案例 059　续航不够跑完全部单

案例 059　续航不够跑完全部单

摘要：满电 48 km，扣掉 15% 安全边际只剩 40.8 km，而手上 10 单往返合计 52.0 km、总收益 129.0 元——这一趟无论如何跑不完，必须弃单。本文把它写成「选单 + 排路」的混合整数模型：0-1 变量 \(x_{i}\) 决定接不接，续航约束 \(\sum d_{i}x_{i}\le E\) 卡死里程，位次变量 \(z_{i,k}\) 与起点、完工时刻 \(S_{k},C_{k}\) 卡死承诺时间窗，目标为总收益最大。Gurobi 在根节点即证最优：接 8 单、40.6 km、105.8 元，弃掉 S02、S09 两单共 23.2 元（18.0%）。与之对照，按收益里程比贪心得 98.0 元、按距离近优先得 91.7 元，分别少 7.8 元与 14.1 元。LP 松弛给出的续航影子价格是 2.181 元/km，比最优解的平均单位里程收益 2.606 元/km——边际那一公里不值钱，整块续航才值钱，这正是「差一点就够」最容易骗人的地方。

关键词：续航约束；选单背包；时间窗排路；影子价格；混合整数规划；弃单损失

1　问题提出

1.1　问题是什么

11:00 出门，电动车满电标称 48 km（满载口径）。老骑手都知道不能把 48 km 跑干：最后 15% 电量电压塌得快，实际能用的只有 40.8 km。这一批派来 10 单，往返里程（含回到取餐区）合计 52.0 km，收益合计 129.0 元。缺口 11.2 km，等于必须放弃两单左右。

十单的明细见表 1。里程从 2.4 km 的杨箕到 7.8 km 的南站，收益从 6.4 元到 22.0 元，单位里程收益 \(w_{i}/d_{i}\) 在 1.96 到 2.94 元/km 之间摆动。注意这个比值与里程并不单调：南站（7.8 km）只有 1.96 元/km，大学城（7.5 km）却有 2.93 元/km——远单里有肥有瘦，这就是「按远近挑单」必然出错的原因。

表 1　十单的里程、收益、时间窗与最优取舍（里程含返回取餐区，时刻为出门后的相对时刻折算）

订单 主要区域 \(d_{i}\) /km \(w_{i}\) /元 \(w_{i}/d_{i}\) \(s_{i}\) /min 时间窗 最优
S01 珠江新城 2.6 7.0 2.69 6 11:00—11:40 入选
S02 体育西 3.6 7.9 2.19 7 11:00—11:55 弃单
S03 东山口 4.1 11.1 2.71 7 11:00—12:15 入选
S04 北京路 4.8 14.1 2.94 7 11:00—12:40 入选
S05 同福路 5.1 13.5 2.65 9 11:00—13:05 入选
S06 客村 6.9 16.0 2.32 8 11:30—13:35 入选
S07 龙洞 7.2 15.7 2.18 5 11:45—14:00 入选
S08 大学城 7.5 22.0 2.93 6 11:45—14:15 入选
S09 南站 7.8 15.3 1.96 5 11:45—14:25 弃单
S10 杨箕 2.4 6.4 2.67 6 11:00—11:30 入选

时间窗是第二个约束。每单有最早到店时刻 \(a_{i}\)（客户要求几点之后送）与承诺送达时刻 \(b_{i}\)，单次往返耗时 \(p_{i}=60d_{i}/v+s_{i}\)，\(v=18\) km/h、\(s_{i}\) 为取餐加交付的服务时间。续航管「跑不跑得回来」，时间窗管「来不来得及」，两者叠加才是真正可行的接单表。

1.2　为什么要优化

第一，弃单不是「少赚一点」，而是「少赚哪一点」。十单全接 129.0 元，实际只能拿到 105.8 元，缺口 23.2 元。这 23.2 元里有多少是「必须丢的」，有多少是「选错了丢的」，只有把可行域算清楚才知道。

第二，按里程挑单与按收益挑单会给出完全不同的答案。距离优先接满 8 单只拿 91.7 元，比价贪心接 8 单拿 98.0 元，两者都自认为「装满了一箱电」，实际差 6.3 元。同一块电池，装法不同，收益差 6.9%。

