案例 066 带一块备用电池

案例 066　带一块备用电池

摘要：电动车满电跑 \(40.8\) km，\(12\) 份箱容只够装 \(20\) 份货。备用电池能多跑 \(40.0\) km，代价是占掉 \(1\) 份箱容、多背 \(5\) kg（能耗升 \(6.0\)%），另付 \(0.40\) 元搬运折旧。把它写成 \(12\) 个接单变量加 \(1\) 个"带不带"变量的双约束 0-1 规划，目标 $ \max \sum_i w_i x_i - 0.40 b$；再把"不换电就得多绕 \(2.6\) km、多排 \(5.0\) min"折成 \(2.56\) 元补进目标。题给目标把绕行这一项漏了，模型自报 \(78.5\) 元、判"不带"；把绕行折成钱补上，最优解翻成"带"，净收益 \(77.60\) 元对 \(75.94\) 元，只多 \(1.66\) 元。 备电池值不值，取的是"省下的绕行 + 多接的单"与"那 \(1\) 份箱容的机会成本"之比：单量密度一高，\(1\) 份箱容就值到 \(5.80\) 元，结论立刻翻回"不带"。密度尺度降到 \(0.9\) 左右，带电池反而亏 \(2.34\) 元。

关键词：装备-容量联合选择；双约束背包；机会成本货币化；单量密度；影子价格

1　问题提出

1.1　问题是什么

午高峰有一批顺路单，\(12\) 笔候选装在 \(12\) 份的箱子里。每笔订单占 \(q_i\) 份、值 \(w_i\) 元、往返 \(d_i\) km，见表 1。满电续航 \(40.8\) km，\(6.0\)% 的负重折损先记在账上，于是不带电池只能跑 \(38.4\) km，带电池能跑 \(76.0\) km。

表 1　12 笔候选订单的箱容、收入与里程

订单	片区	份数 / 份	收入 / 元	里程 / km	单位里程收入 /（元/km）
O01	岗顶	1	9.00	2.76	3.26
O02	棠下	2	13.50	6.44	2.10
O03	石牌	1	7.50	3.45	2.17
O04	车陂	3	16.00	7.82	2.05
O05	岗顶	1	6.50	2.30	2.83
O06	棠下	2	11.50	8.28	1.39
O07	车陂	1	9.80	7.48	1.31
O08	石牌	2	12.00	4.83	2.48
O09	岗顶	1	5.80	4.02	1.44
O10	车陂	3	15.50	10.35	1.50
O11	棠下	1	8.20	6.32	1.30
O12	员村	2	11.00	9.20	1.20

三个数先摆平：备电池省一次换电，绕行 \(2.6\) km 加排队插拔 \(5.0\) min，按 \(0.60\) 元/km、\(0.20\) 元/min 折成 \(2.56\) 元；它自己又要占 \(1\) 份箱容、背 \(5\) kg、付 \(0.40\) 元。两项都折成元，才有得比。

1.2　为什么要优化

第一，两笔账不在一个量纲上。续航是 km，箱容是份，收入是元。只盯着"多跑 \(40.0\) km"会漏掉箱容那一头：\(20\) 份需求挤 \(12\) 份箱容，每份箱子都有人在排队，占掉一份就是少接一单。

第二，题给目标漏了一项。$ \max \sum_i w_i x_i - 0.40 b$ 只扣了电池的搬运折旧，没扣"不带就得绕路换电"的 \(2.56\) 元。按这个式子解，最优是"不带"（自报 \(78.5\) 元）；补上绕行，最优变成"带"（\(77.60\) 元）。同一组数据，一项漏算，结论反了 \(1.66\) 元。 第三，结论随单量密度翻转，不是常数：单子密时 \(12\) 份箱子是硬瓶颈，\(1\) 份箱容的机会成本高到 \(5.80\) 元，那 \(2.56\) 元绕行省不回本；单子稀、里程长时反过来。给一个"永远该带"的答案，等于把密度藏起来了。

