案例 064 雨天续航打八折

案例 064　雨天续航打八折

摘要：暴雨把满电续航从 \(48.0\) km 压到 \(38.4\) km，同一场雨又把单量从 \(30\) 单抬到 \(39\) 单，两头一起挤。本文把"续航随决策变化"的背包写成一条右端含整变量的约束 \(\sum_i d_i x_i \le 38.4 + 35.0 n\)，在 \(39\) 个 0-1 变量加 1 个换电整变量的模型上，比较按晴天上限排程（雨天硬撑）、按雨天续航保守排程、动态降档（换电补程）三种做法。结论很硬：晴天排程把 \(45.7\) km 塞进 \(48.0\) km 的电池，只剩 \(2.3\) km 余量，续航折扣只要低于 \(0.951\) 就会崩；暴雨下它要推车 \(7.3\) km、耗时 \(109.0\) min，全天 \(483.8\) min 远超 \(430.0\) min 上限。保守排程只能送 \(28\) 单；动态降档换电 \(1\) 次、多花 \(6.0\) min，送到 \(35\) 单，比保守多 \(7\) 单，代价是 \(3.0\) 元。

关键词：容量随决策变化；续航折扣；换电补程；两维背包；推车风险

1　问题提出

1.1　问题是什么

雨天的两个变化同向恶化：电池可用里程打八折，\(E = 48.0 \times 0.80 = 38.4\) km；订单却多三成，从 \(30\) 单涨到 \(39\) 单。表 1 是三种应对方式的实测结果，先摆数字。

表 1　三方案在暴雨日的结果对照

方案	订单池 /单	可完成 /单	总里程 /km	换电 /次	全天耗时 /min	推车 /km	净收益 /元
A 晴天排程硬撑	30	30	45.7	0	483.8	7.3	212.3
B 雨天保守	39	28	38.4	0	332.4	0.0	197.8
C 动态降档	39	35	50.3	1	429.8	0.0	246.4

晴天那套排程单看没问题：\(30\) 单、\(45.7\) km、装进 \(48.0\) km 的电池刚好还剩 \(2.3\) km。可雨天一到，这 \(45.7\) km 就超了 \(7.3\) km——不是超一点，是超出 \(18.9\)%。

1.2　为什么要优化

第一，余量是隐藏的。晴天排程看起来"排满"，其实余量只有 \(2.3\) km，占总续航的 \(4.9\)%。任何超过 \(4.9\)% 的续航衰减都会让这套排程失效，而雨天衰减是 \(20.0\)%——差了一个数量级，垮得毫无悬念。

第二，容量不是参数，是决策。换电一次补 \(35.0\) km，花 \(6.0\) min 和 \(3.0\) 元。容量写成 \(E_0\lambda + \Delta E\, n\) 之后，\(n\) 进了右端，约束不再是背包，而是"背包 + 扩容"的混合问题。

第三，时间也是硬约束。多送一单不只是多耗电，还多占 \(6.2\) min 左右。雨天在线 \(430.0\) min，能量够了时间也未必够——两个维度一起卡，才是真实现场。

1.3　Gurobi 如何求解

模型有 \(39\) 个 0-1 变量 \(x_i\) 和 1 个整数变量 \(n \in \{0,1,2\}\)，约束 \(2 + 1\) 条，规模极小。关键是把"容量随决策变"这条非线性约束线性化：原式 \(\sum_i d_i x_i \le 38.4(1 + n)\) 右端是变量乘积，改写为 \(\sum_i d_i x_i \le 38.4 + 35.0\,n\) 之后完全线性，Gurobi 直接分支定界，单次求解 \(0.039\) 秒。参数扫描共 \(62\) 次求解，全部在 3 秒内跑完。

2　数学模型

2.1　符号说明

\(I\) 为当日订单集合，\(|I| = 39\)；\(d_i\) 为单均往返里程（km），\(w_i\) 为配送费（元），\(t_i\) 为占用时长（min）；\(E_0 = 48.0\) 为晴天满电续航，\(\lambda\) 为续航折扣，\(\Delta E = 35.0\) 为单次换电补充里程，\(\tau = 6.0\) 为换电耗时，\(W = 430.0\) 为在线上限，\(c = 3.0\) 为换电机会成本；\(x_i \in \{0,1\}\)，\(n \in \{0,1,2\}\)。

