案例 063 满载比空载少跑 7 公里

案例 063　满载比空载少跑 7 公里

摘要：12 份装满时续航从 53.7 公里掉到 46.9 公里，少跑 6.8 公里——按直觉，满载该少吃单。本文把"载重 → 能耗 → 可跑里程"这条非线性链用四段折线线性化，写成 96 个分配变量、384 个段位变量、4 个载重段、4 条出勤趟位的整数规划，在一块 1.15 kWh 电池、可用 0.977 kWh 的硬预算下比较轻装多趟、混合、满载少趟三种装法。Gurobi 的答案是满载少趟：12 份 × 2 趟，24 单全送，44.7 公里、0.910 kWh，余量 3.2 公里。混合方案同样送 24 单，却要多花 0.049 kWh、多跑 4.0 公里；轻装 4 份 × 4 趟跑满 4 趟只送得到 16 单。"满载少跑 7 公里"是真的，可它不是成本，是折旧：满载相比混合只多耗 0.024 kWh，却省下一整趟空驶的 0.073 kWh——空驶贵三倍。

关键词：载重—续航耦合；分段线性化；装载整数规划；空驶摊销；续航余量

1　问题提出

1.1　问题是什么

一辆电动车，电池 1.15 kWh，按 85% 可用放电算是 0.977 kWh。空载时每公里耗 0.0182 kWh，续航 53.7 公里；每多载 1 kg，每公里多耗 0.0011 kWh。一份外卖 0.4 kg，装满 12 份是 4.8 kg，沿路径陆续卸货，平均载重 2.4 kg，续航掉到 46.9 公里。表 1 把四种装法摆在一起。

表 1　四种装载方案的对照（24 单，一块 1.15 kWh 电池）

方案	每趟份数	趟数	送达 /单	总里程 /km	全天能耗 /kWh	续航余量 /km	可行
A 轻装多趟	4	4	16	44.5	0.848	6.7	是
B 混合	8	3	24	48.7	0.959	0.9	是
C 满载少趟	12	2	24	44.7	0.910	3.2	是
D 六份四趟	6	4	24	52.7	1.008	-1.5	否

四种装法里，A 和 C 差得最狠：A 跑了 44.5 公里只送 16 单，C 跑了 44.7 公里送 24 单——里程几乎一样（差 0.2 公里），单量差 8 单。原因不在车速，在每趟都要空车骑 4 公里回商圈取货：A 回去 4 次，C 只回去 2 次。

1.2　为什么要优化

第一，载重不是常数，是沿路径递减的变量。严格做法是给每条弧一个载重 \(l_{a}\)；简化做法是按平均载重估。本例用后者，因为 12 份的卸货点均匀分布在路径上，平均载重 \(\rho q/2\) 与真实积分只差 4%。

第二，能耗和续航不是线性关系，是倒数关系。\(e(m)\) 对 \(m\) 线性，可 \(R(m)=E_{b}/e(m)\) 是双曲线：载重从 0 加到 2.4 kg，能耗涨 14.5%，续航掉 12.7%——掉的是续航，不是能耗，所以"够不够跑"这件事必须用续航算，用能耗算会高估。

第三，趟数是整数，空驶是它的影子。多跑一趟就多 4 公里空驶，这 4 公里不载货、按空载能耗计，但它固定发生，不随单量摊薄。要不要多跑一趟，取决于"省下的载重能耗"和"多出的空驶能耗"谁大——这正是整数规划要拍板的地方。

1.3　Gurobi 如何求解

模型有 \(24\times4=96\) 个订单—趟位分配 0-1 变量、\(24\times4\times4=384\) 个订单—趟位—载重段 0-1 变量、4 个趟启用变量、16 个段启用变量，共 500 个 0-1 变量、约 1 900 条约束。关键是把"载重到能耗系数"的双线性乘积 \((\sum_i d_i x_{it})\cdot e(q_t)\) 拆成"载重段"维度：第 \(l\) 段的能耗系数 \(\hat{e}_l\) 是常数，于是能耗变成 \(d_{i}\hat{e}_{l}p_{itl}\) 的三重线性求和。整题在 1 秒内证到 0.01% 间隙，三方案各解一次共 0.2 秒，余下 20 点热图用闭式解扫。闭式解与 MILP 在基准点的能耗偏差 0.000 kWh。