第三，续航的价格必须能报出来。多带一块电池、少绕一个路口、多留 5% 电，值多少钱？这是骑手和站长每天都在拍脑袋的问题，影子价格把它变成一个数。

1.3　Gurobi 如何求解

两步合一：选单用 0-1 变量 \(x_{i}\)，排路用位次变量 \(z_{i,k}\)（第 \(k\) 个送的是不是 \(i\)），时刻用连续变量 \(S_{k},C_{k}\)。三类变量由式 (3)—(5) 串起来，续航只出现一条不等式 (2)。模型规模 10 个 \(x\)、100 个 \(z\)、20 个时刻变量，约束约 60 条，根节点即证最优，单次求解 0.02 s。影子价格另建一个只留续航约束的 LP 取 \(\lambda\)（MIP 没有 \(\pi\) 属性，这是必须绕的一步）。

2　数学模型

2.1　符号说明

\(i=1,\dots,n\) 为订单（\(n=10\)）；\(d_{i}\) 为往返里程（km）；\(w_{i}\) 为收益（元）；\(s_{i}\) 为服务时间（min）；\([a_{i},b_{i}]\) 为时间窗；\(p_{i}\) 为单次往返耗时；\(E\) 为可用续航；\(E_{\max}\) 为标称续航；\(\delta\) 为安全边际；\(\varphi\) 为超里程罚金（元/km）；\(y\) 为超里程量；\(v\) 为均速；\(T\) 为班次时长；\(z_{i,k}\) 为位次指派；\(S_{k},C_{k}\) 为第 \(k\) 站的出发与完工时刻。

2.2　目标函数

\[\max\ Z=\sum_{i=1}^{n} w_{i}x_{i}-\varphi\,y\tag{1} \]

第一项是接单收益，第二项只在「允许少量超里程」的灵敏度实验里出现：\(\varphi=0\) 时模型会把 52 km 全接下来，\(\varphi\to\infty\) 时退化成硬约束。主模型取 \(\varphi\) 足够大（等价 \(y=0\)），因为推车的代价远高于几单收益。

2.3　约束条件

\[\sum_{i=1}^{n} d_{i}x_{i}\le E+y,\qquad E=E_{\max}(1-\delta)\tag{2} \]

续航是硬约束，而且 \(E\) 里已经扣掉安全边际 \(\delta=0.15\)：\(E=48\times0.85=40.8\) km。题给的 48 km 是满载标称值，不是可用值；把 48 直接写进约束，就是「算出来可行、出门就推车」的经典建模口径错误。

\[\sum_{k=1}^{n} z_{i,k}=x_{i},\qquad \sum_{i=1}^{n} z_{i,k}\le 1\tag{3} \]

每个接了的单必须占一个位次，每个位次最多放一单。\(z\) 与 \(x\) 的这条等式是「选单」与「排路」之间唯一的桥：没有它，选出来的单就没有顺序，时间窗无从谈起。

\[C_{k}=S_{k}+\sum_{i=1}^{n} p_{i}z_{i,k},\qquad S_{k}\ge C_{k-1},\qquad p_{i}=\frac{60d_{i}}{v}+s_{i}\tag{4} \]

完工时刻的递推：第 \(k\) 站的完工等于出发加往返与服务时间；出发不能早于上一站完工（不许穿越）。这里不设「回仓」环节，因为 \(d_{i}\) 已经按「往返并回到取餐区」口径给了。

\[S_{k}\ge \sum_{i=1}^{n} a_{i}z_{i,k},\qquad C_{k}\le \sum_{i=1}^{n} b_{i}z_{i,k}+M\Big(1-\sum_{i=1}^{n} z_{i,k}\Big)\tag{5} \]

时间窗的两条边：出发不能早于客户允许的最早时刻 \(a_{i}\)（早到只能等），完工不能晚于承诺时刻 \(b_{i}\)。\(M\) 取 600（班次时长 210 的两倍多），不要用 \(10^{6}\)——大 M 太大，松弛界会烂掉，分支定界多跑几十个节点。

\[C_{k}\le T,\qquad \lambda=\frac{\partial Z^{*}}{\partial E}\tag{6} \]

班次总时长约束，以及影子价格的定义：\(\lambda\) 就是「多 1 km 续航，最优收益涨多少」。它由 LP 松弛的对偶解给出，是分段常数——因为背包的边际单换一次，价格就跳一档。

