案例 053 一个骑手能带几单
案例 053 一个骑手能带几单
摘要：午高峰 60 min 内平台连续派下 12 单，骑手同时在手上的单量上限 K 从 1 试到 6。把"装满 K 单才封趟"的派单规则写进模型，每趟的出发时刻由该趟最后一单的到达时刻决定，骑手只能在趟内决定送达次序，于是 K 不再是"越大越好"的上界，而是一个会反噬的参数。以 12 单、总配送费 73.75 元、单均承诺 39 min 为基础，最优上限是 K=3：63.31 元、4 趟、0 单超时；K=1 只有 51.07 元（12 趟空驶），K=6 跌到 -65.92 元（2 趟、67% 超时）。平台默认 K=5 时净收益 20.07 元，改到 K=3 可多赚 43.25 元（215.5%）。收益曲线的拐点出现在 K=3 到 K=4 之间，边际收益由 +1.98 元翻负——多带一单省下的空驶，抵不过整趟压线超时的罚金。
关键词：在途单量上限；封趟派单；趟内排序；超时罚；参数扫描；外卖派单
1 问题提出
1.1 问题是什么
午高峰 11:30—12:40，12 单先后派到同一位骑手手上，第一单 0 min 到、最后一单 60 min 到，间隔约 5.5 min。每单有取餐时长、送达距离、配送费与承诺时刻，平均距离 2.5 km、单均占用 6.9 min、单均配送费 6.15 元。表 1 是完整档案。
平台的规则很硬：在途单量不到 K 就继续派，凑满 K 单才封趟出发；封趟之后这一趟的单必须全部送完才能接下一批。骑手能决定的只有"先送谁、后送谁"。K=1 时每单单独跑，K=6 时两趟拉完，中间差着 10 次往返。
表 1 12 单的派单到达时刻、距离、单均占用、配送费与承诺时刻
| 订单 | 区域 | 距离 km | 取餐 min | 到达 min | 送达占用 min | 配送费 元 | 承诺 min | 最优趟次/次序 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P01 | 商圈 | 2.4 | 1.5 | 0.0 | 6.5 | 6.04 | 39.4 | 1 / 3 |
| P02 | 写字楼 | 1.3 | 1.2 | 5.5 | 3.9 | 5.11 | 44.3 | 1 / 2 |
| P03 | 小区 | 3.6 | 2.0 | 11.0 | 9.6 | 7.06 | 51.2 | 1 / 1 |
| P04 | 小区 | 2.0 | 1.4 | 16.5 | 5.6 | 5.70 | 55.7 | 2 / 2 |
| P05 | 商圈 | 4.2 | 2.2 | 22.0 | 11.0 | 7.57 | 62.5 | 2 / 3 |
| P06 | 写字楼 | 1.8 | 1.3 | 27.5 | 5.1 | 5.53 | 66.6 | 2 / 1 |
| P07 | 小区 | 2.9 | 1.8 | 33.0 | 7.9 | 6.46 | 72.7 | 3 / 3 |
| P08 | 商圈 | 1.1 | 1.0 | 38.5 | 3.3 | 4.94 | 77.2 | 3 / 2 |
| P09 | 写字楼 | 3.3 | 2.1 | 44.0 | 9.0 | 6.80 | 84.0 | 3 / 1 |
| P10 | 小区 | 2.2 | 1.5 | 49.5 | 6.1 | 5.87 | 88.8 | 4 / 3 |
| P11 | 商圈 | 3.9 | 2.0 | 55.0 | 10.2 | 7.31 | 95.3 | 4 / 2 |
| P12 | 写字楼 | 1.6 | 1.2 | 60.5 | 4.6 | 5.36 | 99.5 | 4 / 1 |
1.2 为什么要优化
第一，空驶是纯浪费。每趟封趟后要回商圈重新取餐，固定空驶 4.2 min，K=1 时 12 趟就是 50 min、按 0.45 元/min 折 22.7 元；K=6 时只剩 2 趟。