1.3　Gurobi 如何求解

\(12\) 个 \(x_i\) 加 \(1\) 个 \(b\)，共 \(13\) 个 0-1 变量、\(2\) 条约束，分支定界在毫秒级收敛。全文调用 Gurobi \(94\) 次（三方案 + 三组扫描 + 逐单剔除），另有 \(600\) 次蒙特卡洛用向量化枚举、不调求解器，总耗时 \(0.39\) 秒。四步：

• 原式：只扣 \(0.40\) 元，得"不带"，自报 \(78.5\) 元——留作反例。
• 完整式：目标里补 \(-2.56(1-b)\)，等价于把 \(b\) 的系数从 \(-0.40\) 改成 \(+2.16\)。这一改，最优解从"不带"翻成"带"。
• 强制两解 + 扫描：\(b\) 锁 \(0\)、锁 \(1\) 各解一次对比净收益；再把里程尺度 \(k\)、折损率 \(\theta\)、箱容 \(Q\) 各扫一组，另做 \(2^{12} \times 2 = 8192\) 个组合的全枚举画前沿。

2　数学模型

2.1　符号说明

\(I\) 为候选订单集合（\(|I| = 12\)）；\(w_i\) 为订单 \(i\) 的收入（元）；\(q_i\) 为占用箱容（份）；\(d_i\) 为配送里程（km）；\(Q = 12\) 为箱容（份）；\(R_0 = 40.8\) 为单电续航（km）；\(\Delta R = 40.0\) 为备电池增量（km）；\(\theta = 0.06\) 为负重折损率；\(c_b = 0.40\) 为电池折算成本（元）；\(c_s = 2.56\) 为换电绕行折算（元）；\(b \in \{0,1\}\) 为带不带，\(x_i \in \{0,1\}\) 为接不接。

2.2　目标函数

\[\max\ \sum_{i\in I} w_i x_i - c_b b - c_s (1-b) \tag{1} \]

第一项是接单收入，第二项是电池的搬运与折旧，第三项是不带的代价：每跑一轮总得换一次电，绕 \(2.6\) km、排 \(5.0\) min，折成 \(2.56\) 元。题给原式只有前两项，本文把第三项显式写出来，\(b\) 的净系数于是从 \(-0.40\) 变成 \(+2.16\)。

2.3　约束条件

\[\sum_{i\in I} q_i x_i + b \le Q \tag{2} \]

箱容约束。\(b\) 出现在左边：备用电池自己就吃一份箱容，这是它唯一但致命的成本。

\[\sum_{i\in I} d_i x_i \le \left(R_0 + \Delta R\, b\right)(1-\theta) \tag{3} \]

续航约束。\(\theta = 0.06\) 时，不带是 \(40.8 \times 0.94 = 38.4\) km，带是 \((40.8 + 40.0) \times 0.94 = 76.0\) km。折损同时压基础续航和备电增量——\(5\) kg 是背在车上一直背着的。

\[x_i \in \{0,1\},\quad b \in \{0,1\},\qquad \forall i \in I \tag{4} \]

2.4　规模与性质

\(13\) 个 0-1 变量、\(2\) 条约束。单看是两约束背包，NP 难，但 \(2^{13} = 8192\) 就能穷举，所以本文所有前沿和分布都直接全枚举，不靠启发式。结构上有意思的是：\(b\) 在一头加资源（续航 \(+40.0\) km）、在另一头减资源（箱容 \(-1\) 份），符号相反，所以最优解一定落在"续航够不够"和"箱容满不满"两条边界之一上，结论自然随密度翻转。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

x = m.addVars(N, vtype=GRB.BINARY)
b = m.addVar(vtype=GRB.BINARY, lb=lo, ub=hi)      # 强制分支靠上下界
m.addConstr(gp.quicksum(Q[i] * x[i] for i in range(N)) + b <= CAP)
m.addConstr(gp.quicksum(d[i] * x[i] for i in range(N)) <= (R0 + RB * b) * (1 - TH))

