案例 065 换电柜排队 4 个人

案例 065　换电柜排队 4 个人

摘要：体育西 C 口换电柜午高峰排了 \(4\) 个人，每人 \(3.0\) min，等于白等 \(12.0\) min。把 \(3\) 位骑手的换电指派写成 \(3 \times 6\) 的 0-1 规划，目标同时计骑行成本（\(0.60\) 元/km）与排队成本（\(0.20\) 元/min），排队时长 \(q_j = s L_j\) 直接挂在柜子的实时队长上。静态模型把队长当常数，一次求解就把三个人全送到"最空"的体育东路，模型自报 \(1.52\) 元，真实核算却是 \(5.12\) 元——低估 \(70.3\)%。 原因是反馈回路：三个人一起过去，那个零排队的柜子立刻变成排 \(3\) 个人。按"解→更新队长→再解"逐个迭代，两轮内落到不动点 \(2.95\) 元（省 \(2.18\) 元、\(42.5\)%），三人分散到 \(2\) 个柜；把自身到来也计入队长的系统最优是 \(2.53\) 元，还差 \(0.41\) 元的拥挤外部性。

关键词：带排队成本的指派；反馈回路；不动点迭代；用户均衡；拥挤外部性

1　问题提出

1.1　问题是什么

午高峰，\(3\) 位骑手同时要换电，周边 \(6\) 个换电柜的实时队长见表 1。"实时"两个字是关键：此刻的队长是别人留下的，你去了以后，队长里就多了一个你。

表 1　六个换电柜的实时排队与到柜距离

换电柜	坐标 / km	实时排队 / 人	排队耗时 / min	A 距离 / km	B 距离 / km	C 距离 / km
体育西C口	(0.00, 0.00)	4	12.0	0.13	0.52	1.16
天环广场	(-0.32, 0.46)	3	9.0	0.57	1.03	1.63
正佳广场	(0.34, 0.58)	1	3.0	0.55	0.76	1.18
天河城	(0.60, -0.28)	2	6.0	0.62	0.16	0.52
体育东路	(1.28, 0.18)	0	0.0	1.18	0.85	0.51
珠江新城	(1.95, -0.92)	1	3.0	2.10	1.64	1.04

计价口径照题目来：骑过去 \(0.60\) 元/km，排队 \(0.20\) 元/min，每人换一次电排 \(3.0\) min。于是体育西那 \(4\) 个人构成的队伍值 \(2.40\) 元——比再骑 \(4.0\) km 还贵。表 2 是四种指派在真实排队下的核算。

表 2　三种指派在真实排队下的核算（元）

方案	A 去	B 去	C 去	距离成本	排队成本	合计	模型自报
静态（队列当常数）	体育东路	体育东路	体育东路	1.52	3.60	5.12	1.52
迭代不动点	正佳广场	体育东路	体育东路	1.15	1.80	2.95	—
系统最优	正佳广场	天河城	体育东路	0.73	1.80	2.53	—
就近不看排队	体育西C口	天河城	体育东路	0.48	3.60	4.08	—

1.2　为什么要优化

第一，队列长度不是参数，是决策的结果。把它当参数，模型给出的最优解会让所有人都挤向同一个"空柜"，这个解在被执行的那一刻就自我毁灭了：自报 \(1.52\) 元、实付 \(5.12\) 元，差的 \(3.60\) 元不是舍入误差，是模型结构错了。

第二，"分散"未必更贵。迭代解只用 \(1.15\) 元骑行就换掉 \(3.60\) 元排队，合计比静态解省 \(2.18\) 元——它连里程都更短（\(2.54\) km 降到 \(1.91\) km），因为静态解把三个人赶去了最远那个"空柜"。这笔账只有把两项放进同一个目标才算得清。

第三，不动点不等于最优。每个骑手只对自己负责时，谁也不会把自己造成的 \(3.0\) min 拥堵算进账；系统最优比用户均衡再低 \(0.41\) 元。这个差额就是"该不该统一调度"的定价依据。

