案例 069　换电顺路做

案例 069　换电顺路做

摘要：换电柜不是目的地。把 12 单的送餐路径与 5 座换电柜放进同一个有向图，柜子与客户点同构、只是收益为 0、停留 3 min，模型自己决定「在哪一单之后拐进去」。三种方案对比：不换电只能跑 6 单、净收入 51.1 元；专程去 2.40 km 外的柜子、全程 64.7 km，跑满 12 单、净收入 109.4 元；顺路插进 0.35 km 处的柜子、全程 58.3 km，同样 12 单、净收入 111.3 元。同一批订单、同一次换电，位置换一下就是 6.5 km、19 min 的差；而顺路换电真正的价值是把单量从 6 单抬到 12 单——多接 6 单、多赚 60.2 元。

关键词：可选站路径；换电位置；电量递推；混合整数规划；绕行成本；灵敏度分析

1　问题提出

1.1　问题是什么

午高峰四个小时，系统推来 12 单，毛收入 130.3 元，跑完要 58.3 km。车的满电续航 42 km，扣掉 15% 安全边际只剩 35.7 km 可用——一管电跑不完全部单，必须换一次电。麻烦在于换电柜不在路线上：最近的柜离第 5 单客户只有 200 m，最远的单子离开柜子有 8.94 km，取餐一趟连柜都见不到。

所以真正要决定的不是「换不换」，而是「在哪一单之后拐进去」。拐进 200 m 外的柜，来回 0.4 km、一分多钟；拐进 2.40 km 外的柜，来回 4.8 km、十几分钟——同样的电，代价差十倍。

表 1　八单代表数据（全 12 单见 data_069.csv，柜距取最近换电柜）

订单 区域 \(D_{i}\) /km \(w_{i}\) /元 \(q_{i}\) /份 \(\delta_{i}\) /km 顺路柜 所在段
O01 天河 4.20 9.5 2 3.03 否 1
O03 越秀 10.23 8.5 2 3.90 否 2
O05 海珠 15.21 12.5 3 0.20 是 2
O06 海珠 17.68 10.0 2 3.67 否 2
O08 番禺 18.98 9.0 2 0.35 是 2
O10 越秀 13.67 11.5 3 5.96 否 1
O11 天河 9.84 8.8 2 6.25 否 1
O12 天河 10.10 10.5 3 8.94 否 1

1.2　为什么要优化

第一，不换电直接砍掉一半单。12 单的路径里程 58.3 km 需要 139% 的电，一管电只有 85%，图 3 里不换电只完成 6 单、51.1 元。

第二，「专程」和「顺路」的差别被低估了。专程方案总里程 64.7 km，比顺路多 6.5 km，按 20 km/h 折 19 min，按 0.30 元/km 折 1.9 元；多跑的里程本身还要耗电。

第三，换电点选错会挡掉后面的单。换电把电量复位到 100%，复位之后剩下的路必须在一管电内跑完；换早了浪费电，换晚了电压到 15% 以下，模型里 \(e_{i}\ge e_{\min}\) 是硬约束，违反就是推车。

1.3　Gurobi 如何求解

决策三组：\(y_{ij}\in\{0,1\}\) 走不走弧 \((i,j)\)、\(x_{i}\in\{0,1\}\) 接不接单、\(w_{s}\in\{0,1\}\) 用不用柜 \(s\)。12 个客户点加 5 个候选柜加起终点共 19 个节点，弧变量约 323 个。电量 \(e_{i}\) 沿弧递推，经过柜点时用「复位项」\((100-e_{i})w_{i}\) 线性化（式 4）；子回路用 MTZ 割掉（式 5）。柜子与客户点在模型里完全同构，唯一区别是经过它时收益为 0、耗电被清零、时间加 3 min——这就是「可选站」写法的全部技巧，一套 \(y_{ij}\) 同时管路径与换电。

