km，是满电续航的 125%，也是保守预算 32.7 km 的 1.8 倍——一管电装不下，这是本案所有取舍的根源。

3.2　代码要点

模型只有十来行：

x = mod.addVars(N, m, vtype=GRB.BINARY)
mod.setObjective(sum(W[i]*x[i,k] for i in range(N) for k in range(m)), GRB.MAXIMIZE)
for i in range(N):
    mod.addConstr(sum(x[i,k] for k in range(m)) <= 1)      # 一单只进一段
for k in range(m):
    mod.addConstr(sum(MU[i]*x[i,k] for i in range(N)) <= B) # 式 (5)

真正花时间的是三件外围的事。第一，预算是随底线和置信水平变的，所以 budget(floor, alpha, cv) 要写成一个函数，扫描时反复调用；第二，换电方案用 \(m=2\) 的二维变量，一单只能进一段，段间由换电断开，模型不用管顺序——因为收入与顺序无关，只有里程预算有关；第三，破线概率要用解析式算，不能只报个「满足约束」，否则读者不知道到底留了多少裕度。

3.3　规模与耗时

主模型 10 个 0-1 变量、1 条约束，换电模型 20 个 0-1 变量、12 条约束。四个方案合计求解 16 ms，单次扫描点均在 5 ms 内返回 OPTIMAL；全部 43 次求解加上十张图，脚本总耗时 1.5 s。这类题的求解器从来不是瓶颈，建模口径才是：预算算错一个分母，单量就会差两单。

4　结果分析

4.1　三条预算线

图 1　三条里程预算线：满电 48 km、账面 85% 的 40.8 km、机会约束的 32.7 km；阶梯是逐单累积里程，只有蓝线以内的单装得进保守预算

图 1 把 10 单按单位里程收入降序排开、逐单累加里程，三条横线是三种口径下的预算。满电 48 km 能盖住前 8 单；账面 85% 的 40.8 km 盖住前 7 单；机会约束的 32.7 km 只盖到第 6 单。每往下一格，掉的都是收入最高的那批长单——因为排序按密度，末尾被砍的恰恰是「远而便宜」的单。

图 2　十单的收入—里程全景，气泡为份数；深色是机会约束方案选中的 6 单，虚线是等收入密度线

图 2 是原始数据的面貌：气泡大小是份数，深色为机会约束入选。等收入密度线的斜率在 2.0 元/km 附近，落在线下的 O06（8.0 km / 10.0 元）、O07（9.2 km / 14.0 元）是最先被砍的；O07 收入最高（14.0 元）却进不了保守预算，因为它一个人要吃掉 28% 的预算。

4.2　四方案对比

图 3　四方案对比：单量、净收入与破线概率同时给出，按 100% 规划多接两单却把破线概率推到 81%

表 2　四方案的量、钱与风险

方案	口径	单量	里程 /km	毛收入 /元	净收入 /元	末端电量 /%	破线概率
A	按 100% 规划	8	47.0	92.5	92.5	2.1	81%
B	85% 硬约束	7	40.4	80.5	80.5	15.8	47%
C	85% 机会约束	6	32.4	67.0	67.0	32.5	4.2%
D	85% + 提前换电	10	60.1	111.0	109.5	35.6 / 39.2	2.0%

表 2 是本案的全部结论。方案 A 最贪：8 单、92.5 元，账面末端还剩 2.1%，看着只比底线高 12.9 个百分点的缺口，但破线概率 81%——这不是「有点险」，是六成班次要推车。方案 B 补上了账面余量，破线概率仍有 47%，因为波动没被计价。方案 C 才是真正守住 95% 承诺的解：6 单、67.0 元，末端 32.5%，破线 4.2%。方案 D 用一次换电把 10 单全接回来，净收入 109.5 元，比 C 多 42.5 元，破线概率 2.0%。