2.4　规模与性质

10 个 0-1 选单变量、100 个位次变量、20 个时刻变量，约束约 60 条，是非对称旅行商与背包的混合体，但因 \(d_{i}\) 已含返程、站间无需再算距离，实际退化为「带排路的背包」。可行子集只有 1010 个（1024 个子集中扣除超里程与超时窗的），规模小到可以全枚举验证——本文的帕累托前沿与收益分布就是用枚举做的，与 MIP 结果互为交叉校验。 最优解 8 单、40.6 km，与可用续航 40.8 km 只差 0.2 km。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

for k in range(N):
    md.addConstr(gp.quicksum(z[i, k] for i in range(N)) <= 1)
    pr = 0.0 if k == 0 else Cv[k-1]
    md.addConstr(Cv[k] == Sv[k] + gp.quicksum(p[i]*z[i, k] for i in range(N)))
    md.addConstr(Sv[k] >= pr)                       # 不穿越
    md.addConstr(Sv[k] >= gp.quicksum(A[i]*z[i, k] for i in range(N)))   # 最早到店
    md.addConstr(Cv[k] <= gp.quicksum(B[i]*z[i, k] for i in range(N))
                 + 600.0*(1 - gp.quicksum(z[i, k] for i in range(N))))   # 承诺时刻
md.addConstr(gp.quicksum(D[i]*x[i] for i in range(N)) <= E + y, name="range")

两个实现细节。第一，位次是「空位」也允许的：\(\sum_i z_{i,k}\le 1\) 而不是 \(=1\)，否则接 8 单就必须凑满 10 个位次，模型直接不可行。空位处 \(S_{k},C_{k}\) 取 0 也无害，因为目标与约束都不含它们。第二，时间窗用「和式 + 大 M」而不是「逐对 \(z\)」：\(\sum_i b_{i}z_{i,k}\) 在空位处为 0，若不加 \(M(1-\sum z)\) 这一项，空位会被强行要求 \(C_{k}\le 0\)，等于禁止一切空位。

3.2　求解结果

表 2　三种选单方案的对照（可用续航 $E=40.8$ km，班次 $T=210$ min）

方案 接单数 总里程 /km 续航利用率 /% 总收益 /元 被弃收益 /元 相对最优 /%
比价贪心（\(w/d\) 降序） 8 37.0 90.7 98.0 31.0 -7.4
距离优先（\(d\) 升序） 8 36.7 90.0 91.7 37.3 -13.3
MIP 最优 8 40.6 99.5 105.8 23.2 0.0

三行读下来：比价贪心 98.0 元、距离优先 91.7 元、MIP 105.8 元。三行都是 8 单，收益却分三档——同一块电池，装法不同，差出 14.1 元。 距离优先把 7.5 km 的大学城单（22.0 元、2.93 元/km）挤出了车，换进来 7.2 km 的龙洞（15.7 元、2.18 元/km），一进一出少 6.3 元；比价贪心挑对了单，却留下 3.8 km 空电装不进任何一单。两个病灶：一个不会挑，一个不会塞。

4　结果分析

图 1　最优排路的时序：条长为单次往返加交付的耗时，虚线到承诺时刻

4.1　最优排路长什么样　图 1 是 Gurobi 排出来的顺序：杨箕（2.4 km）先走，因为它的承诺时刻最早（11:30）；珠江新城、东山口、北京路依次跟上；客村、龙洞、大学城三单的客户要求 11:30、11:45、11:45 之后才能上门，结果一次都没有真正等过——前六单跑完已经 98 min，早就过了这些时刻，最早到店约束 \(a_{i}\) 在这套排法里是松的（图 1 的条全是同一颜色）。最后一单 189.3 min 完工，离班次终点还有 20.7 min 余量。这 20.7 min 不是浪费，而是对付红灯、等电梯、客户不接电话的缓冲——把它也排满，就是另一种推车方式。