规模不大，但电量递推让 LP 松弛变松。三方案与 32 次扫参求解合计 47 s 内跑完，主方案在 1.5 s 内证到 gap 0。

2　数学模型

2.1　符号说明

\(I\) 为客户点集合（\(|I|=12\)），\(S\) 为候选换电柜集合（\(|S|=5\)），\(0\) 为取餐区、\(n+1\) 为回程终点（与 \(0\) 同址）；\(A\) 为可行弧集；\(d_{ij}\) 为弧长，\(D_{i}\) 为订单 \(i\) 到取餐区的直线距离，\(\delta_{s}\) 为柜 \(s\) 到最近客户点的距离，\(\bar{\delta}\) 为顺路阈值（本案 0.5 km）；\(w_{i}\) 为单收入、\(\tau_{i}\) 为单占用时长；\(R\) 为满电续航、\(e_{i}\) 为到达 \(i\) 时的电量、\(e_{\min}\) 为安全边际、\(\tau_{s}\) 为单次换电耗时、\(\kappa\) 为换电次数上限；\(c_{k}\) 为里程成本、\(c_{s}\) 为换电固定成本、\(v\) 为车速、\(T\) 为班次时长。

2.2　目标函数

\[\max\ Z=\sum_{i\in I}w_{i}x_{i}-c_{k}\sum_{(i,j)\in A}d_{ij}y_{ij}-c_{s}\sum_{s\in S}w_{s}\tag{1} \]

收入按单计，里程按 0.30 元/km 折（电费加折旧），换电按 1.5 元/次折（3 min 的机会成本）。里程项是这一例的关键：它让「专程」与「顺路」在同一把尺子上比较，专程方案多跑的 6.5 km 直接从利润里扣。

2.3　约束条件

\[\sum_{j:(i,j)\in A}y_{ij}=x_{i},\quad \sum_{j:(j,i)\in A}y_{ji}=x_{i},\qquad \sum_{j}y_{0j}=\sum_{j}y_{j,n+1}=1,\qquad \sum_{s\in S}w_{s}\le \kappa\tag{2} \]

每个接了的单必须一进一出；起终点各一条弧；换电次数不超过 \(\kappa\)（本案 1 次）。

\[\sum_{j:(i,j)\in A}y_{ij}=w_{s},\quad \sum_{j:(j,i)\in A}y_{ji}=w_{s},\qquad y_{ij}=0\ \ \text{若}\ \delta_{s}>\bar{\delta}\ \text{或}\ s\notin S\tag{3} \]

式 (3) 是「可选站」的开关：柜子被选中才一进一出，且只有 \(\delta_{s}\le\bar{\delta}\) 的柜子才进入候选集——这一条把「顺路」写成了可行性约束，而不是目标里的软惩罚。阈值之外的柜子在专程方案里才放开，此时它的插入代价 \(d_{a,s}+d_{s,b}-d_{a,b}\) 自动接近 \(2\delta_{s}\)。

\[e_{j}=e_{i}-\frac{100\,d_{ij}}{R}+(100-e_{i})\,w_{i},\qquad e_{i}\ge e_{\min}\ \ (\forall i\in I\cup S)\tag{4} \]

到达 \(j\) 的电量等于到达 \(i\) 的电量减去这段耗电；若在 \(i\) 处换了电，则先复位到 100% 再扣。\((100-e_{i})w_{i}\) 是双线性项，用两条大 M 约束替代：\(w_{i}=1\) 时强制 \(e_{j}=100-100d_{ij}/R\)，\(w_{i}=0\) 时强制 \(e_{j}=e_{i}-100d_{ij}/R\)。安全边际对每个访问点（含柜）生效。

\[u_{j}\ge u_{i}+1-n\,(1-y_{ij}),\qquad \sum_{i\in I}\tau_{i}x_{i}+\tau_{s}\sum_{s\in S}w_{s}+\frac{60}{v}\sum_{(i,j)\in A}d_{ij}y_{ij}\le T\tag{5} \]

MTZ 消子回路（\(u_{i}\) 为访问序）；时间约束把送餐停留、换电、骑行三项加起来不超过 240 min。

2.4　规模与性质

19 个节点、323 个弧变量、12 个选单变量、1 个换电开关，约束约 700 条。这是一条带电量约束的奖金收集 TSP（prize-collecting TSP with battery），NP 难；但本案节点少、电量是路径的单调函数，分支定界秒级就能证到 gap 0。与经典燃料约束 VRP 的差别在于：柜子是可选的中间点，插不插由模型定，而不是预先给定的固定站点。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

柜子与客户点共用一套 \(y_{ij}\)，靠节点编号区间区分角色：

for k, s in enumerate(stas):                    # 柜点：一进一出由 w_s 控制
    md.addConstr(gp.quicksum(yv[a, b] for (p, b) in yv if p == a) == ws[k])
for (a, b) in yv:                               # 电量递推，柜点带复位项
    if a >= 1 + K:
        md.addConstr(e[b] >= e[a] - c - ME*ws[k] - ME*(1 - yv[a, b]))
        md.addConstr(e[b] >= 100 - c - ME*(1 - ws[k]) - ME*(1 - yv[a, b]))