2　数学模型

2.1　符号说明

\(I\) 为当日 24 单，\(T=\{1,2,3,4\}\) 为出勤趟位；\(d_{i}\) 为第 \(i\) 单的单程里程（km），\(w_{i}\) 为配送费（元）；\(\rho=0.40\) 为每份重量（kg）；\(e_{0}=0.0182\)、\(\kappa=0.0011\) 为能耗曲线参数；\(E_{b}=0.9775\) 为可用电量（kWh）；\(D_{0}=4.0\) 为每趟空驶回程（km）；\(Q=12\) 为单趟份数上限；\(x_{it}\)、\(y_{t}\)、\(z_{tl}\)、\(p_{itl}\) 为 0-1 变量，分别是"单 \(i\) 派给趟 \(t\)""趟 \(t\) 启用""趟 \(t\) 用到第 \(l\) 段""单 \(i\) 落在趟 \(t\) 的第 \(l\) 段"。

2.2　目标函数

\[\max\ \sum_{i\in I}\sum_{t\in T} w_{i}\,x_{it}\tag{1} \]

收益按单计，装满才划算——所以这个目标天然把模型推向"少趟、满装"。真正的张力全在约束里：满载省空驶，但满载也让每趟的续航变短，两边互相拉扯。

2.3　约束条件

\[e(m)=e_{0}+\kappa m,\qquad R(m)=\frac{E_{b}}{e(m)}=\frac{E_{b}}{e_{0}+\kappa m}\tag{2} \]

能耗曲线与续航曲线的定义。\(e(m)\) 是线性的，\(R(m)\) 是双曲线，这两条线是本案全部非线性的来源：前者决定"跑一公里要多少电"，后者决定"这点电够跑几公里"。

\[\bar{m}_{t}=\frac{\rho\,q_{t}}{2},\qquad m_{t}=\rho\,q_{t},\qquad q_{t}=\sum_{i\in I}\sum_{l=1}^{4}p_{itl}\tag{3} \]

载重与份数的关系。\(m_{t}=\rho q_{t}\) 是起步载重（刚取完货），\(\bar{m}_{t}\) 是平均载重（沿路径线性递减，取半）。模型用后者，因为能耗是在整段路径上积分的。

\[\hat{e}_{l}=e\!\left(\frac{\rho\,\bar{Q}_{l}}{2}\right),\qquad \bar{Q}_{l}\in\{3,6,9,12\},\qquad \hat{R}_{l}=\frac{E_{b}}{\hat{e}_{l}}\tag{4} \]

四段折线：把连续载重切成 4 档，每档取右端点的能耗系数。取右端点而不是中点，是故意保守——宁可高估能耗、让方案留出余量，也不要低估以后半路趴窝。误差上界 2.2%，满载那一档恰好精确（\(\bar{m}=2.4\)）。

\[\sum_{t\in T}x_{it}\le 1,\qquad \sum_{i\in I}p_{itl}\le 3\,y_{t},\qquad \sum_{l=1}^{4}p_{itl}=x_{it},\qquad \sum_{l=1}^{4}z_{tl}\le\left\lceil\frac{Q}{3}\right\rceil\tag{5} \]

分配与段位的一致性。第一式一单只能派一趟；第二式每段最多 3 份，四段满打满算 12 份；第三式每个被派的单必须落在且只落在一个段上；第四式限制每趟的段数——\(Q=4\) 时只能用到第 2 段。"逐段填满"是本题最容易被漏的一条（见 3.1）。

\[L_{t}=\sum_{i\in I}\sum_{l=1}^{4}d_{i}\,p_{itl}+D_{0}\,y_{t}\ \le\ \hat{R}_{1}-\sum_{l=2}^{4}\left(\hat{R}_{l-1}-\hat{R}_{l}\right)z_{tl}\tag{6} \]

单趟续航约束。右端是一个随段位阶梯下降的可用里程：段 1 是 51.8 公里，用到段 4 就只剩 46.9 公里。这条把"载重—续航"的非线性写成了一条线性不等式，是分段线性化真正落地的地方。

\[E=\sum_{i\in I}\sum_{t\in T}\sum_{l=1}^{4}d_{i}\,\hat{e}_{l}\,p_{itl}+D_{0}\,e_{0}\sum_{t\in T}y_{t}\ \le\ E_{b}\tag{7} \]

全天电量预算。配送段按各自段位的系数计，空驶段按空载 \(e_{0}\) 计——空驶时不载货，这是它便宜的原因，也是"多跑一趟"看起来不贵的原因。

\[\Delta=E_{b}-E,\qquad \Delta_{\mathrm{km}}=\frac{\Delta}{\bar{e}},\qquad \mu^{*}=\max\left\{\mu:\ E(\mu)\le E_{b}\right\}\tag{8} \]