1.3　Gurobi 如何求解

模型只有 \(18\) 个 0-1 变量和 \(9\) 条约束，单次求解在毫秒级，全部算例共 \(516\) 次重解、\(0.46\) 秒。真正的工作量在外层迭代：把上一轮的到达人数加进队长后重解，直到指派不再变化。本文做了三组：

• 联合重解：三人同时面对 \(L_j = L_j^{0} + n_j\)，一次 MIP 解完。不收敛，在 \(4.41\) 与 \(5.12\) 元之间来回跳（图 4 虚线）。
• 逐个重解：钉住另外两人、只让第 \(i\) 个人重选，一轮扫完三人。第 \(1\) 轮即到不动点，第 \(2\) 轮复核不动，本文用它。
• 系统最优：把 \(z_{ij}\) 的自身到达也计入队长即可，等价于对 \(3\) 人 \(6\) 柜的 \(6^{3} = 216\) 种组合全枚举，用来标定外部性的大小。

2　数学模型

2.1　符号说明

\(I\) 为骑手集合（\(|I| = 3\)），\(J\) 为换电柜集合（\(|J| = 6\)）；\(d_{ij}\) 为骑手 \(i\) 到柜 \(j\) 的距离（km）；\(L_j\) 为柜 \(j\) 的队长（人），\(L_j^{0}\) 为实时观测值；\(s = 3.0\) 为每人排队耗时（min）；\(c_d = 0.60\) 元/km，\(c_t = 0.20\) 元/min；\(z_{ij} \in \{0,1\}\) 表示骑手 \(i\) 是否去柜 \(j\)；\(q_j\) 为柜 \(j\) 的排队时长（min）。

2.2　目标函数

\[\min\ \sum_{i\in I}\sum_{j\in J} \left( c_d\, d_{ij} + c_t\, s\, L_j \right) z_{ij} \tag{1} \]

括号里是"感知成本"：骑过去的钱，加上排队的时间折价。\(c_t s = 0.60\) 元/人——队伍里每多一个人，这个柜对骑手就贵 \(0.60\) 元。

2.3　约束条件

\[\sum_{j\in J} z_{ij} = 1,\qquad \forall i \in I \tag{2} \]

每人恰好换一次电。

\[q_{j} = s\,\Big(L_j^{0} + \sum_{i\in I} z_{ij}\Big),\qquad \forall j \in J \tag{3} \]

每次换电的排队时长，即题目里的 \(q_j = 3 L_j\)，只是把 \(L_j\) 拆成"别人留下的 + 我这一轮带来的"。

\[\Phi(z) = c_d \sum_{i}\sum_{j} d_{ij} z_{ij} + c_t s \sum_{j} n_{j}\left(L_j^{0} + n_{j} - 1\right),\quad n_{j} = \sum_{i} z_{ij} \tag{4} \]

真实成本核算。\(n_j\) 是柜 \(j\) 这一轮的到达人数，每个到达者前面有 \(L_j^{0} + n_j - 1\) 个人（自己不在自己的队伍里），\(n_j(n_j - 1)\) 这一项就是外部性：你加到别人头上的等待，不会出现在自己的账单上。式 (1) 用猜想的 \(L_j\)，式 (4) 用执行后的真相，两者之差就是静态近似的学费。

2.4　规模与性质

\(18\) 个 0-1 变量、\(9\) 条约束，规模小到可以手算，但结构上有意思：式 (1) 里的 \(L_j\) 求解时必须取一个猜想值；一旦按式 (3) 换回 \(\sum_i z_{ij}\)，目标就出现 \(z_{ij} z_{kj}\) 的二次项（两人同柜互相加长队伍）。线性化不难（\(L_j\) 只有 \(0\) 到 \(7\) 共 \(8\) 个取值），但会掩盖真正的教学点——这是不动点问题，不是一次优化能了结的问题。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

z = m.addVars(NI, NJ, vtype=GRB.BINARY)
m.addConstrs((gp.quicksum(z[i, j] for j in range(NJ)) == 1 for i in range(NI)))
q = m.addVars(NJ, lb=0.0)
m.addConstrs((q[j] == TS * (L0[j] + gp.quicksum(z[i, j] for i in range(NI)))
              for j in range(NJ)))

