案例 054　午高峰两小时怎么排班

案例 054　午高峰两小时怎么排班

摘要：午高峰 11:00—13:00 共 936 单，按每人每 12 min 送 6 单的产能折成需求曲线，峰值 23.83 人、谷底 7.67 人，两小时共需 1872 人·min 在岗。每班只有 40 min，起班时刻可在 10:52—12:32 之间每 4 min 一档前移或后移。把它写成"整数人数 + 覆盖缺口"的两阶段整数规划：先最小化缺口，再在缺口最小的前提下最小化人力成本。最优解用 52 个班次、728 元做到零缺口；把够用的班次平摊到全部候选档位（均匀排班）只要 658 元，却留下 192.7 人·min 缺口，相当于丢掉 96 单，整体满足率只有 89.7%；按峰值配人（72 班、1008 元）缺口为零，但白付 1008 人·min 空转。均匀排班的总运力（1880 人·min）其实已经超过需求（1872 人·min），缺口却依然存在——缺的不是人，是"人在正确时刻"的匹配。

关键词：班次切分；人数配置；覆盖缺口；整数规划；字典序目标；午高峰

1　问题提出

1.1　问题是什么

午高峰两小时被切成 10 个 12 min 时段，订单量从 11:00 的 46 单爬到 12:00 的 143 单，再回落到 52 单，是一条典型的尖峰曲线。按单人单时段产能 6 单折算，需求人数从 7.67 人涨到 23.83 人，峰谷比 3.1 倍。

平台给的班次只有 40 min，不设固定班表，起班时刻由站点自己排。站点手里只有二十来个起班档位（本文取 10:52—12:32、每 4 min 一档，共 26 档），每档配几个人是整数决策。表 1 是需求与最优方案的在岗人数。

表 1　午高峰十个时段的订单量、需求骑手与优化方案的在岗人数

时段 订单 / 单 需求骑手 / 人 优化在岗 / 人 缺口 / 人 富余 / 人
1　11:00—11:12 46 7.67 8.00 0.00 0.33
2　11:12—11:24 63 10.50 11.00 0.00 0.50
3　11:24—11:36 88 14.67 15.00 0.00 0.33
4　11:36—11:48 112 18.67 19.00 0.00 0.33
5　11:48—12:00 131 21.83 22.00 0.00 0.17
6　12:00—12:12 143 23.83 24.00 0.00 0.17
7　12:12—12:24 124 20.67 24.00 0.00 3.33
8　12:24—12:36 101 16.83 25.00 0.00 8.17
9　12:36—12:48 76 12.67 19.00 0.00 6.33
10　12:48—13:00 52 8.67 13.00 0.00 4.33

1.2　为什么要优化

第一，人少了直接掉单。峰值 12:00—12:12 要 23.83 人，如果那时只有 15 人，就有一整截运力缺口，超时、拒单、差评都从这里长出来。

第二，人多了纯烧钱。单班工资 14.00 元，多排 10 个班就是 140 元，换来的是骑手在路边刷手机。

第三，40 min 的班次比人数更难排。班次一短，起班点必须错开才能贴住尖峰；班次一长，尖峰前后必然溢出。切分方式本身就是决策变量，不是排完人再补的细节。

1.3　Gurobi 如何求解

先把 120 min 离散成 30 个 4 min 槽，起班点落在槽边界上，于是一个档位覆盖哪几个槽完全由 0-1 矩阵 \(a_{t,s}\) 决定。决策变量是每档的人数 \(x_{s}\in\mathbb{Z}_{+}\)，缺口 \(g_{t}\ge 0\) 是连续量。目标分两阶段：先解式 (1) 拿到最小缺口 \(G^{*}\)，再加约束 \(\sum_t g_{t}\le G^{*}+\epsilon\) 解式 (5) 压成本。模型 26 个整数变量、30 条覆盖约束，单次求解 0.1 s 内结束；班次长度、时薪、订单上浮、罚金四组扫描共 39 次求解，全部 OPTIMAL，总墙钟 2 s。

2　数学模型

2.1　符号说明

\(\mathcal{S}\) 为候选起班点集合（26 档），\(\mathcal{T}\) 为 4 min 槽集合（30 个）；\(x_{s}\) 为档位 \(s\) 的骑手数（非负整数），\(g_{t}\) 为槽 \(t\) 的缺口人数，\(d_{t}\) 为槽 \(t\) 的需求人数，\(a_{t,s}\) 为覆盖指示，\(L\) 为班次长度，\(q_{p}\) 为第 \(p\) 时段订单量，\(\varphi\) 为单人产能，\(\alpha\) 为订单上浮系数，\(w\) 为时薪，\(c\) 为单班成本，\(G^{*}\) 为最小缺口。

