案例 060 三座换电柜怎么选
案例 060 三座换电柜怎么选
摘要：常跑片区有 12 座换电柜，全记熟不现实，只能挑 3 座当主力。可"挑哪 3 座"不是比谁近：绕得远费时间，人挤人排队费时间，柜里没满电更费时间——三项加起来才是真代价。本文把选柜写成带容量约束的 p-median（p=3），把绕行、排队、缺电失败三项折算成同一个"元每日"口径塞进目标函数，用 Gurobi 求出 C05（客村）、C08（员村）、C11（杨箕）。最优日代价 696.2 元（线性口径），按实际负荷回算是 777.7 元，其中绕行 348.1、排队 266.9、缺电失败 162.7。两个凭直觉的方案都不行：按空电率挑最"干净"的三座要 1187.8 元（+52.7%），按单柜各自最优挑要 1735.5 元（+123.2%）——后者线性口径只差 17.6 元（2.5%），回算却差 957.8 元，因为它把 57.4 次每日压给 C08 一座柜，排队从 2.8 分钟涨到 48.8 分钟。柜子选错的代价，八成藏在看不见的排队与空电率里。
关键词：p-median；换电柜选址；空电率；排队期望；缺电失败概率；混合整数规划
1 问题提出
1.1 问题是什么
小哥的活动范围压在天河到海珠一块约 12 平方公里的地上，这里有 12 座换电柜、20 个高频交付点。他每天要换 82.1 次电，不可能 12 座都跑熟，只能记 3 座的走法、记住哪个路口能拐、哪个时段人少。这就是"3-median"：从 12 座里挑 3 座，让所有换电需求跑到柜上的总代价最小。
难点在于"代价"不是一维的。表 1 是 12 座柜的全部底牌：空电率从 0.08 到 0.35，相差 4.4 倍；基础排队从 1.2 分钟到 6.0 分钟；高峰产能从 11.0 到 20.0 次每小时。最近的那座柜，很可能是排队最长、空电率最高的那座。
表 1 十二座换电柜的空电率、基础排队、产能与入选结果
| 柜号 | 位置 | 空电率 | 基础排队 /min | 高峰产能 /(次每时) | 日容量 /次 | 日负荷 /次 | 入选 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| C01 | 天河城 | 0.12 | 2.0 | 16.0 | 96 | — | — |
| C02 | 体育西 | 0.18 | 3.5 | 14.0 | 84 | — | — |
| C03 | 珠江新城 | 0.08 | 1.2 | 20.0 | 120 | — | — |
| C04 | 东山口 | 0.22 | 4.0 | 12.0 | 72 | — | — |
| C05 | 客村 | 0.15 | 2.2 | 15.0 | 90 | 20.0 | 主力 |
| C06 | 北京路 | 0.30 | 5.5 | 11.0 | 66 | — | — |
| C07 | 岗顶 | 0.10 | 1.5 | 19.0 | 114 | — | — |
| C08 | 员村 | 0.20 | 2.8 | 14.0 | 84 | 42.4 | 主力 |
| C09 | 同福路 | 0.35 | 6.0 | 12.0 | 72 | — | — |
| C10 | 龙洞 | 0.25 | 2.0 | 13.0 | 78 | — | — |
| C11 | 杨箕 | 0.14 | 2.6 | 16.0 | 96 | 19.7 | 主力 |
| C12 | 大学城 | 0.28 | 1.8 | 13.0 | 78 | — | — |
三座最"干净"的柜是 C03（珠江新城）、C07（岗顶）、C01（天河城）——空电率 0.08、0.10、0.12，看上去无可挑剔。可它们离需求重心远：C01 在西北角，C07 在正北，C03 虽然居中但产能被挤。只盯空电率，等于用"柜里有没有电"这一个指标，替掉了"人要不要跑过去、要不要排、会不会白跑"这三个问题。
1.2 为什么要优化
第一，三项成本不同量纲，必须先折成同一把尺子。绕行是公里，排队是分钟，缺电失败是"白跑一趟"的概率。三者只能靠时间价值 \(\theta\) 与失败罚金 \(\gamma\) 折算成元。折不清楚，就只能拍脑袋："近的优先"或"电多的优先"。