两个实现细节：一是外层迭代复用同一个模型对象，每轮只改目标系数（\(L_j\) 变、系数变），Gurobi 从上一轮基出发热启动，\(516\) 次重解合计 \(0.46\) 秒；二是逐个重解靠变量上下界实现——把另外两人的 \(z\) 锁死在当前指派（LB = UB = 1），只解放第 \(i\) 行，等于给 Gurobi 一个 6 变量的小问题。

3.2　求解结果

三轮最佳响应算一轮：第 \(1\) 轮就从 \(5.12\) 元掉到 \(2.95\) 元，第 \(2\) 轮复核无人改主意。收敛判据是"整轮无人改主意"，所以至少要跑两轮才能宣布停。 但收敛不等于唯一：从"三个人全在体育西"出发会落到另一个均衡 \(3.27\) 元（图 4 橙线），比从静态解出发差 \(0.32\) 元——多个纯策略均衡的路径依赖。

4　结果分析

4.1　结构：最空的柜最远

图 1　六个换电柜的空间分布与实时排队（球径与数字 = 排队人数）

体育西 C 口排了 \(4\) 个人（棒最高），排队 \(12.0\) min；体育东路 \(0\) 人、零等待，可它离 A 有 \(1.18\) km、离 B 有 \(0.85\) km，只有离 C 最近（\(0.51\) km）。"最空"和"最近"在这张图上几乎不重合，这是本案例全部张力的来源。绿箭头是不动点指派：三人分了 \(2\) 个柜，没有一个人去最挤的体育西。

图 2　18 个候选指派：距离与排队耗时（气泡 = 成本）

每位骑手面前 6 个点，纵坐标只有 \(5\) 档（\(0\) 到 \(12.0\) min），决策面离散得很厉害。实心点是不动点选中的：A 去排 \(1\) 人的正佳（\(0.55\) km），B、C 去排 \(0\) 人的体育东路（\(0.85\)、\(0.51\) km）。同样 \(3.0\) min 的队，近的骑手觉得值，远的觉得不值——距离和排队在图上是两条独立的轴，谁也不能替代谁。

4.2　结果：静态解自己毁掉自己

图 3　三种指派的成本分解（虚线段为系统最优）

静态解里，A 看体育西是 \(2.48\) 元、看体育东路只有 \(0.71\) 元，于是三人全去了体育东路；执行后那柜排 \(3\) 个人，每人等 \(6.0\) min，排队成本从 \(0.00\) 元跳到 \(3.60\) 元。迭代解把骑行成本也压到 \(1.15\) 元（少跑 \(0.38\) 元），排队成本从 \(3.60\) 压到 \(1.80\)，合计省 \(2.18\) 元。 "就近不看排队"最贵（\(4.08\) 元）：三人各自贴着最近的柜，正好各自把队加长。

图 4　三种迭代的收敛轨迹

逐个重解第 \(1\) 轮就到 \(2.95\) 元、第 \(2\) 轮原地不动；联合重解 \(5\) 轮还在 \(4.41\) 与 \(5.12\) 之间来回跳——三个人同时改主意，谁都算不准别人会不会也改，这就是同步更新在拥挤博弈里失效的原因。工程对策很朴素：串行更新（一次只动一个人），或给队列估计加惯性。

4.3　灵敏度：钱、柜子、队伍长度

图 5　时间价值系数的主灵敏度

时间价值从 \(0.10\) 涨到 \(0.40\) 元/min，不动点成本从 \(1.63\) 元升到 \(4.75\) 元，几乎线性——每涨 \(0.05\) 元/min 多花约 \(0.52\) 元。阶梯线（用到的柜数）走向反直觉：\(0.10\) 元/min 时三人分三个柜，涨到 \(0.15\) 元以上反而只剩两个。原因不是"更集中"，而是唯一的空柜被抢光——时间越值钱，大家越肯多骑 \(0.85\) km 去体育东路，天河城那 \(6.0\) min 的队就没人排了。