第二，封趟要等。K 越大，第一单等最后一单的时间越长：K=6 时第一单要干等 27.5 min 才发车，而它的承诺只有 38 min，还没出发就已经输在起跑线。
第三，趟内次序不是小事。同样 3 单，先送承诺紧的还是先送近的，超时分钟能差一倍。这是唯一真正属于骑手的决策，也是模型要解的部分。
1.3 Gurobi 如何求解
固定 K 后，趟的划分（按派单到达顺序每 K 单一组）和每趟的出发时刻都由规则决定，剩下的是一条"带截止时间的排序"问题：12 单、最多 6 个次序位，0-1 变量 36 个上下，约束是每单一个位、每位一单。目标里超时按分钟线性计罚（0.8 元/min），另加 2.0 元/单的差评固定罚，用辅助变量 \(T_{i}\) 与 \(V_{i}\) 线性化。单次求解毫秒级；K 扫描 6 点、罚金网格 18 点、承诺扫描 5 点，共 29 次求解，全部 OPTIMAL，墙钟 2 s。
2 数学模型
2.1 符号说明
\(\mathcal{I}\) 为 12 单集合，\(\mathcal{I}_{w}\) 为第 \(w\) 趟的单集，\(n_{w}=|\mathcal{I}_{w}|\)；\(f_{i}\) 配送费，\(a_{i}\) 派单到达时刻，\(h_{i}\) 单均送达占用（取餐 + 骑行），\(\bar{d}_{i}\) 承诺时刻，\(r\) 为趟内次序位，\(x_{i,r}\) 为 0-1 指派变量，\(T_{i}\) 为计罚超时，\(V_{i}\) 为是否超时，\(\tau_{w}\) 为封趟出发时刻，\(C_{i}\) 为送达时刻；\(R_{0}\) 为回商圈空驶，\(\gamma\) 为折返系数，\(\lambda\) 为超时罚系数，\(c_{f}\) 为差评罚，\(c_{0}\) 为空驶成本，\(\varphi\) 为在途负荷成本。
2.2 目标函数
第一项是 12 单的配送费合计（全部必送，拒单率上限见题源），第二项是超时罚，第三项是差评固定罚，第四项是每趟回商圈的空驶成本，第五项是在途负荷成本 \(\varphi(n_{w}-1)^{2}\)——手上单越多，餐越容易凉、汤越容易洒，按单量平方计。
2.3 约束条件
每单恰好占一个次序位，每趟的每个位恰好一单，这就是一个指派矩阵。
封趟时刻取该趟最后一单的到达时刻，再加回商圈空驶与折返项。\(\gamma(n_{w}-1)^{1.6}\) 是超线性的：一趟 2 单只多 0.9 min，一趟 6 单要多 11.8 min，这是"多带单"的第一笔账。
送达时刻等于出发时刻加前 \(r\) 个位的占用之和，\(r(i)\) 是订单 \(i\) 所在的位次。
式 (5) 让 \(T_{i}\) 取到该单的真实超时分钟（平台按分钟扣罚，不做封顶），式 (6) 用大 M 判断是否超时，\(V_{i}=1\) 时另计 2.0 元差评罚。两者只在 \(x_{i,r}=1\) 的那个位次上生效，其余位次被 100 的大 M 顶开。
趟数由上限决定，边际收益 \(\Delta_{K}\) 就是曲线上相邻两点之差——这是本文真正要读的数。
2.4 规模与性质
固定 K 时变量不超过 40 个 0-1 变量、30 条约束，是带截止时间的指派问题。真正的难点不在求解规模，而在K 不是决策变量：它是平台规则，骑手只能在其下做排序。因此 K 扫描得到的是"规则曲线"，不是"松弛曲线"，曲线才有拐点。
3 Gurobi 求解实现
3.1 建模要点
封趟时刻、折返项都是常数，先在循环外算好再进约束，模型里只剩排序：
start = A[idx].max() + R0 + GAM*(m-1)**1.6
for r in range(m):
cum = gp.quicksum(H[j]*xs[j,q] for q in range(r+1) for j in idx)
for i in idx:
md.addConstr(T[i] + 100*(1-xs[i,r]) >= start + cum - DUE[i])