第二，空电率不是柜子的私事，它会传染。一座柜空电率高，来的人换不到电，就得再跑一趟，于是同一批人反复到柜、柜前队伍更长、有效产能更低。式 (3) 里 \(u_{j}\) 的分母带 \((1-\rho_{j})\)，正是这条传染链：空电率每涨 10 个百分点，等效排队时长不是线性涨，而是加速涨。
第三，"3 座"这个数字本身要能被质疑。为什么不选 4 座？多一座柜的边际收益是多少？这需要一条完整的前沿曲线，而不是一个孤零零的最优解。
1.3 Gurobi 如何求解
模型是 12 个 \(y_{j}\) 加 240 个 \(z_{ij}\) 的 0-1 规划，约束 20*(12+1)+12+1 条，规模小到根节点即证最优。因为 \(p=3\) 只有 220 种组合，本文把 220 组全枚举做交叉校验——MIP 解与枚举最优完全重合，说明建模没有写错。 全枚举还顺手给出帕累托前沿与代价分布，这是 MIP 单独给不出的信息。
2 数学模型
2.1 符号说明
\(i=1,\dots,n\) 为交付点（\(n={NP}\)），\(j=1,\dots,m\) 为换电柜（\(m={NC}\)）；\(w_{i}\) 为日均换电次数；\(d_{ij}\) 为单程路网距离（km，直线乘 1.25）；\(t_{ij}\) 为往返耗时（min）；\(\theta\) 为时间价值（元每 min）；\(\rho_{j}\) 为空电率；\(q_{j}\) 为基础排队（min）；\(\mu_{j}\) 为高峰产能（次每时）；\(\phi\) 为高峰换电占比；\(\lambda_{j}\) 为负荷引致的排队增量；\(t^2_{j}\) 为到备用柜的往返耗时；\(\gamma\) 为失败罚金（元）；\(L_{j}\) 为柜 \(j\) 的日负荷；\(\bar{C}_{j}\) 为日容量；\(y_{j},z_{ij}\) 为 0-1 决策变量。
2.2 目标函数
四项角色混在一个和式里：\(w_{i}\) 是"这个点一天来几次"，\(c_{ij}\) 是"来一次要付多少"，\(z_{ij}\) 是"来不来这座柜"。\(z_{ij}\) 只允许取 0 或 1 且每点恰好归一座柜，所以 \(\sum_{j}z_{ij}=1\) 把"选柜"和"分单"缝在一起——选柜决定谁可被分，分单决定选柜值不值。
2.3 约束条件
单次换电的三项代价。第一项 \(\theta t_{ij}\) 是绕行：去 8 min每 km、回 8 min每 km，\(t_{ij}=16d_{ij}\) 当 \(v=15\) km每小时。第二项 \(\theta(q_{j}+\lambda_{j})\) 是排队。第三项 \(\rho_{j}(\theta t^2_{j}+\gamma)\) 是缺电失败：概率 \(\rho_{j}\) 撞上"没满电"，罚的是跑备用柜的时间加 5 元白跑罚金。注意第三项用 \(t^2_{j}\)（到第二近柜）而不是 \(t_{ij}\)：失败了不去同一座柜，而是去备用柜，这才是真实动作。
排队增量的来源。\(u_{j}\) 是"高峰等效负荷率"：分子是这座柜要承接的换电次数乘高峰占比 \(\phi=0.18\)，分母是扣除空电损失后的有效产能 \((1-\rho_{j})\mu_{j}\)。\(\lambda_{j}=4u_{j}/(1-u_{j})\) 是 M/M/1 型的等待时间，\(u_{j}\) 逼近 1 时发散。这就是"空电率传染"的数学形态：\(\rho_{j}\) 抬高，\(u_{j}\) 抬高，\(\lambda_{j}\) 不是加一点，而是往上翻。
选柜的基本三条：恰好选 \(p=3\) 座；每个交付点恰好归属一座柜；只有在选的柜才能接单（\(z_{ij}\le y_{j}\)）。最后这条最容易被漏写，漏了它，模型会让没选的柜照常接单，目标值漂亮得毫无意义。
容量与排队。\(L_{j}\) 是柜 \(j\) 的日负荷，不得超过日容量 \(\bar{C}_{j}\)（高峰产能乘 6 小时的等效周转）。\(Q_{j}\) 是按实际负荷回算的期望排队，它不进入 MIP 目标（是非线性的），只用于结果复核。这是本文最关键的一处"分家"：模型里用线性化的 \(\lambda_{j}\) 求解，报告时用真实的 \(Q_{j}\) 复核，两者的差就是线性化偏差，必须报出来而不是藏起来。
回算口径：把最优集合 \(S\) 代进去，三项分别累加。式 (6) 才是"这座柜一天到底花多少钱"的答案，式 (1) 只是它的线性代理。