两个实现细节：一是续航右端含 \(b\)，不用大 M 线性化——\(b\) 是 \(0\)-\(1\)，\((R_0 + \Delta R b)(1-\theta)\) 本身就是线性的，写成含 \(b\) 的右端比设两个分支干净得多；二是强制分支只改上下界（lb=ub=1），模型结构不变、重解在毫秒级。LP 松弛的影子价格正好把"紧在哪头"标出来：不带时箱容 \(1.20\) 元/份、续航 \(1.15\) 元/km；带上电池后续航松了（影子价归 \(0.00\)），箱容涨到 \(5.75\) 元/份。备电池不是买续航，是把紧约束从续航换成了箱容。整数解下这两个价会跳，只能看方向、不能当报价。

3.2　求解结果

表 2　三种口径下的最优方案（元）

口径	带电池	毛收入	电池折算	换电绕行	净收益	里程 / km	份数
题给目标（漏绕行）	否	78.5	0.00	—	75.94	37.94	12
强制不带	否	78.5	0.00	2.56	75.94	37.94	12
强制带	是	78.0	0.40	0.00	77.60	41.86	11
完整模型（自由选）	是	78.0	0.40	0.00	77.60	41.86	11

"带"比"不带"多跑 \(3.92\) km、毛收入反而少 \(0.50\) 元——它挤掉了 \(O04\) 这类大份数单，换成两笔小份数远单。净收益却高 \(1.66\) 元，全靠省下的 \(2.56\) 元绕行：\(77.60 - 75.94 = 2.56 - 0.40 - 0.50\)。

4　结果分析

4.1　结构：箱容和续航两头都紧

图 1　12 笔订单的箱容占用（棒）与配送里程（折线）

棒高是份数，折线是里程。份数大的单（\(O04\)：\(3\) 份 \(16.00\) 元）不一定里程长，里程长的单（\(O10\)：\(10.35\) km）份数也不小——两根轴不重合，才有了"挤掉一笔大单换两笔小单"的空间。蓝棒是带电池方案选中的 \(8\) 笔，灰的落选。

图 2　订单的收入—里程分布（球径 = 份数，斜虚线 = 等性价比线）

两道斜虚线是 \(1.5\)、\(2.5\) 元/km 的等性价比线。入选的点既不在最高那条线上，也不在最右边：\(O10\) 值 \(15.50\) 元、\(10.35\) km，落在 \(1.5\) 元/km 线上却落选，因为它占 \(3\) 份箱容；\(O01\) 只有 \(9.00\) 元却入选，因为只占 \(1\) 份。单价、里程、份数三个轴，选单时一个都不能少。

4.2　结果：一项漏算，结论反了

图 3　带与不带的净收益与两项成本（黑横线 = 毛收入）

黑横线标毛收入，菱形标净收益，中间那段就是成本。不带的毛收入 \(78.5\) 元更胖，被 \(2.56\) 元绕行砍掉一截，落到 \(75.94\) 元；带的毛收入 \(78.0\) 元瘦一点，只扣 \(0.40\) 元，落到 \(77.60\) 元。毛收入的高低和净收益的高低正好相反——这就是"两项都折成元再比较"的全部意义。

图 4　按单位里程收入降序累计的收入与里程

按性价比从高到低累加，累计里程爬到 \(38.4\) km 时只装得下 \(7\) 单，再往上就必须换电。紫色点线是 \(76.0\) km，它把可行域整整推后 \(37.6\) km，正好够吃下 \(O06\)、\(O07\) 这两笔。

4.3　灵敏度：密度、折损、增量

图 5　单量密度对净收益差的影响（阶梯 = 不带方案的毛收入）

横轴是里程尺度 \(k\)，\(k\) 越小表示同样的单跑得越近、单量越密。\(k = 0.80\) 时"带"比"不带"少 \(3.64\) 元，\(k = 1.10\) 时反过来多 \(7.46\) 元。翻转点落在 \(k \approx 0.95\)，本案 \(k = 1\) 站在"带"的一侧但只剩 \(1.66\) 元余量。机制在阶梯线上：\(k = 0.80\) 时不带比带多挣 \(5.80\) 元，那 \(1\) 份箱容就值 \(5.80\) 元，压过 \(2.56\) 元的绕行；\(k = 1.10\) 时这个差变成 \(-5.30\) 元，符号反了。