三个后验量：余量 \(\Delta\)（kWh）、折算成公里的余量 \(\Delta_{\mathrm{km}}\)、以及临界载重系数 \(\mu^{*}\)——把 \(\kappa\) 乘上 \(\mu\) 后，使方案刚好不可行的最大 \(\mu\)。

2.4　规模与性质

500 个 0-1 变量、约 1 900 条约束，规模不大，但解不能靠"每公里成本乘里程"推出来：能耗系数依赖份数，份数依赖趟数，趟数又决定空驶次数，三者绕成一个环。更麻烦的是它是一个带分段线性约束的多背包问题——每趟是一个容量 12 的背包，背包的"容量"本身还随装多少而变。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

# 四折线段：按份数分档，段内取右端点的能耗（保守上界）
SEGQ = [3, 6, 9, 12]
eh = [E0C + KAP*(RHO*q/2.0) for q in SEGQ]      # 0.01886 ... 0.02084
rg = [EB/e for e in eh]                          # 51.8 ... 46.9 km
pp = m.addVars(N, T, 4, vtype=GRB.BINARY)        # 单 i 在趟 t 的第 l 段
zs = m.addVars(T, 4, vtype=GRB.BINARY)           # 趟 t 用到第 l 段
for t in range(T):
    for l in range(4):
        m.addConstr(gp.quicksum(pp[i,t,l] for i in range(N)) <= 3*y[t])   # 段容量 3 份
        m.addConstr(zs[t,l] <= gp.quicksum(pp[i,t,l] for i in range(N)))  # 段启用
        if l < 3:                                                        # 逐段填满
            m.addConstr(gp.quicksum(pp[i,t,l+1] for i in range(N))
                        <= gp.quicksum(pp[i,t,l] for i in range(N)))
    # 单趟续航：载得越满，可用里程越短（阶梯下降）
    m.addConstr(gp.quicksum(d[i]*pp[i,t,l] for i in range(N) for l in range(4)) + D0*y[t]
                <= rg[0] - gp.quicksum((rg[l-1]-rg[l])*zs[t,l] for l in range(1,4)))
# 全天电量预算：配送段 + 空驶回程
m.addConstr(gp.quicksum(d[i]*eh[l]*pp[i,t,l] for i in range(N) for t in range(T)
                        for l in range(4)) + D0*E0C*gp.quicksum(y) <= EB)

两个实现细节。第一，"逐段填满"那条约束不能省：若不加 \(\sum_i p_{i,t,l+1}\le\sum_i p_{i,t,l}\)，模型会跳着装——把 4 个单塞进第 4 段，用 \(\hat{e}_{4}\) 的系数只算 4 个单的能耗，却让 \(z_{t4}=1\) 把续航压到 46.9 公里，看起来"满足"了续航约束，实际上段位和份数脱节，解是假的。第二，趟启用变量要加单调性 \(y_{t}\ge y_{t+1}\)：4 个趟位完全对称，不破对称会多出 \(4!=24\) 倍的等价解，分支定界在对称子树上白跑，求解时间从 0.3 秒涨到 20 秒以上。

3.2　求解结果

表 2　载重—续航的四段折线（可用电量 0.9775 kWh）

折线段	份数区间	平均载重 /kg	能耗 /(kWh/km)	续航 /km	备注
1	1—3	0.6	0.0189	51.8	轻装
2	4—6	1.2	0.0195	50.1	半载
3	7—9	1.8	0.0202	48.4	重载
4	10—12	2.4	0.0208	46.9	满载

表 2 是折线本身：四段的能耗从 0.0189 爬到 0.0208，涨 10.5%；续航从 51.8 掉到 46.9，掉 4.9 公里。 这四段只覆盖 1 到 12 份；若从空载算起，续航 53.7，到满载 46.9，落差 6.8 公里——与题面 55→48 的比例完全一致：48 除以 55 是 0.873，46.9 除以 53.7 是 0.873，差在千分位以内。

表 3　日单量扫描：最优趟数与续航余量

日单量 /单	最优趟数	每趟份数	总里程 /km	全天能耗 /kWh	余量 /km
12	1	12	26.7	0.546	20.7
16	2	8	36.5	0.714	13.2
20	2	10	41.4	0.827	7.4
24	2	12	44.7	0.910	3.2
28	3	10	52.1	1.036	-2.9
32	3	11	54.1	1.087	-5.3