2.2　目标函数

\[\max\ \sum_{i\in I} w_i x_i - c\, n \tag{1} \]

收益减换电成本。换电省下的不是钱，是单量——\(c\) 取 \(3.0\) 元是把它折成"三次换电抵一单"的量级，避免模型为了 1 块钱无限换电。

2.3　约束条件

\[\sum_{i\in I} d_i x_i \ \le\ E_0\lambda + \Delta E\, n \tag{2} \]

续航约束。这是本题的核心：右端含决策变量 \(n\)，容量随决策变。原始写法 \(E_0\lambda(1+n)\) 是双线性，改成加法形式后线性。\(\Delta E\) 略小于 \(E_0\lambda\)（\(35.0\) 对 \(38.4\)），因为换上的电池不是满电、且要留出回柜的余量。

\[\sum_{i\in I} t_i x_i + \tau n \ \le\ W \tag{3} \]

时间约束。\(t_i = d_i / v + 6.2\)，\(v = 16.0\) km/h 是雨天车速。换电同时吃电和时间，这是它唯一的成本。

\[n \le 2,\qquad x_i \in \{0,1\} \tag{4} \]

换电上限。商圈周边换电柜就那几个，一天最多跑 \(2\) 次。

2.4　规模与性质

\(39\) 个 0-1 变量、1 个整数变量、3 条约束，是一维背包加一维"可扩容容量"的变形。它是弱 NP-难：\(n\) 只有 3 个取值，固定 \(n\) 后退化为标准 0-1 背包，可用价值密度 \(\theta_i = w_i / d_i\) 贪心近似；Gurobi 的分支定界在根节点就几乎收敛。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

x = m.addVars(NN, vtype=GRB.BINARY)
n = m.addVar(vtype=GRB.INTEGER, lb=0, ub=nmax)
m.addConstr(gp.quicksum(d[i] * x[i] for i in range(NN)) <= E0 * lam + de * n)
m.addConstr(gp.quicksum(tt[i] * x[i] for i in range(NN)) + TAU * n <= wcap)

一个实现细节：右端含变量时不要写成 \(E_0\lambda(1+n)\)。Gurobi 会把乘积判为非线性，转 QCP 甚至报错；而 \(E_0\lambda + \Delta E n\) 是纯线性的，且语义更清楚——"每换一次电，可用里程加 \(\Delta E\)"。

3.2　求解结果

三方案各解一次：A 用 \(\lambda=1\)、\(n\) 锁 0、时间不限，得到"晴天视角下最优"的那套排程；B 用 \(\lambda=0.80\)、\(n\) 锁 0；C 放开 \(n \le 2\)。

表 2　续航折扣主扫描（单块电池，方案 B 口径）

折扣 \(\lambda\)	雨天续航 /km	可完成 /单	缺口 /单	A 推车 /km	A 超时 /min
0.70	33.6	25	14	12.1	125.8
0.75	36.0	27	12	9.7	89.8
0.80	38.4	28	11	7.3	53.8
0.85	40.8	30	9	4.9	17.8
0.90	43.2	31	8	2.5	0.0
0.95	45.6	32	7	0.1	0.0
1.00	48.0	34	5	0.0	0.0

4　结果分析

4.1　结构：余量只有 \(4.9\)%

图 1　续航—里程曲线与晴天排程的击穿点

三条斜线是三种雨强下的"剩余续航 = 起始续航 − 已跑里程"。晴天排程落在 \(45.7\) km，暴雨线在这一点已经是 \(-7.3\)，落在横轴以下。直线斜率都是 \(-1\)，所以缺口只取决于起点的下移量：起点掉 \(9.6\) km，缺口就是 \(7.3\) km。

图 2　订单池全景：里程—配送费散点（气泡 = 占用时长）

\(39\) 单铺在里程 \(0.94\)—\(1.79\) km、配送费 \(6.37\)—\(7.74\) 元之间。雨天新增的 \(9\) 单（方块）集中在短里程、高单价一侧——这是雨天加价的结果，也是"该保哪些单"的答案：单位里程收益 \(\theta_i\) 高的单必须优先保住。