2.4 规模与性质
12 个 0-1 选址变量、240 个 0-1 指派变量、12 条容量约束，是经典 p-median 加容量。p-median 是 NP-难，但 \(m=12,p=3\) 只有 220 种组合，全枚举 0.3 s 就能跑完，MIP 的价值不在快，而在"能加约束"：容量、排队、空电率一旦进来，枚举就失效了（本文化为式 (3) 的线性化系数，本质上仍是 MIP 的路子）。全枚举还给出一个必须交代的事实：220 组里有 209 组满足容量，其余 11 组因为把某一座柜压爆而不可行。
3 Gurobi 求解实现
3.1 建模要点
m.addConstr(gp.quicksum(y[j] for j in range(NC)) == P, name="p")
for i in range(NP):
m.addConstr(gp.quicksum(z[i, j] for j in range(NC)) == 1)
for j in range(NC):
m.addConstr(z[i, j] <= y[j]) # 未选柜不得接单
for j in range(NC):
m.addConstr(gp.quicksum(W[i]*z[i, j] for i in range(NP)) <= CAP[j]*y[j])
m.setObjective(gp.quicksum(W[i]*cij[i, j]*z[i, j]
for i in range(NP) for j in range(NC)), GRB.MINIMIZE)
两个实现细节。第一，容量约束右边必须乘 \(y_{j}\)：写成 \(\bar{C}_{j}\) 而不乘，等于要求没选的柜也扛容量，形式上不违反但让 \(y\) 失去作用，求解器会给出"选了 3 座、另有 9 座也在接单"的荒唐解。第二，排队用"代入基准负荷求一次切线"的方式线性化：\(\lambda_{j}\) 在 \(L_{j}=\bar{L}\) 处取值后当作常数，误差由式 (6) 回算。不要试图在 MIP 里写 \(L_{j}/(1-u_{j})\)，那是分式，Gurobi 会直接报错或被迫大 M 线性化，得不偿失。
3.2 求解结果
表 2 三种选柜方案的三项成本对照（日口径，单位：元每日）
| 方案 | 选柜 | 绕行成本 | 排队成本 | 缺电失败成本 | 回算合计 | 线性口径 | 相对最优 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 空电率优先 | C03 C07 C01 | 698.6 | 410.6 | 78.7 | 1187.8 | 870.2 | +410.1（+52.7%） |
| 单柜最优 | C08 C03 C11 | 373.2 | 1201.2 | 161.1 | 1735.5 | 713.8 | +957.8（+123.2%） |
| MIP 最优 | C05 C08 C11 | 348.1 | 266.9 | 162.7 | 777.7 | 696.2 | 0 |
三行读下来：按空电率挑的 C03（珠江新城） 那一组，回算 1187.8 元；按单柜各自最优挑的 C08（员村） 那组，回算 1735.5 元；MIP 挑的 C05（客村）、C08（员村）、C11（杨箕），回算 777.7 元。 最扎眼的是第二行：它的线性口径 713.8 元只比最优差 17.6 元（2.5%），回算却差 957.8 元（123.2%）。原因一句话：那组解把 57.4 次每日压给 C08 这一座柜，它的高峰产能只有 14.0 次每时，排队从 2.8 分钟涨到 48.8 分钟——线性口径看不见这笔账。
最优三座的分工见表 1 的"日负荷"列：20.0、42.4、19.7 次每日，容量利用率 22.2、50.5、20.5。C08 承担了 51.6% 的换电需求，是名副其实的主力；C05 与 C11 一南一北分列两侧，各 24.4% 与 24.0%。
4 结果分析
图 1 十二座换电柜与二十个交付点的空间分布，连线为归属关系