图 6　里程尺度与负重折损率的二维灵敏度

绿区是"带更好"，红区是"不带更好"。折损率越高、里程越长，越该带：\(\theta\) 从 \(0\)% 涨到 \(12\)%，带电池的续航从 \(80.8\) km 掉到 \(71.1\) km，可不带掉得更快（\(40.8\) 降到 \(35.9\) km），差距被拉大。本案（星标）离红区只有一格，\(5\) kg 的折损率报高了，结论就会翻。

图 7　箱容从 9 份加到 14 份时净收益差的变化

箱容从 \(9.0\) 份加到 \(14.0\) 份，差额从 \(-4.04\) 元一路升到 \(11.16\) 元。\(11.0\) 份时"带"还亏 \(0.54\) 元，\(12.0\) 份就翻正到 \(1.66\) 元——本案的 $12 份正好压在翻转线上，结论对箱容差一份极其敏感。青色阶梯是带方案毛收入，跟着箱容单调抬升，说明多出来的箱容全被喂给了远单。

4.4　前沿、风险与边际贡献

图 8　8192 个 (方案, 里程) 组合的净收益前沿与不可行区

灰点是"不带"的可行方案，粉点是"带"的，右侧红区两方案都不可达。前沿是阶梯——里程多一点、收益跳一格。最优不带（方块，\(37.94\) km）与最优带（星，\(41.86\) km）都在前沿上，但不在同一段：星标在更右边，靠 \(2.16\) 元的净补贴把整条前沿抬起来。

图 9　单价在 ±15% 内扰动时「带 − 不带」差额的分布与累计概率

抽 \(600\) 组单价，带更好的概率 \(91.7\)%，平均差额 \(2.46\) 元。左尾到 \(-1.47\) 元：几笔大份数单同时涨价，箱容立刻变贵，"带"就翻车。\(8.3\)% 的翻车率不高不低——\(1.66\) 元这个结论能用，但得按周复核。

图 10　逐单边际贡献（强制剔除该单后净收益的下降）

贡献最大的是 \(O01\)（\(3.20\) 元），最小的是 \(O12\)（\(0.00\) 元）。排序按"单位箱容收入"走，不按金额：\(O01\) 只值 \(9.00\) 元却排第一，因为它只占 \(1\) 份；\(O04\) 值 \(16.00\) 元却排中游，\(3\) 份的块头摊薄了它。灰条里有 \(4\) 笔边际贡献恰好为 \(0\)——本来就没进最优解，剔掉也不影响。

5　结论

1. 备电池的账要两头记：省下 \(2.56\) 元换电绕行、毛收入少 \(0.50\) 元，付出 \(0.40\) 元折旧加 \(1\) 份箱容。本案净赚 \(1.66\) 元——薄，但不是零。

2. 题给目标漏了绕行项，结论会反。只扣 \(0.40\) 元时最优是"不带"（自报 \(78.5\) 元）；补上 \(2.56\) 元绕行，最优翻成"带"（\(77.60\) 元）。同一组数据，两项之差 \(= 2.16\) 元，正好跨过毛收入的 \(0.50\) 元缺口。

3. 结论随单量密度翻转：里程尺度 \(k\) 从 \(0.80\) 到 \(1.10\)，差额从 \(-3.64\) 元走到 \(7.46\) 元，翻转点在 \(k \approx 0.95\)。单子越密，\(1\) 份箱容越贵，备电池越不该带。

4. 影子价格一句话说清机制：不带时紧的是续航（\(1.15\) 元/km），带电池后续航影子价归 \(0.00\)、箱容涨到 \(5.75\) 元/份。备电池卖的不是续航，是"把续航约束买松"，代价是箱容变紧。

5. 稳健性 \(91.7\)%：单价 ±15% 扰动下"带更好"的概率就这么多，左尾 \(-1.47\) 元。\(1.66\) 元的优势薄到能被几笔涨价抹平，实务上按周重算，别当固定策略。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.