案例 067 电池什么时候该换新

案例 067　电池什么时候该换新

摘要：电池按 \(C(t)=24\exp(-0.016t)\) 衰减，第 14 个月跌破额定容量的 80%，续航从 55 km 掉到 44.0 km，而日均骑行要 43 km。把"换新净支出"摊到每个月、把"续航不足的额外换电"折成钱，就得到一个离散生命周期的经济寿命问题：早换让 660 元的净支出摊到更多月份、每月更贵；晚换要天天多跑一趟换电柜。本文用 0-1 变量 \(z_{t}\) 做 SOS1 选月、以 \(t_{r}=\sum t z_{t}\) 联结，建立 36 个候选月的均摊成本最小化模型。Gurobi 求得最优更换月为第 18 个月、单位月均成本 40.77 元，比"80% 就换"省 6.37 元/月，36 个月现金从 1320 元降到 808 元。

关键词：设备更新；经济寿命；SOS1 选月；容量衰减；均摊成本

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1　问题提出

1.1　一块电池的三年账

新电池 24 Ah、满电跑 55 km，售价 780 元；旧电池残值 120 元，换一次净掏 660 元。厂商标称衰减曲线 \(C(t)=24\exp(-0.016t)\)，续航按同一比例缩水，第 14 个月只剩 44.0 km。小哥一天跑 43 km、一个月出勤 26 天，从这天起一块电池跑不满一天，中间必须再换一次；单次换电综合成本 36 元（电费 6 元加绕路排队折 30 元）。

表 1　电池衰减与额外换电成本（抽样）

月龄 t	容量 C(t)/Ah	续航 R(t)/km	等效额外换电/次每月	额外换电成本/元
1	23.62	54.13	0.00	0.0
6	21.80	49.97	0.00	0.0
12	19.81	45.39	0.00	0.0
14	19.18	43.96	0.00	0.0
18	17.99	41.24	1.11	40.0
24	16.35	37.46	3.84	138.4
36	13.49	30.92	10.16	365.8

1.2　为什么要优化

换新是一次性 660 元的大额支出，摊到 12 个月是 55.00 元/月，摊到 18 个月只有 36.67 元/月，差 18.33 元。续航不足的代价却是持续性的：第 36 个月单月额外换电成本已到 365.8 元，一年 4389.3 元，比一块新电池还贵。两个方向相反的力必然交于一点，而"80% 就换"的经验规则只看容量，既不看换电成本，也不看电池价格，拍不出这个交点。

1.3　Gurobi 如何求解

候选月只有 36 个，枚举也能算，但写成 0-1 规划有三个好处：\(\sum z_{t}=1\) 严格表达"只选一个月"，不必用大 M 松弛；\(t_{r}=\sum t z_{t}\) 把决策提成一个整数变量，便于追加"保修期内不得更换"一类线性约束；灵敏度扫描时只改目标系数不改模型结构，一套代码复用二十余次。

2　数学模型

2.1　符号说明

表 2　符号说明

符号	含义	取值/单位
\(C(t)\)	月龄 t 的电池容量	Ah
\(R(t)\)	月龄 t 的续航里程	km
\(D\)	日均骑行里程	43 km
\(d\)	每月出勤天数	26 天
\(c_s\)	单次换电综合成本	36 元
\(P_n,\ P_s\)	新电池售价、旧电池残值	780 / 120 元
\(e_t\)	月龄 t 当月的额外换电成本	元
\(z_t\)	是否在第 t 个月换新（0-1）	-
\(t_r\)	选定的更换月	月
\(c_t\)	更换周期为 t 时的单位月均成本	元/月

2.2　目标函数

容量与续航同比例衰减：

\[C(t)=24\exp(-0.016t),\qquad R(t)=55\exp(-0.016t)\tag{1} \]

月龄 \(t\) 的电池当月需要的等效额外换电成本，按续航缺口比例折算：

\[e_{t}=26\times 36\times\max\left(0,\ \frac{43}{R(t)}-1\right)\tag{2} \]

若在第 \(t\) 个月换新，一个更换周期的支出为新电池净价加上这期间的额外换电成本，摊到每个月：

\[c_{t}=\frac{660+\sum_{\tau=1}^{t}e_{\tau}}{t}\tag{3} \]

\[\min\ Z=\sum_{t=1}^{36}c_{t}z_{t}\tag{4} \]

2.3　约束条件

\[\sum_{t=1}^{36}z_{t}=1\tag{5} \]

\[\sum_{t=1}^{36}t\,z_{t}=t_{r}\tag{6} \]

\[z_{t}\in\{0,1\},\qquad t_{r}\in\{1,2,\dots,36\}\tag{7} \]

式 (5) 是"只选一个月"的指派约束，等价于对 \(z\) 施加 SOS1；式 (6) 把 0-1 向量压成一个整数决策 \(t_{r}\)，报告与追加约束都用它；式 (7) 给出取值域。

2.4　规模与性质

37 个 0-1 变量、1 个整数变量、2 条等式约束，Gurobi 在根节点即证最优。系数 \(c_{t}\) 是"固定支出除以周期 + 凸增持有成本"的经典经济寿命结构，最优解必落在 \(c_{t}\) 的极小点上。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

z  = m.addVars(range(1, 37), vtype=GRB.BINARY)
tr = m.addVar(lb=1, ub=36, vtype=GRB.INTEGER)
m.addConstr(gp.quicksum(z[t] for t in range(1, 37)) == 1)
m.addConstr(gp.quicksum(t * z[t] for t in range(1, 37)) == tr)
m.setObjective(gp.quicksum(unit[t-1] * z[t] for t in range(1, 37)), GRB.MINIMIZE)