4　结果分析

图 1　载重—续航曲线与四段折线近似（横轴为平均载重）

**4.1　续航是一条双曲线，不是一条直线**　图 1 蓝线是 $R(m)$：平均载重 0 时 53.7 公里，2.4 kg 时 46.9 公里，落差 6.8 公里。**橙虚线是四段折线，四段的端点分别是 0.0, 0.6, 1.2, 1.8, 2.4 kg，对应的续航 53.7, 51.8, 50.1, 48.4, 46.9 公里。** 折线与曲线几乎重合，因为取的是右端点——**段内高估、段间不连续，正好形成一个"永远偏保守"的阶梯。** 注意曲线的形状：载重 0 到 2.4 kg 掉了 12.7%，2.4 到 4.8 kg 又要掉 13%——**掉得越来越快，因为双曲线的分母是线性的，倒数却是加速的。**

图 2　24 单的里程—配送费散点（气泡=单均能耗，灰点=备选池）

**4.2　单子越远，单位能耗越高，收益却只涨一点点**　图 2 横轴单程里程、纵轴配送费。**配送费是 $4.0+0.62d$，斜率 0.62 元每公里，线性的；能耗是 $d\cdot e(\bar{m})$，也是线性的。** 但气泡的橙色深浅说明：最远那单（2.40 km）能耗是最短那单（0.60 km）的 4.0 倍，收益只差 1.1 元。**这就是为什么"多带单"比"挑远单"划算：单量决定空驶摊销，里程只决定边际成本。**

图 3　三种装载方案的全天能耗（柱内=能耗，柱下=里程与送达单量）

**4.3　满载方案的能耗最低，不是最高**　图 3 三根柱：A 轻装 0.848 kWh、B 混合 0.959 kWh、C 满载 0.910 kWh，红线是 0.977 的预算。**直觉认为满载因为"每公里更耗电"所以总能耗更高，结果是反的——C 比 B 少 0.049 kWh。** 原因拆开看：C 的配送段系数 0.0208 比 B 的 0.0202 高 3.3%，36.7 公里多耗 0.024 kWh；**可 C 只回 2 趟、B 回 3 趟，省下的那一趟空驶是 0.073 kWh——净赚 0.049 kWh，是"多耗"的三倍。** 空驶赢，而且赢得不靠运气。

图 4　三种方案的累计里程阶梯（横轴为出勤趟序）

**4.4　轻装跑一样远，只送到三分之二**　图 4 是累计里程。**A 的阶梯爬 4 级到 44.5 公里，C 爬 2 级到 44.7 公里——终点几乎一样（差 0.2 公里），但 A 每级只装 4 单。** 换算成效率：C 每公里送 0.54 单，A 只有 0.36 单，**差 49.3%。** 这条阶梯说明：轻装的代价不是"多耗电"，是"同样的路只干三分之二的活"。

图 5　日单量对续航余量与最优趟数的影响（右轴为趟数阶梯）

**4.5　主灵敏度：24 单就是这块电池的天花板**　图 5 左轴余量、右轴最优趟数。**12 单时 1 趟装完，余量 20.7 公里；20 单还是 2 趟，余量还剩 7.4 公里；24 单 2 趟，余量 3.2 公里；到 28 单，2 趟装不下（上限 24 份），只能开 3 趟，余量掉到 -2.9 公里——已经是缺口。** 红色阴影是"余量为负"的跑不完区。注意右轴阶梯：**趟数从 1 跳到 2 在 13 单，从 2 跳到 3 在 25 单，每跳一次余量就断崖式下跌 4.2 公里左右**——因为跳一次就多 4 公里空驶，还要把满载系数降一档。

图 6　日单量 × 载重系数的续航余量热图（星标为本案参数）

**4.6　二维灵敏度：载重系数是"斜着切"的一刀**　图 6 是 4 档单量乘 5 档载重系数，格子里是余量公里数。**沿载重系数方向看 24 单那一列：μ 从 0.30 涨到 1.90，余量从 7.1 一路滑到 -0.9，临界落在 μ*=1.69——载重敏感性要再高 69.2%，满载两趟才真的跑不完。** 沿单量方向看 μ=1.00 那一行：16 单 13.2 → 20 单 7.4 → 24 单 3.2 → 28 单 -2.9，**16 到 20 单掉 5.8 公里，20 到 24 单掉 4.2 公里，24 到 28 单掉 6.1 公里。** 两条路都能把余量吃干：沿载重方向（24 单那一列）走满 5 档掉 8.0 公里，沿单量方向（μ=1.00 那一行）走满 4 档掉 16.1 公里——**但载重系数是车的属性、改不了，单量是骑手每天要拍板的那一个。**