2.2　目标函数

\[\min\ G=\sum_{t=1}^{T}g_{t}\tag{1} \]

第一阶段只管缺口：每个 4 min 槽少几个人就把这几个人计进 \(G\)。不把缺口和工资强行折算成一个加权目标，是因为两者没有天然兑换率——先替站点拍一个价，结论就变成了那个价的结论。字典序则把"先保覆盖、再省钱"这条业务规则原样搬进模型。

2.3　约束条件

\[\sum_{s\in\mathcal{S}}a_{t,s}\,x_{s}+g_{t}\ \ge\ d_{t},\qquad g_{t}\ \ge\ 0,\qquad t=1,\dots,T\tag{2} \]

每个槽的在岗人数加缺口不小于需求，缺口只许为正，于是 \(g_{t}=\max(0,\ d_{t}-\sum_s a_{t,s}x_{s})\) 被精确线性化。

\[a_{t,s}=\begin{cases}1, & s\le 4t<s+L\\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}\tag{3} \]

覆盖矩阵按"起班后连续 \(L\) 分钟在岗"生成；\(s<0\) 的档位（10:52、10:56）只有落在 11:00 之后的部分计入覆盖，早到的时间不计产能——这就是"提前起班"要付的代价。

\[d_{t}=\alpha\,\frac{q_{p(t)}}{\varphi},\qquad p(t)=\left\lfloor t/3\right\rfloor+1\tag{4} \]

需求由订单量折算，\(p(t)=\lfloor t/3\rfloor+1\) 把 30 个槽映射回 10 个 12 min 时段，\(\alpha\) 用于后文的订单上浮实验。

\[\min\ C=c\sum_{s\in\mathcal{S}}x_{s}\quad \text{s.t.}\quad \sum_{t=1}^{T}g_{t}\le G^{*}+\epsilon,\qquad c=w\,L/60\tag{5} \]

第二阶段在缺口不超过 \(G^{*}\) 的可行域里压成本，\(c=wL/60\) 是单班工资。两阶段合起来就是"缺口优先、成本其次"的字典序。

\[x^{\mathrm{uni}}_{s}=\left\lfloor N/|\mathcal{S}|\right\rfloor+\mathbf{1}\left[s\le s_{N\,\mathrm{mod}\,|\mathcal{S}|}\right],\qquad N=\left\lceil \sum_{t}d_{t}\Delta t/L\right\rceil\tag{6} \]

均匀排班是把够用的总班次 \(N\) 平摊到 26 个档位，余数从前面的档位补齐；按峰值排班则是 11:00、11:40、12:20 三批各配 \(\lceil d_{\max}\rceil\) 人。

\[\Delta_{s}=G(\mathbf{x}-\mathbf{e}_{s})-G(\mathbf{x}),\qquad s\in\{s:x_{s}>0\}\tag{7} \]

边际贡献：从最优解里拿掉档位 \(s\) 的 1 个人，缺口涨多少就是这个班次的真实价值，用来判断哪一班最不该动。

2.4　规模与性质

26 个整数变量、30 个连续缺口变量、30 条覆盖约束，是一个小规模覆盖型整数规划。结构是"区间覆盖 + 整数人数"，系数矩阵全 0-1，LP 松弛的整数性很好，分支定界几乎不掉节点。难点不在求解，而在起班点是离散的：档位加密到 4 min 一档，可行域才够细；放宽到 12 min 一档，缺口立刻跳起来。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

覆盖矩阵先用 NumPy 算成 0-1 数组，进模型时按行取系数，避免在约束里写下标判断：

A = cov(L)                                   # 30 x 23 的 0-1 覆盖矩阵
for t in range(NT):
    md.addConstr(gp.quicksum(A[t, j]*x[j] for j in range(NS)) + g[t] >= d[t])
md.setObjective(gp.quicksum(g[t] for t in range(NT)), GRB.MINIMIZE)
md.optimize(); Gs = md.ObjVal                 # 第一阶段：最小缺口
md.addConstr(gp.quicksum(g[t] for t in range(NT)) <= Gs + 1e-6)
md.setObjective(c*gp.quicksum(x[j] for j in range(NS)), GRB.MINIMIZE)
md.optimize()                                 # 第二阶段：缺口封顶后压成本