于是「15% 底线值多少钱」有了明确答案：25.5 元，两单。而这两单可以用 1.5 元的换电成本买回来——换电的性价比是 3.5%，几乎没有理由不换。

4.3　电量轨迹：在哪里撞线

图 4　电量轨迹：方案 A 在第 47.0 km 处撞穿 15% 底线，方案 C 全程留 18 个百分点的裕度，方案 D 靠中途换电复位

图 4 是四条轨迹。A 的斜率最平缓（每公里耗 2.08% 电），一路下探到 2.1%，在 47.0 km 处穿过 15% 线；B 在 40.4 km 处收手，末端 15.8%，离开底线还有 0.8 个百分点，但这 0.8 个百分点不够覆盖一次 15% 的波动（\(1.645\times6.1=10.0\) km，折 20.8 个百分点的电量）。C 的末端 32.5%，裕度 17.5 个百分点，正好把 95% 分位兜住。D 是唯一一条「回头上扬」的曲线：在第一段末 30.9 km 处换电复位到 100%。

4.4　底线比例的主灵敏度

图 5　底线比例从 5% 提到 35%：可接单量在两处台阶跌落（7.8% 与 24.9%），可用里程被压到 25.0 km

表 3　底线比例扫描（95% 置信、波动 15%）

底线 \(\underline{e}\)	保守预算 /km	最优单量	最优收入 /元	相对 15% 方案
5%	36.6	7	75.0	+8.0
10%	34.7	6	69.5	+2.5
15%	32.7	6	67.0	+0.0
20%	30.8	6	66.0	-1.0
25%	28.9	5	59.0	-8.0
30%	27.0	5	57.5	-9.5
35%	25.0	5	54.5	-12.5

图 5 的曲线不是斜线而是台阶，因为单量是整数。两处跌落很清楚：底线过 7.8% 掉到 6 单，过 24.9% 掉到 5 单。临界值的解析形式是 \(\underline{e}_k=1-(1+z_\beta\gamma)\,B_k/R\)，\(B_k\) 是装下 \(k\) 单所需的最短里程（取最短的 \(k\) 单）：\(B_7=35.5\)、\(B_6=28.9\)，代进去正好是 7.8% 与 24.9%。

结论比直觉更悲观：15% 这条线本身就在陡坡上。系统如果把底线从 15% 提到 20%，收入从 67.0 掉到 66.0 元（-1%），单量却只掉 0 单——因为 20% 仍在 6 单的平台区内；真正掉单发生在 24.9%，一过就是 12.5 元。反之，底线降到 10% 只多 1 单，降到 5% 才多 1 单。底线在 8%–25% 之间是「免费的」，出了这个区间每一步都贵。

4.5　二维灵敏度：底线 × 波动

图 6　底线比例 × 里程波动系数的二维热图：波动从 5% 抬到 20%，同样的 15% 底线从 7 单掉到 6 单

图 6 把波动系数也放进来。热图对角方向是「等效」的：底线每升高 10 个百分点，约等于波动从 5% 涨到 15% 的惩罚（两者都通过 \(1+z_\beta\gamma\) 这个乘子与 \(1-\underline{e}\) 对抗）。注意本案参数（星号）不在等高线的边缘：往左下走还有 2 单的空间，往右上走一步就掉到 6 单。对骑手来说，这意味着「雨天（波动大）+ 平台提底线」的双重挤压不是线性叠加，而是直接跳台阶。

4.6　第三维：置信水平

图 7　第三维：置信水平从 90% 抬到 99%，保守预算从 34.2 km 收到 30.2 km，单量 6→6

图 7 固定底线 15%、波动 15%，只动置信水平。90% 时预算 34.2 km、6 单；95% 时 32.7 km、6 单；97.5% 与 99% 都是 30.2 km、6 单。置信水平的边际成本同样是台阶：从 90% 到 95% 要付 1 单，从 95% 到 99% 反而只多 0 单——因为分位数 \(z_\beta\) 的增长（1.282→2.326）被 32.7 km 的平台宽度吃掉了。这解释了为什么业界的「95% 准时率」不是随便挑的：它是「再往上加钱也换不到安全」的拐点。