图 2　十单的收益—里程分布，气泡面积为服务时长，虚线为影子价格与平均单位里程

4.2　收益—里程的真实形状　图 2 里最扎眼的是右上角那个点：大学城 7.5 km、22.0 元、2.93 元/km，是全场最肥的单；而南站 7.8 km 只有 15.3 元（1.96 元/km），几乎贴着影子价格线。入选的八单里最低的龙洞是 2.18 元/km，恰好压在影子价格线上；弃掉的两单一个是线下的南站（1.96），一个是刚过线的体育西（2.19）。 两条参考线的距离说明了本题的核心矛盾：平均 2.606 元/km 远高于边际 2.181 元/km，用平均值做决策会高估每一公里的价值，用边际值做决策又会漏掉「整块替换」的机会。

图 3　三种选单方案的总收益与续航利用率

4.3　三方案对比　图 3 三根柱：98.0、91.7、105.8 元；右轴是续航利用率 90.7%、90.0%、99.5%。MIP 只比比价贪心多 7.8 元（7.4%），接单数相同，但多跑 3.6 km；距离优先也接了 8 单，收益却低 14.1 元（13.3%）。 更关键的是那条利用率曲线：比价贪心只用了 90.7%，白留 3.8 km 的电；距离优先用了 90.0%，也留 4.1 km。贪心算法在背包问题上的通病不是「选错单」，而是「装不进去就停手」，剩下的里程谁也补不上。

图 4　三方案的累计里程阶梯，越过 40.8 km 就意味着推车

4.4　电是怎么一公里一公里没的　图 4 把三方案的累计里程画成阶梯，横轴是第几单。比价贪心在第 8 单停在 37.0 km，距离优先停在 36.7 km，两条线都离 40.8 km 的虚线有一段明显空白，而 MIP 那条一路顶到 40.6 km——这 3.6 km 的差别，就是 7.8 元的来源。 图里那条 48 km 的实线与 40.8 km 虚线之间的粉色带是安全边际 7.2 km：它的存在不是为了好看，而是为了让「算出来刚好够」变成「实际也够」。

图 5　可用续航从 33 km 放到 48 km 的最优收益与弃单数

4.5　续航的主灵敏度　图 5 左轴最优收益、右轴弃单数。可用续航从 33 km 放到 48 km，收益从 86.9 元升到 111.5 元，弃单从 3 单降到 2 单。曲线是阶梯状而不是直线，而且弃单数不是单调的（3→4→3→2）：续航从 33 km 放到 36 km 时，模型宁可少接一单、把剩下的里程让给更肥的远单，收益反而涨了 5.5 元。 这正是整数规划与线性规划的分野，也是「续航多 1 km 值多少钱」只能回答成区间的原因。 本案的 40.8 km 落在 105.8 元那一档的右端，再往下走 2.4 km 就会掉一单。

图 6　可用续航与超里程罚金二维扫描下的净收益，黄框为本案参数

4.6　续航 × 罚金　图 6 是 4×5 热图，行是超里程罚金 \(\varphi\)，列是可用续航。同一行从左到右变深（续航越长越赚），同一列从上到下变浅（罚金越高越不敢超），最浅的格子出现在右上。 定睛看 \(\varphi=1\) 那一行：净收益 103.2—111.5 元，比硬约束下还高，因为模型宁可按 1 元/km 买超里程也不肯弃单——这说明「超里程」的真实代价如果只有换电的 2 元，那么硬约束本身就过于保守；而 \(\varphi=16\) 那一列在本案续航下净收益 105.8 元，与硬约束解一字不差，说明本案的「不许超」等价于「罚金 16 元/km 以上」。

图 7　平均车速对最优收益与弃单数的影响（第三维）

4.7　车速这第三个维度　图 7 左轴收益、右轴弃单数，横轴均速。车速从 14 km/h 提到 24 km/h，收益从 94.2 元升到 105.8 元。注意这条曲线在 18 km/h 之后的抬升变缓：再快也接不了新单，因为瓶口是续航不是时间。 反之在 16 km/h 以下，时间窗开始咬人，弃单数抬头——这就是「续航约束与时间窗约束谁先紧」的切换点，本案恰好在续航紧、时间松的一侧。