两阶段之间用 \(G^{*}+10^{-6}\) 而不是 \(G^{*}\)，是为了躲开浮点比较把可行域切空；MIPGap 设 1e-9，保证第二阶段拿到整数最优而不是差不多。起班人数上界给 60，远大于任何合理配置，等于不限。

3.2　求解结果

表 2　三种排班方案的成本、缺口与人数

方案 班次数 / 班 人力成本 / 元 覆盖缺口 / 人·min 需求满足率 富余 / 人·min
均匀排班 47 658.0 192.7 89.7% 201
按峰值排班 72 1008.0 0.0 100.0% 1008
优化排班 52 728.0 0.0 100.0% 208

优化方案用 52 个班次、728 元做到缺口 0.0 人·min，在岗总时长 2080 人·min 对需求 1872 人·min，富余仅 208 人·min。均匀排班便宜 70 元，但缺口 192.7 人·min；按峰值排班多花 280 元，缺口同样为零，富余却高达 1008 人·min。

4　结果分析

图 1　优化方案：各起班档位上的 40 min 班次（色深与条内数字为人数）

4.1　班次结构　图 1 把 11 个非零档位画成甘特条：横轴 11:00—13:00，纵轴起班档位，条长固定 40 min，色深与条内数字是人数。左侧灰底是 11:00 之前的时段——模型在那里一个人都没排，因为提前起班只会把 40 min 的前 8 min 浪费在没有订单的路上。尖峰一带的条最深，两端迅速变浅，这就是人跟着需求走的形状；而灰区全空，说明提前起班在数据上根本不划算——11:00 前上人，40 min 里有 8 min 是白付。

图 2　午高峰十个时段的订单量与需求骑手数

4.2　需求曲线　图 2 柱是每 12 min 的订单量，线是折算出的需求人数。曲线在 12:00—12:12 见顶（23.83 人）后回落，11:00 与 12:48 两头的需求只有峰值的三分之一。这条曲线是排班的原料：它越尖，40 min 的固定班次就越难贴合，缺口与富余必然同时出现。

图 3　均匀、按峰值与优化三种排班的成本与缺口对比

4.3　三方案对比　图 3 是核心对比。均匀排班 47 班、658 元、缺口 192.7 人·min；按峰值排班 72 班、1008 元、缺口为零；优化排班 52 班、728 元、缺口也为零。均匀排班比最优便宜 70 元（成本只有最优的 0.90 倍），代价是 192.7 人·min 缺口、约 96 单；按峰值排班比最优贵 280 元（1.38 倍），买到的是零缺口加 1008 人·min 空转。三个方案的成本最多差 53%，缺口却是从 0 到 192.7 人·min 的差别——第一目标只能是覆盖。

图 4　优化方案的逐时段在岗覆盖：缺口与富余

4.4　时序覆盖　图 4 把优化方案的在岗人数摊在时钟上，红色是缺口、蓝色是富余。整段没有红色，峰前 11:00—11:36 只留 0.2—0.5 人的薄边；蓝色全部压在 12:12 之后的回落段，最多处（12:24—12:36）多出 8.2 人。富余不是排错了，而是被 40 min 的长度逼出来的：12:20 起班的最后一批人一定要干到 13:00，而 13:00 前只要 8.67 人。班次越短，这段尾巴越短——这正是图 5 里短班次成本更低的来源。

图 5　班次长度对人力成本与班次数的影响

4.5　主灵敏度：班次长度　图 5 横轴 28—52 min，左轴成本、右轴班次数。七档长度全部能把缺口压到 0，右轴的台阶只在班次数上跳，成本从 28 min 的 715 元单调爬到 52 min 的 801 元：32、36、40 min 分别是 717、718、728 元，44 与 48 min 都是 739 元。短班次更省钱，因为它贴得住曲线（图 4 那条蓝色尾巴短了）；但代价是班次数暴涨：28 min 要 73 个班，40 min 只要 52 个。省下的 13 元要用多排 21 个班来换，折 0.60 元一个班——一个班次的排班与交接成本只要超过 0.6 元，拉长到 40 min 就划算。

图 6　班次长度 × 骑手时薪 的人力成本热图

4.6　二维：长度 × 时薪　图 6 是 4 行 5 列的热图，行是时薪 16—31 元，列是班次长度。颜色自左下向右上单调变深，最贵的一格 1091 元；固定 40 min 这一列上下差 520 元，而固定时薪 21 元这一行从 32 min 到 48 min 只差 22 元。时薪是乘性因子，班次长度只通过班次数起作用，所以成本对工资的弹性远大于对长度的弹性——涨薪 5 元比换班次长度更疼。