4.2　结果：三方案的取舍

图 3　三方案的可完成单量与缺口

A 的两根柱子一样高——\(30\) 单看着"全送到了"，可代价藏在图外：推车 \(7.3\) km、超时 \(53.8\) min。B 老老实实按 \(38.4\) km 排，只排得出 \(28\) 单，缺口 \(11\) 单。C 把池子里的 \(39\) 单全排上，最后送到 \(35\) 单，靠的是换电 \(1\) 次撑出的 \(73.4\) km 容量。

图 4　按价值密度排序的累计配送费阶梯

三条阶梯的斜率就是价值密度：C 一路爬到 \(249.4\) 元才停，B 在 \(38.4\) km 竖线处被截断在 \(197.8\) 元。B 与 C 的差额 \(51.6\) 元，就是"不肯换电"的代价；而换电只花 \(3.0\) 元。

图 5　续航折扣主灵敏度：可完成单量与推车里程

折扣从 \(1.00\) 掉到 \(0.70\)，保守排程的可完成单量从 \(34\) 单滑到 \(25\) 单，几乎线性。点线标出临界折扣 \(0.951\)——只要折扣低于它，晴天排程必然推车；粉区是"无论怎么排都跑不完"的折扣段。

图 6　续航折扣与订单池规模的二维灵敏度

热图把两个同向恶化的变量摆在一起：右下角（折扣高、单量少）最宽松，左上角（折扣低、单量多）最紧。从 \(22\) 单到 \(32\) 单，格子颜色跨了 \(10\) 单——折扣与单量各恶化两成叠起来，可完成的单量掉了近三成。

图 7　在线时长上限对可完成单量的边际效应

在线时长从 \(350.0\) 放到 \(510.0\) min，可完成单量从 \(29\) 升到 \(39\)，最后触到 \(39\) 单的池顶——雨天真正稀缺的不是电，是时间。换电次数整段都停在 \(1\) 次——容量早就不是瓶颈，卡住的是时间：\(73.4\) km 的容量全程富余，多给的每一分钟都直接变成单量。

图 8　时间—里程—单量的帕累托前沿与不可行区

横轴是全天地面里程，纵轴是单量。粉色区（\(> 38.4\) km）是单块电池物理上到不了的区域。前沿从左上往右下走：要更多单，就得跑更多路，也就必须换电。B 卡在 \(38.4\) km 的竖直墙上，C 越过墙靠的是 \(\Delta E\)。

图 9　推车里程的蒙特卡洛分布与累计概率

把折扣看成随机变量（均值 \(0.84\)、标准差 \(0.08\)），A 的推车里程分布右偏，均值 \(5.4\) km，推车概率 \(91.4\)%——几乎必然。这意味着 A 不是"风险方案"，是"必败方案"。

图 10　三方案的全天耗时构成

堆叠条把 \(430.0\) min 的账算清楚：A 的骑行 \(171.3\) min 加推车 \(109.0\) min，总量 \(483.8\) min 直接冲破上限 \(53.8\) min；C 多花 \(6.0\) min 换电，总量 \(429.8\) min 仍在 \(430.0\) min 之内。换电买的是里程，花的是时间，而时间这里还有富余——所以这笔交易划算。

5　结论

1. 续航折扣临界值是 $0.951。晴天满负荷排程只剩 \(2.3\) km 余量（\(4.9\)%），任何超过 \(4.9\)% 的衰减都会击穿它；暴雨的 $20.0% 衰减是它的 \(4.1\) 倍。

2. 硬撑不是"少送几单"，是"推车 \(7.3\) km、超时 \(53.8\) min"。推车速度只有 \(4.0\) km/h，\(7.3\) km 要 \(109.0\) min，比送完剩下的单还费时间。

3. 保守排程的代价是 \(11\) 单。单块电池在 \(38.4\) km 内只能覆盖 \(28\) 单，占池子的 \(71.8\)%。

4. 动态降档用 \(3.0\) 元和 \(6.0\) min 换回 \(7\) 单，折合每单 \(0.4\) 元成本，远低于单均 \(7.09\) 元的配送费。

5. 真正该盯的不是"今天下不下雨"，是"余量够不够"。晴天排程把电池用掉 \(95.1\)%，这种"刚好够"的排法在任何扰动下都会崩；把电池用量压到 \(76.1\)% 以内、或者干脆把换电写进计划，才是稳态做法。

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参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.