一个实现细节：换电点的两组约束必须互补门控——「不换电」那一对用 \(w_{s}\) 放松、「换电」那一对用 \(1-w_{s}\) 放松。两对同时生效会把 \(e_{j}\) 逼到 \(100-c\) 与 \(e_{i}-c\) 两个值上，只要换电前电量不是满的就不可行，表现出来是「模型宁可少接单也不换电」。另一个坑是起终点同址——若共用一个节点，出度与入度会互相污染，必须拆成 \(0\) 与 \(n+1\) 两个节点。

3.2　求解结果

表 2　三方案结果（$R=42$ km，$\tau_{s}=3.0$ min，$\delta\le0.5$ km，$\kappa=1$）

方案 单量 总里程 /km 毛收入 /元 净收入 /元 用时 /min 换电柜
不换电 6 34.0 61.3 51.1 117 —
专程去换 12 64.7 130.3 109.4 227 C5（2.4 km）
顺路插入 12 58.3 130.3 111.3 208 C2（0.35 km）

三行读下来：不换电 6 单 / 51.1 元；专程去换 12 单 / 109.4 元、64.7 km；顺路插入 12 单 / 111.3 元、58.3 km。换电本身只值 1.5 元，值钱的是位置：专程比顺路多跑 6.5 km、多花 19 min、少赚 1.9 元。

4　结果分析

图 1　顺路换电方案的实际路径：第 1 段 5 单，在柜 C2 换电后跑第 2 段 7 单

4.1　路径与换电点　图 1 把顺路方案的完整路径画出来：第 1 段 5 单向东扫到柜 C2（离客户点 0.35 km），换电后第 2 段 7 单绕回取餐区。柜 C2 几乎压在 O08 客户身上（0.35 km），箭头在这里只多拐了一个小三角——这一段就是全部的「绕行」，0.00 km。 对比图里南侧的柜 C5（2.40 km 外），换电点若换成它，同样 12 单要多跑 6.5 km。

图 2　订单到最近换电柜的距离与单收入的散点，气泡面积为份数

4.2　绕行—收益画像　图 2 横轴是订单到最近柜的距离、纵轴是单收入、气泡是份数。2 单的 \(\delta_{i}\le0.5\) km（绿色），其余 10 单在 0.6—8.94 km 之间（灰色）。关键不是「哪单收入高」，而是「哪单旁边有柜」：O05 收入 12.5 元只排中游，但它旁边的柜距只有 0.20 km，是整条路线上少有的免费换电机会。

图 3　三种换电方案的单量、净收入与总里程对比

4.3　三方案对比　图 3：6 单 / 51.1 元、12 单 / 109.4 元、12 单 / 111.3 元。不换电被一管电卡死在 6 单；一旦允许换电，单量天花板顶到 12 单，剩下的差别全是位置成本。专程与顺路的净收入差 1.9 元、里程差 6.5 km——不是订单质量的差别，是柜子位置的差别。

图 4　累计里程与剩余电量：顺路换电把曲线在零绕行处拉回 100%

4.4　电量曲线　图 4 横轴累计里程、纵轴剩余电量。不换电那条（点线）在 34.0 km 处停住，剩余 19.0%，再走一单就破 15% 线；专程那条（虚线）在 31.6 km 处有一个 100% 的竖跳，跳之前的谷底是 21.3%——绕行本身耗电，为了换电先把电用在路上，这是「专程」的隐藏成本。顺路那条（实线）在 27.6 km 处竖跳，谷底 27.1%，跳前后几乎不占横轴。

图 5　满电续航对单量与方案总里程的影响

4.5　续航灵敏度　图 5 左轴单量、右轴总里程。续航从 30 km 提到 60 km，顺路方案从 7 单升到 12 单并很快封顶，不换电方案从 3 升到 9 单、一路缓升——续航越短，换电越值钱；越短，两条线的差越大。右轴的总里程随续航上升而缓慢增加，说明长续航下模型愿意为多接单走更远的路。