图 7　每份重量对续航落差与满载方案余量的影响（双轴）

**4.7　第三维：一份多重，比一份几个更要命**　图 7 横轴每份重量，左轴空载与满载的续航落差，右轴满载方案的余量。**份重从 0.2 kg 涨到 0.6 kg，落差从 3.6 公里涨到 9.6 公里，翻了一倍多；余量从 5.9 公里掉到 0.8 公里。** 本案的 0.40 kg 处在中间偏右。**这条线解释了为什么奶茶单和整箱水单不能按"份数"混着算：份数是装载单位，重量才是能耗单位。**

图 8　能耗—送达单量的可行前沿，灰区为超预算不可行区

**4.8　前沿：能送 24 单的只有两趟**　图 8 横轴全天能耗、纵轴送达单量，四组点按趟数分色。**1 趟方案（紫）最多 12 单，2 趟（蓝）最多 24，3 趟（橙）能到 30 但能耗已经越线，4 趟（灰）一出发就不可行。** 红色虚线是可行前沿：**1 趟最多 12 单（紫点爬到 0.55 kWh 就停），2 趟能到 24 单（0.910 kWh），3 趟虽然也能到 24 单，却要 0.959 kWh，比 2 趟多烧 0.05 kWh 换同样的单量——它不在前沿上，是被支配的那一类。** 星号落在最右下的可行角上：**再往右一格就是阴影区，24 单是这块电池的物理上限。**

图 9　日里程随机波动下满载方案的续航余量分布与累计概率

**4.9　余量只有 3.2 公里，波动 10% 就有 18.7% 的日子趴窝**　图 9 把单均里程按 ±10% 抽 4000 天。**余量的分布中心在 3.3 公里，标准差 3.7 公里，落在 0 左边的概率是 18.7%。** 换句话说：**方案 C 在"平均的一天"里余 3.2 公里，但每 5 天就有一天要推车。** 这就是"满载少趟"真正的代价——不是多花钱，是把容错空间花掉了。若把余量要求提到 5 公里（保守骑手），可行单量就得从 24 降到 22。

图 10　同一批 24 单在不同趟数下的能耗分解（深色=带载，浅色=空驶）

**4.10　边际贡献：每一趟空驶都是固定成本**　图 10 是 1 到 4 趟的堆叠。**深色那块是带载能耗，从 1 趟的 0.473 kWh 涨到 4 趟的 0.716 kWh——涨得慢，因为趟数越多每趟载得越轻；浅色那块是空驶，从 0.073 kWh 翻到 0.291 kWh，是纯增量。** 合计从 0.546（只送 12 单）爬到 1.008（送 24 单），**第 4 趟那根柱子已经越过 0.977 的红线。** 注意 2 趟和 3 趟的深色几乎一样（0.765 对 0.733），**差的全在浅色——多一趟就是多 0.073 kWh，一分不少。**

5　结论

1. 满载少趟赢了：12 份 × 2 趟，24 单全送，44.7 公里、0.910 kWh，余量 3.2 公里。 比混合方案少 0.05 kWh、少 4.0 公里，比轻装方案多送 8 单。
2. "满载比空载少跑 7 公里"是真的，但它不是成本，是折旧。 单趟续航从 53.7 掉到 46.9 公里，可满载省下的是整趟 4 公里空驶——一趟空驶 0.073 kWh，是满载多耗 0.024 kWh 的三倍。 折算下来，满载等于用"每公里多耗 0.0007 kWh"换"少跑 4 公里空车"。
3. 一块 1.15 kWh 电池的物理上限是 24 单（44.7 公里）。 25 单就要开第 3 趟，余量立刻转负。满载两趟的临界载重系数是 \(\mu^{*}=1.69\)——载重敏感性要再高 69.2% 才耗尽电量，说明"满载"离趴窝还有余量，真正决定上限的是单量。
4. 轻装的代价不是电，是活。 4 份 × 4 趟跑 44.5 公里只送 16 单，每公里 0.36 单；满载是 0.54 单，高 49.3%。同样的里程，轻装只干三分之二的活。
5. 余量 3.2 公里意味着 18.7% 的趴窝概率。 满载方案的脆点不在钱上，在容错上：里程涨 10% 就推车。要稳，单量就得从 24 退到 22——这是"满载划算"唯一的对价。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.
[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.
[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.
[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

复现方式：python -u batch_063.py；数据与结果见同目录 data_063.csv / results_063.json，图见 figs/