图 6　可用柜数与时间价值的二维灵敏度

按"离三人重心由近及远"逐个放开柜子，成本从 \(6.49\) 元降到 \(2.95\) 元（\(c_t = 0.20\) 那一列）。\(2\) 到 \(4\) 个柜是陡降段（省 \(3.54\) 元），第 \(5\)、\(6\) 个柜一分钱不省：体育东路这个空柜一进来就把局面盘活，再往外的天环、珠江新城纯属摆设。六个柜的现实供给，真正有用的只有 \(4\) 个。

图 7　每人排队时长对成本与最长等待的影响

每人排队从 \(2.0\) 拉到 \(5.0\) min，成本从 \(1.93\) 元涨到 \(4.15\) 元，最长等待从 \(6.0\) 升到 \(15.0\) min。\(s\) 超过 \(4.5\) min 后最长等待越过 \(12.0\) min 的忍耐线（虚线）：这时排最长队的柜在现实中会被骑手直接否掉，模型愿意接受、人不接受。3 min/人这个假设本身，就决定了模型能用多"满"的柜。

4.4　前沿、风险与边际贡献

图 8　216 种指派的里程—等待前沿与不可行区

\(216\) 种组合铺成点云，前沿只有 \(3\) 个点。静态解（红叉）在里程和等待两头都被支配：\(2.54\) km、人均等 \(6.0\) min，而不动点是 \(1.91\) km、人均等 \(3.0\) min。就近解（橙方块）压在前沿最左端（\(0.80\) km），可人均也要等 \(6.0\) min——它省下的里程，正好被体育西那 \(12.0\) min 吃掉。不动点与系统最优都在前沿上，差的 \(0.41\) 元全在谁去承担天河城那 \(6.0\) min：系统最优让 B 改去天河城，B 自己多花 \(0.19\) 元，换来 C 少等 \(3.0\) min（省 \(0.60\) 元），净赚 \(0.41\) 元——可吃亏的是 B，B 不会自愿。

图 9　队长随机扰动下「迭代减静态」的省钱分布

把实时队长当泊松随机变量（均值取观测值）重抽 \(1200\) 次，迭代比静态省钱的概率 \(77.8\)%，平均省 \(1.36\) 元。分布右偏：多数时候只省一两元，排队越极端省得越多（右尾 \(3.5\) 元）。可见静态模型不是"偶尔错"，而是平均地、系统性地低估。

图 10　单个柜子排队清零后的成本下降

把每个柜的队长单独清零再重解，贡献最大的是天河城（\(1.61\) 元），天环广场、体育西C口 次之（\(1.24\)、\(1.05\) 元），体育东路只值 \(0.00\) 元。注意排序与"谁排队长"并不同：排 \(4\) 个人的体育西只排第三，因为它虽然长、却没人愿意去，清空它对总成本影响有限；真正贵的是天河城——它就在 B 的脚边（\(0.16\) km），一有人排就立刻把人推走。

5　结论

1. 排队是动态的：静态模型自报 \(1.52\) 元、真实成本 \(5.12\) 元，低估 \(70.3\)%。三个人一起奔向"最空的柜"，等于把那个柜亲手变成最挤的柜。

2. 迭代法第 \(1\) 轮（三次最佳响应）就到不动点 \(2.95\) 元，第 \(2\) 轮复核无人改主意，比静态省 \(2.18\) 元（\(42.5\)%），里程还少 \(0.38\) 元；但必须串行更新，联合重解 \(5\) 轮仍在 \(4.41\) 与 \(5.12\) 之间振荡。

3. 不动点不是最优：系统最优 \(2.53\) 元，比用户均衡低 \(0.41\) 元（\(14.1\)%）。这笔钱没人愿意自己出，只能靠平台补贴或排队信息披露内部化。

4. 均衡有路径依赖：从静态解出发落到 \(2.95\) 元，从"全员体育西"出发落到 \(3.27\) 元，差 \(0.32\) 元。初值选得好不好，直接决定省多少钱。

5. 该先清哪条队可以算：天河城清空值 \(1.61\) 元，体育西C口只有 \(1.05\) 元，高 \(53.7\)%。午高峰的疏导动作按边际贡献排序，而不是按"谁排队长"拍脑袋。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.