图 8　续航—收益前沿与超续航不可行区，三个圆点为三方案

4.8　前沿与不可行区　图 8 的横轴是本趟总里程、纵轴是收益，曲线是 1024 个子集枚举出来的前沿（每个里程上限下的最大收益）。曲线一直爬到 45.5 km 的 111.5 元：多出来的 4.9 km 能让模型换一整套单——舍掉东山口（11.1 元）与杨箕（6.4 元），换回体育西（7.9 元）与南站（15.3 元），净赚 5.7 元。续航缺口 4.9 km 的直接代价就是 5.7 元。 40.8 km 右侧的灰区是「必须弃单」的不可行区，全部十单那一点（52 km、129.0 元）根本进不了可行域。三个圆点里，距离优先那个点低得最明显：它在 36.7 km 处就停手了，离前沿还有 14.1 元。

图 9　全部可行子集的收益分布与累计概率

4.9　可行子集的收益分布　图 9 是满足续航的 977 个子集的收益直方图（右轴为累计概率；时间窗可行的子集共 1010 个）。分布的中位数是 63.2 元，最优 105.8 元已经落在最右侧不足 1% 的尾部，次优子集只有 102.6 元——也就是说，从 1024 种接法中挑对，只比「随便挑一个好点的」多赚不到 3.2 元。 这个分布解释了为什么老骑手的经验往往够用：在 10 单的规模上，前 5% 与最优的差距是几块钱；但一旦订单数到 30，尾部会迅速拉开。

图 10　单位里程收益与续航影子价格的对照，线下即应弃的单

4.10　每一单的边际账　图 10 把十单按单位里程收益排开，横线是影子价格 2.181 元/km。线以下的南站（1.96 元/km）必弃；另一张被弃的体育西（2.19 元/km）只比线高 0.013，照样被弃——因为总里程要砍 11.2 km，弃掉南站只省 7.8 km，还差 3.4 km 必须再砍一单，而 3.6 km 的体育西是全场第二便宜的牺牲（7.9 元）。 这就是单约束背包的「整块替换」效应：影子价格只对「边际那一单」成立，对「补不齐的那块缺口」无效。 单位里程最高的三单是 S04、S08、S03（2.94、2.93、2.71 元/km），全部入选——说明比价排序在「挑谁」这一层是对的，错的是它不会回头看剩下的 3.8 km 能换什么。

5　结论

  1. 续航不够时，正确答案是弃 2 单（10 单里接 8 单），弃掉 23.2 元，保留 105.8 元。 具体是 S02、S09（7.9、15.3 元、3.6、7.8 km）：一单是单位里程最差的南站，另一单是与别人抢续航的体育西。弃单率 18.0% 已经是把 40.8 km 用到 40.6 km（利用率 99.5%）之后的最小损失。
  2. 比价贪心差 7.8 元（7.4%），距离优先差 14.1 元（13.3%），差距不在「选哪单」而在「装不装得满」。 两个贪心都留了 3.8 与 4.1 km 的空电，因为它们的停止规则是「下一单放不进就收手」，而 MIP 会回头换一整块。这条差距可以换算成钱：一箱电按 105.8 元算，空 4 km 电就是白扔 10.4 元。
  3. 续航的影子价格是 2.181 元/km，不到平均单位里程收益 2.606 元/km 的 83.7%。 这个差不是模型不准，而是边际与平均的差别：多 1 km 只能给「最后一单」用，边际那一单的单位收益最低。 所以「续航多 5 km 能多赚 5×2.606=13.0 元」是错的，正确的说法是「可能多赚 10.9 元，也可能一分不多」——图 5 的阶梯就是证据。
  4. 安全边际必须写进参数，而不是指望约束兜底。 \(E=48\times(1-0.15)=40.8\) km，比标称少 7.2 km。如果把 48 直接写进约束，最优收益会跳到 111.5 元（多 5.7 元），代价是要真跑 45.5 km——比可用的 40.8 km 多 4.7 km，正好是推车的距离。 本题的「差一点」不是修辞：最优解离上限只差 0.2 km，任何一次绕路都吃掉了这个余量。
  5. 时间窗在本案不紧，但它决定了「续航松下来之后」的解。 车速降到 16 km/h 以下，弃单数开始抬头、收益掉到 100.6 元；车速提上去，收益也不再涨（105.8 元封顶）。这说明两约束的关系是「串行」而不是「并行」：先被续航卡住，续航放宽后才轮到时间窗。 站点排班时应先看这批单的里程总量与电池容量，再谈时效——顺序反了，优化就是在算一个不存在的瓶颈。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

posted @ 2026-11-11 18:03  小青蛙电气  阅读(1)  评论(0)    收藏  举报