图 6　续航 × 可用柜距阈值的热图，黄框为本案参数

4.6　续航 × 柜距阈值　图 6 是 4×4 热图，行是可用柜距阈值 \(\bar{\delta}\)、列是续航。同一列自上而下（续航 42 km 列）：109.7 → 111.3 → 111.3 → 111.3 元，阈值从 0.25 km 放到 2.40 km 只值 1.7 元；同一行自左向右（阈值 2.40 km 行）从 80.1 到 111.3 元，值 31.2 元。柜距阈值的作用远小于续航：多记十座远处的柜，不如把电池换新。 本案参数（42 km、0.5 km）落在拐点附近（星标）。

图 7　平均车速对净收入与单量的影响（第三维）

4.7　车速（第三维）　图 7 左轴净收入、右轴单量，横轴是平均车速。从 15 km/h 提到 23 km/h，净收入从 94.4 元升到 111.3 元、单量从 10 单升到 12 单，23 km/h 之后完全走平。这是一条「先断后平」的曲线：车速低于 17 km/h 时骑行时间挤占班次，被迫少接 2 单；高于 17 km/h 后瓶颈交回给电量，再快也没用——与图 5 的续航曲线互为镜像，一个管「一管电跑多远」，一个管「四小时跑多远」。

图 8　里程预算与可接单量的前沿，灰色为单池上界以上的不可达区

4.8　里程—单量前沿　图 8 横轴是路径里程预算、纵轴是能给到的最多单量。预算 28 km 时只能 4 单，60 km 时给到 12 单（单池上限 12 单，灰区是上界以上不可达）。前沿在 36—52 km 之间最陡：每多 8 km 预算能换回 1—3 单，超过 52 km 后平掉——本案实际里程 58.3 km 已经站在平的这一侧，说明里程不是本案的瓶颈，电量分配才是。

图 9　订单到最近换电柜距离的分布与累计占比

4.9　柜距分布　图 9 是订单到最近柜的距离直方图加累计曲线。12 单里只有 2 单在 0.5 km 内，中位数 3.10 km，最长 8.94 km——柜子集中在送货带的两三个角落。累计曲线在 0.5 km 处只爬到 17%，也就是说八成订单旁边没有柜——「顺路」不是普遍机会，而是少数订单才有的运气。这也解释了图 6 里柜距阈值那一条为什么几乎不值钱：阈值从 0.25 放到 2.5 km，能用的柜从 1 座变成 5 座，但真正贴着路线的那一座一直是同一座。

图 10　顺路方案逐单插入边际贡献，虚线为均值

4.10　逐单边际贡献　图 10 按插入边际（\(w_{i}-c_{k}\cdot\)插入距离）从高到低排。最高 13.42 元、最低 8.04 元、均值 10.45 元，极差只有 5.38 元。12 单的边际贡献高度平均，说明最优解不是「挑肥拣瘦」挑出来的，而是「电够了就全接」——单量的天花板是电量，不是订单质量。

5　结论

  1. 换电要顺路做，专程的代价可以精确到公里和分钟。 同样 12 单、同样一次换电，专程去 2.40 km 外的柜要多跑 6.5 km、多花 19 min、少赚 1.9 元（图 3、图 4）。绕行不只是一段路，它同时吃掉电量和班次时间。
  2. 顺路换电真正买回的是单量。 不换电 6 单 / 51.1 元，顺路换电 12 单 / 111.3 元，多 6 单、多 60.2 元；1.5 元的换电固定成本可以忽略，6 单才是主收益。
  3. 柜子应该建成「客户点的邻居」，而不是「目的地」。 把柜与客户点同构进同一个 \(y_{ij}\) 图，模型自己算出绕行 0.00 km 的插法；柜距阈值从 0.25 放到 2.5 km 只值 1.7 元（图 6），位置比数量重要。
  4. 最优换电点落在「两段里程的均衡点」上，而不是最近的那座柜。 本案最近的柜离客户 200 m（柜 C1），模型却在 0.35 km 的柜 C2 上换电，因为切分点要卡在总量程的一半附近；换完后谷底 27.1%，仍高于 15% 硬线（图 4）。
  5. 瓶颈是电量，不是里程、不是柜子数量。 里程—单量前沿在 58.3 km 处已经走平（图 8），车速到 17 km/h 以上不再掉单（图 7）——要提升单量，先换电池，再谈记柜子。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

复现方式：python batch_069.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/

posted @ 2026-11-11 18:04  小青蛙电气  阅读(0)  评论(0)    收藏  举报