4.1 空间结构长什么样 图 1 里方框是入选的三座，连线把每个交付点接到它实际会去的那座柜。看得出三座柜不是均匀铺开，而是各自"咬住"一簇需求：C11 咬住西北的天河与杨箕一带，C08 咬住中部的员村与赤岗，C05 咬住南边的客村与鹭江。 三簇之间几乎没有交叉连线，这对 p-median 是好消息——它说明分区是干净的，不存在"两个柜抢同一个点"的摇摆区。反倒是最北的 C10（龙洞）与最南的 C12（大学城）没人管，因为它们各自只有一小片需求，覆盖它们的代价大于收益。
图 2 十二座柜的空电率—基础排队分布，气泡面积为高峰产能
4.2 数据全景：好柜与近柜不是同一批 图 2 把 12 座柜摆在"空电率—基础排队"平面上。左上角（空电率低、排队短）理论上是最理想的柜，可 C03 与 C07 恰恰都在图的左端却离需求重心远；右下角的 C06、C09 空电率高、排队最长，但座位好、就在需求正中间。入选的三座（C05、C08、C11）全落在中左的低空电率区，而 C03、C07 这两座"最干净"的柜落选了——原因不在它们不好，而在它们离人太远。 图里两条平均线把平面切成四块：最优解只取"低空电率"这一半，宁可多绕一点路，也不肯把一次换电赌在一次 30% 的空电概率上。
图 3 三种选柜方案的目标值与实际负荷回算对照
4.3 三方案对比：看得见的差与看不见的差 图 3 的柱子是线性口径，折线是回算。空电率优先 870.2→1187.8，单柜最优 713.8→1735.5，MIP 696.2→777.7。柱子之间的差只有 174.1 元与 17.6 元，折线之间的差却是 410.1 元与 957.8 元——同一组数据，两种口径差出十几倍。 这正是"多属性决策"最容易翻车的地方：把非线性项在线性模型里近似，解出来的方案看着差不多，落到地上差一大截。所以本文的口径是：用线性模型选，用回算模型验，两个都报。
图 4 三方案的累计日绕行耗时阶梯，虚线为最优的 829 min
4.4 绕行是怎么一笔一笔堆上去的 图 4 按每座柜的绕行贡献降序累加。MIP 的三座累计到 829 min 就收住，单柜最优到 889 min，空电率优先到 1663 min。 值得盯的是阶梯的形状：MIP 的第一级最缓，说明它没有把负荷堆在一座柜上；空电率优先的第一级最陡，因为它选中的 C01 最远，一上来就吃掉一大块预算。绕行是硬钱（每 min 都是少跑的一单）：空电率优先第一座柜就把虚线顶穿了 740 min，后两座加起来才补回 95 min——起手错一步，后面全在补。
图 5 空电率水平对最优日代价与期望排队的影响
4.5 空电率是第一个放大器 图 5 左轴日代价、右轴平均排队。空电率整体放大到 0.4 倍时，日代价 581 元、排队 5.3 min；放到 1.6 倍时，日代价 840 元、排队 18.0 min。代价曲线几乎是直线，每 0.2 档涨 39 到 40 元；排队却不是直线：1.4 倍之前一直在 5 到 8 分钟之间爬，1.6 倍时直接跳到 18.0 分钟。 排队项 \(u/(1-u)\) 在负荷率逼近 1 时发散，空电率就是那只把 \(u\) 往上推的手。更要紧的是末端选柜集合变了（1.6 倍那一点由 C03 顶替了 C05），模型宁可换一座柜来避开被空电率拖垮的那座——"空电率一高就换柜"，这是模型教给人的第一课。
图 6 空电率与缺电失败罚金的二维扫描，星号为本案参数
4.6 空电率 × 罚金 图 6 是五档空电率乘四档罚金的填色热图。同一行从左到右变深（空电率越高越贵），同一列从下到上变深（罚金越高越贵），最浅的格子在左下角。 沿 \(\gamma=5\) 那一行往右看，日代价从 657 涨到 800，涨幅 21.7%；沿 \(\gamma=14\) 那一行，涨幅是 26.7%。罚金越高，空电率越"贵"——两个参数不是相加，是相乘。 这条结论对站长的意义很直接：如果片区白跑一趟的客诉代价上升，先要动的不是选址，是给柜子补电池的频次。
图 7 缺电失败罚金对最优日代价与期望失败次数的影响
4.7 第三维：罚金其实只是一张单价表 图 7 扫罚金 \(\gamma\) 从 1 到 18 元，日代价从 639 涨到 896 元，期望失败次数从 14.2 掉到 14.0 次每日。整条曲线几乎是一条直线，斜率 15.1 元每日每元——这个斜率不是巧合，它就是期望失败次数。 换句话说：罚金只给已经发生的失败贴价签，几乎改不了行为；唯一的例外是末尾 18 元那一档，模型终于换掉了 C05 改选 C03。 所以谈判时"白跑一趟值多少钱"这个问题，答案不在曲线的高低，而在曲线什么时候折。