一个实现细节：\(c_{t}\) 里的 \(\sum e_{\tau}\) 在建模前用 numpy.cumsum 一次算好，作为目标系数传入，模型因此保持纯线性；若把累加写进约束，会凭空多出 36 个辅助变量而毫无收益。

3.2　求解结果

表 3　三种更换策略的对比

策略	更换周期/月	设备摊薄/元每月	换电成本/元每月	合计/元每月	36 个月现金/元
激进早换	12	55.00	0.00	55.00	1320.0
80% 容量阈值	14	47.14	0.00	47.14	1320.0
模型最优（SOS1）	18	36.67	4.10	40.77	807.7

最优更换月 \(t_{r}^{*}=18\)，单位月均成本 40.77 元，其中设备摊薄 36.67 元、额外换电 4.10 元。作为对照，第 14 个月是 47.14 元、第 12 个月是 55.00 元——早换确实更贵。

4　结果分析

4.1　衰减曲线与换电成本（图 1、图 2）

续航从 55 km 单调降到第 36 个月的 30.9 km，容量同步从 24 Ah 降到 13.49 Ah。图上两条竖线分得很开：第 14 个月是厂商的"容量 80%"线，第 18 个月才是经济的成本最低线，两者差 4 个月，正是本文要解释的差额。额外换电这笔钱也不是线性上升的，它在续航跌破日均需求那一刻才从 0 跳起来：第 15 个月仍是 0 元，第 16 个月 9.28 元，第 18 个月 40.02 元，第 36 个月 365.8 元。气泡大小对应续航，越往右气泡越小、成本越高，这就是"续航不足期"的画像。

图 1　容量、续航与两个关键月：14 个月跌破 80%，18 个月才是成本最优点

图 2　逐月额外换电成本：第 16 个月起才真正开始花钱

4.2　三种策略与现金流（图 3、图 4）

把每月的钱拆成"设备摊薄"和"换电成本"两块，三条路的差别一目了然：12 个月换，设备摊薄 55.00 元/月；14 个月换，47.14 元/月；18 个月换，36.67 元/月。换电成本要到 18 个月才冒出 4.10 元，远小于省下的设备摊薄。

图 3　三种更换策略的单位月均成本分解

均摊成本是决策口径，小哥真正掏的是现金。按 12 个月或 14 个月换，36 个月内要换两次，累计 1320 元；按 18 个月换只换一次（第 36 个月期末不再换），累计 808 元，少掏 512 元。阶梯线的台阶位置就是换新时点，最优方案那条只有一个台阶。

图 4　三种策略的 36 个月累计现金支出

4.3　衰减速率与新电池价格（图 5—图 7）

衰减速率从 0.008 走到 0.032，最优更换月从 33 个月一路提前到 10 个月：衰减越快，早期续航掉得越狠，越该早换。同一张图上 960 元的曲线整体更靠后，设备越贵越要把周期拉长去摊薄，但幅度有限——衰减率 0.020 处只从 14 推到 15 个月。

图 5　最优更换月与最优月均成本对衰减速率、电池价格的双重响应

图 6 把成本曲面对衰减率展开：颜色越深越便宜，红色轨迹是逐列最优月，斜率明显为负——衰减率每提高 0.004，最优月提前 4—5 个月。

图 6　更换月与衰减速率二维成本曲面（星号为本案参数）

图 7 单独看价格：售价 600 元时最优 17 个月，960 元时 18 个月，只挪动 1 个月，但月均成本从 30.22 元升到 50.77 元。结论是价格决定"贵不贵"，衰减率才决定"何时换"。

图 7　新电池售价对最优更换月与月均成本的影响

4.4　前沿、分布与边际贡献（图 8—图 10）

图 8 的阴影是"续航不足区"：更换周期一旦超过 14 个月，电池就进入跑不满一天的状态。曲线在第 18 个月触底后迅速抬升，第 24 个月已到 54.73 元、第 30 个月 83.92 元——拖得越久，换电柜越像无底洞。

图 8　更换周期—月均成本前沿与续航不足区

图 9 把 27 个候选解的成本做成直方图：33% 的候选月成本低于 50 元，最优解 40.77 元落在最左侧，说明"18 个月附近"是一段平坦的好区域，不必精确到某一个月。

图 9　候选更换月的成本分布与累计占比

图 10 把从 14 个月延到 18 个月的净收益拆开：设备摊薄降 10.48 元，换电电费升 0.68 元，绕路排队升 3.42 元，净降 6.37 元/月，折年 76.5 元。设备一项量级最大，也是唯一带负号的。

图 10　从阈值规则推迟到最优月的边际贡献分解

5　结论

第一，最优更换月是第 18 个月，单位月均成本 40.77 元；它既不等于厂商的"80% 容量"线（14 个月），也不是越晚越好。

第二，经验规则偏保守的代价是 6.37 元/月、76.5 元/年；放到 36 个月看，阈值规则要多换一次电池，现金多掏 512 元。

第三，驱动力是两条曲线的交点：660 元净支出除以更长的周期一直在降，额外换电成本在第 16 个月后加速上升，交点落在 18 个月。

第四，灵敏度方向明确：衰减率每差 0.004、最优月移动 4—5 个月；电池价格涨 360 元、最优月只挪 1 个月。参数标定应优先测准衰减率。

第五，模型骨架（SOS1 选月加整数联结）可直接搬到轮胎、刹车片、手机电池等任何"固定更换成本加凸增持有成本"的场景，只换系数不换结构。

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参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

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复现方式：python batch_067.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/