4.7　帕累托前沿与不可行边界

图 8　收入—里程帕累托前沿与不可行阴影：预算线右侧一律不可行，前沿在 32.7 km 处给出 67.0 元的拐点

图 8 是 1024 个子集全部枚举后的帕累托前沿：横轴里程、纵轴毛收入，红色阴影是超过 32.7 km 的不可行区。前沿在 32.4 km 处给出 67.0 元，再往右每 0.1 km 大约换 0.3 元收入，直到 47.0 km 的 92.5 元——前沿平坦说明「多跑」的边际收益在递减，而预算线正好卡在陡转点的左边。三个方块是 A、B、C 的位置，A 越过了预算线 14.3 km，B 越过 7.7 km，只有 C 落在可行域内。

4.8　末端电量的分布

图 9　末端电量的累积分布：方案 A 有 81% 的班次跌破 15%，方案 C 只有 4.2%

图 9 把三个方案的末端电量画成累积分布。读法是：曲线在 15% 处的纵坐标就是破线概率。A 的曲线在 15% 处是 81%，B 是 47%，C 是 4.2%。关键在曲线的形状：A 的分布几乎整体落在 15% 左边，说明它不是「偶尔踩线」，而是「常态踩线」；B 的均值 15.8% 虽然在线右边，但标准差 12.6 个百分点，尾巴仍然越过底线；C 的均值 32.5%、标准差 10.1，\(15\%\) 落在 1.73 个标准差之外。

4.9　分区域结构

图 10　分区域收入堆叠：机会约束把总量压掉 42.5 元，天河、越秀的短单结构基本没动，被砍的是番禺两单

图 10 把收入按区域堆叠。方案 A 与 C 的差别集中在番禺：A 拿了两单番禺（7.4 与 8.0 km），C 一单也没拿——番禺单是「远而贵」的典型，正好卡在预算边缘，它们的单位里程收入 1.69 与 1.25 元/km 只比入选门槛低一点点。天河、越秀的短单在四个方案里几乎不动，稳定性最好。若骑手只能跑半天，优先接天河、越秀，这是数据的直接结论。

5　结论

第一，15% 的底线不是余量，是置信水平。「留 15%」在确定模型里只是一条减法，在随机模型里它变成了乘子 \(1/(1+z_\beta\gamma)=0.80\)：可用里程从 40.8 km 缩到 32.7 km，等于再多留 20% 的余量。这就是为什么按 85% 硬约束接单的骑手，仍然有约三成班次会踩线。

第二，底线的价格是 2 单、25.5 元，但可以用换电买回来。本案里换电成本 1.5 元换回 42.5 元收入，性价比 3.5%；只要换电绕行不超过 \(\delta\)，第二段预算就从 32.7 km 减 \(\delta\)，绕行 2 km 以内仍然划算。「提前换电」不是保守，是把风险预算重新分配。

第三，底线比例的临界点在 7.8% 与 24.9%。 低于 7.8% 时提高底线不花钱（8 单掉到 7 单发生在 7.8% 以下，本案区间内已过），7.8%–24.9% 之间是 6 单的平台区，一过 24.9% 立刻掉到 5 单、少 12.5 元。平台若要把底线从 15% 提到 25%，必须同时放松时长或补贴换电，否则骑手的可接单量直接砍掉三分之一。

第四，建模的教训是「保守替代要报误差」。 式 (5) 用 \(\sum\mu_ix_i\) 代替 \(\sqrt{\sum\mu_i^2x_i}\)，本案实际破线 4.2%，名义 5%——保守了 0.8 个百分点。想精确，就把式 (4) 的根号用分段线性或二阶锥写进去，规模仍是 10 个 0-1 变量，Gurobi 一样秒解。

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参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

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复现方式：python batch_070.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/