图 8 绕行耗时与排队耗时的非支配前沿，灰区为排队超限区
4.8 前沿与不可行区 图 8 的横轴是日均绕行耗时、纵轴是日排队耗时，220 个灰点是全部组合，蓝线是非支配前沿。绕行最省的组合只花 795 min 在路上，却要 680 min 排在路上；排队最省的组合把排队压到 395 min，代价是绕行涨到 2282 min——用 1453 min 的绕行去换 241 min 的排队，纯亏。 最优解落在（829, 636）这个拐点上，两个方向都不讨好、也都不吃亏。上方的灰区是排队超过 731 min 的不可行区，也就是"省了路却排到投诉"的那一片。三个标记的分布才是这张图最狠的地方：单柜最优只比最优多跑 60 min 绕行，排队却从 636 min 涨到 2860 min，翻了 4.5 倍；空电率优先两头都不省（1663 min 绕行、978 min 排队）；只有 MIP 最优贴在前沿左下角。
图 9 二百二十种组合的日代价分布与累计概率
4.9 220 种组合的代价分布 图 9 是全枚举的直方图（其中 209 种满足容量），中位数 934 元，最优 696.2 元，次优 713.8 元，最差 1458 元。最优贴在分布最左端那个窄尾里，次优只差 17.6 元——说明"挑得不错"与"挑对"在这个规模上只差几块钱；但中位数 934 元是最优的 1.3 倍，随手一挑就要多付三成。 这条分布回答了"值不值得算"：在 12 座柜的规模上，算与不算的差别不是"省一点"，而是"省掉三分之一的日代价"。
图 10 三座入选柜的三项成本分解与合计
4.10 每一座柜的账目怎么拆 图 10 把最优三座的成本拆成三层。C11 的 88.2 元里有 58.6% 落在绕行一层，因为它的客流分散、负荷轻（19.7 次每日），排队只有 4.0 min；C08 正相反，排队一项就占 202.2 元，是它的最大单项；C05 居中，缺电失败成本 35.3 元反而最显眼，因为它的备用柜最远。三座柜的"贵法"各不相同——这就是多属性选址的真相：没有一座柜在所有维度上都好，最优解是三种"贵法"的最优组合，而不是三座"好柜"的集合。
5 结论
- 答案是 C05（客村）、C08（员村）、C11（杨箕）。 日代价 777.7 元（回算口径），三项分别是绕行 348.1、排队 266.9、缺电失败 162.7。这三座不是最近的、也不是空电率最低的，而是"三项加起来最便宜"的。
- 按空电率挑柜会多花 410.1 元（+52.7%）。 C03（珠江新城）、C07（岗顶）、C01（天河城） 三座空电率最低，但远离需求重心，绕行成本从 348.1 涨到 698.6 元。"柜里干净"是必要条件，不是充分条件。
- 按单柜各自最优挑柜，线性口径只差 17.6 元（2.5%），回算却差 957.8 元（123.2%）。 差在排队：那一组把 57.4 次每日压给 C08，排队从 2.8 min 涨到 48.8 min。这项成本在选址阶段完全看不见，只有在"分单之后回算"时才现形——所以选址模型必须带容量，且必须回算。
- 空电率是最强的放大器，而且是乘法不是加法。 空电率整体放大到 1.6 倍时，日代价从 581 涨到 840 元（+44.6%），排队从 5.3 涨到 18.0 min。它同时抬高排队项与失败项，还通过 \(u_{j}\) 的分母压低有效产能。 补电频次比选址更值得先动。
- "3 座"这个数字站得住，但要靠两条轴一起说。 绕行与排队此消彼长：绕行最省的那组用 795 min 绕行换 680 min 排队，排队最省的要多跑 1453 min 才省下 241 min 排队。最优解（829, 636）就在前沿的拐点上，再往任何一个方向挪，付出的那一项都大于省下的那一项——所以 3 座、这三座，就是这 12 座柜上的平衡点。
参考文献
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[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.
复现方式：python -u batch_060.py；数据与结果见同目录 data_060.csv / results_060.json，图见 figs/
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