图 7　订单量上浮对人力成本与班次数的影响

4.7　第三维：订单上浮　图 7 把订单量整体上浮到 1.30 倍。成本从 728 元升到 952 元（+31%），班次从 52 个增到 68 个（+31%），缺口全程保持为零。上浮 30% 就是人多 30%，一点规模效应都没有：起班档位固定，加人只能整班整班地加，成本随订单线性涨——离散档位收的是粒度税。

图 8　成本—缺口帕累托前沿与不可行区

4.8　帕累托前沿　图 8 用加权法把罚金从 2 扫到 32 元/(人·槽)，得到成本 630—728 元、缺口 0.0—88.0 人·min 的前沿。左侧灰区是缺口小于 0，物理上不存在。均匀排班（方块）落在前沿右上方，被 λ=2 的加权解（630 元、缺口 88.0 人·min）完全支配：又贵 28 元、又多 104.7 人·min 缺口。前沿在缺口接近 0 处急剧变陡：末端的边际价码 5.3 元/(人·min)，是远端 0.6 元的 8 倍——最后 5 人·min 的缺口要用 28 元去买，这就是最后一公里覆盖的价码。

图 9　逐槽覆盖偏差的累计分布（四种方案）

4.9　偏差分布　图 9 是逐槽覆盖偏差（在岗减需求取绝对值）的累计分布。优化排班 57% 的槽偏差不超过 0.35 人、平均 1.73 人，最大 8.17 人全部来自 12:20 那批人干到 13:00 的尾巴；低缺口罚版本（630 元、45 班）平均 0.87 人、最大 3.67 人，缺口 88.0 人·min 就是这么攒出来的；均匀排班 77% 的槽偏差超过 1 人、平均 3.28 人；按峰值排班最离谱，平均 8.40 人、偏差从 0.17 人一路铺到 16.33 人，整条曲线右移到图的右端。偏差的形状比总量更能说明问题：优化排班是贴着需求走，均匀排班是到处差一点，按峰值是处处多一大截。

图 10　优化方案中各起班点的边际贡献与配置人数

4.10　边际贡献　图 10 是逐档位的边际贡献：拿掉该档 1 人，缺口增加多少。尖峰一侧的档位边际贡献最高（29.3 人·min，起班 11:24），两端只有 2.7 人·min。没有一档是 0——这正是成本最小的证据：如果某个人可以被无声地拿掉而缺口不变，那就不是最优解。边际贡献的排序就是排班表的重要性排序，站点临时缺人时应该从右边开始减。

5　结论

  1. 最优排班 52 个 40 min 班次、728 元，缺口 0.0 人·min、满足率 100.0%；在岗 2080 人·min 对需求 1872 人·min，富余仅 208 人·min。
  2. 均匀排班 658 元，比最优便宜 70 元（0.90 倍成本），缺口却有 192.7 人·min、满足率只有 89.7%，折合约 96 单。它的总运力 1880 人·min 其实已经超过需求的 1872 人·min——缺口不是运力不够，是运力没落在对的时间上。
  3. 按峰值排班 1008 元（最优的 1.38 倍），缺口为零但富余 1008 人·min，等于用 280 元买永远按最忙那 12 min 配人的保险。峰值配人是保险，不是排班。
  4. 班次长度：28—52 min 七档都能做到零缺口，成本从 715 元单调升到 801 元，40 min 为 728 元。短班次省的是尖峰前后的溢出，付的是班次数——28 min 比 40 min 便宜 13 元，却要多排 21 个班（73 对 52）。40 min 不是成本最低点，而是"每班省 0.6 元管理成本"这条线之上的折中；若站点管得动 73 个班，切短更省。
  5. 成本对时薪的弹性远大于对班次长度：时薪 16→31 元，固定 40 min 一列成本差 520 元；订单上浮 30% 则成本涨 31%、班次涨 31%，缺口仍为零。反过来，去掉缺口罚金（630 元、45 班）缺口立刻涨到 88.0 人·min——缺口最小和成本最低在离散档位下不可兼得，必须先声明谁优先，再谈排班。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

posted @ 2026-11-11 18:02  小青蛙电气  阅读(3)  评论(0)    收藏  举报