cum 是"送到第 r 位时累计占用"，随 r 递增，于是位次越靠后越容易触发超时；大 M 取 100 而不是 1e6，避免数值病态。所有 K 的求解都判 Status == GRB.OPTIMAL，29 次全部通过。
3.2 求解结果
表 2 上限 K 从 1 到 6：趟数、超时单数、超时分钟、整班跨度与净收益
| K | 趟数 W | 超时单数 | 超时合计 min | 整班跨度 min | 净收益 元 | 边际 元 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 12 | 0 | 0.0 | 69.3 | 51.07 | — |
| 2 | 6 | 0 | 0.0 | 80.4 | 61.33 | +10.26 |
| 3 | 4 | 0 | 0.0 | 88.3 | 63.31 | +1.98 |
| 4 | 3 | 1 | 0.4 | 99.8 | 60.94 | -2.38 |
| 5 | 3 | 6 | 37.6 | 80.4 | 20.07 | -40.87 |
| 6 | 2 | 8 | 138.6 | 117.6 | -65.92 | -85.99 |
K=1 到 K=3 净收益从 51.07 升到 63.31，K 再往上掉到 -65.92。最优 K=3 时 4 趟、0 单超时、超时合计 0.0 min、整班 88 min；默认 K=5 时超时 6 单、合计 37.6 min，净收益只剩 20.07 元。
4 结果分析
图 1 最优化 K=3 时的四趟配送路径与客户分布
4.1 路径结构 图 1 是 K=3 的四趟路径。四趟把 12 个点按派单顺序切成四个扇区，每趟从商圈出发绕一圈回来，单趟 3 单、路线不长。切法是被规则定死的，骑手能改的只有扇区内部的先后——这正是模型里那 30 多个 0-1 变量的全部意义。
图 2 12 单的距离—送达占用关系（气泡为配送费）
4.2 数据全景 图 2 横轴距离、纵轴单均占用、气泡是配送费、颜色是到达时刻。远近与占用近似线性（\(h_i\approx p_i+2.1d_i\)），配送费也随距离涨，所以"远单"既贵也慢，P05（4.2 km）是全场最贵也最慢的一单。K=3 时 12 单全部按时送达，趟内次序对收益没有影响，模型出现多重最优——这正是"小上限把排序问题变简单"的证据；一旦 K 涨到 5，位次立刻决定谁吃罚（图 9）。
图 3 在途上限 K 从 1 到 6 的班次净收益
4.3 六种上限的净收益 图 3 是核心对比。K=1 的 51.07 元是"12 趟空驶"的代价，K=3 的 63.31 元是峰值，K=6 的 -65.92 元说明"两趟拉完"根本不成立。浅蓝是其余上限，灰色最优、红色默认。曲线的形状是"左陡右崩"：左边被空驶拖住，右边被超时拖住。
图 4 最优上限与平台默认上限的累计净收益
4.4 累计过程 图 4 把两条曲线摊在时钟上。最优 K=3 在 0—60 min 稳步爬升，默认 K=5 前半段几乎不动（在等凑满 5 单），后半段虽然斜率更陡但已经追不回来。最终最优停在 63.31 元，默认停在 20.07 元。等待不是免费的：省下的空驶，被"发车晚"吃掉了。
图 5 主灵敏度：净收益随 K 先升后降，超时单数同步跳变
4.5 主灵敏度 图 5 左轴净收益、右轴超时单数。收益从 51.07 升到 63.31 再掉到 -65.92，超时单数从 0 跳到 67%，两级台阶正好卡在 K=3 到 K=5 之间。超时单数不是渐变的，是跳变的：趟内位次一多，第 4 位之后几乎必超时。
图 6 K × 超时罚系数 的净收益热图
4.6 二维：K × 罚金 图 6 是 3 行 6 列热图，行是罚金倍数 0.6/1.0/1.4，星标为本案参数。左侧四列（K≤4）三行完全相同，因为这几档方案里根本没人超时，罚金再重也罚不到钱；右侧两列才动：K=5 从 32.5 元掉到 9.2 元，K=6 从 -21.6 元掉到 -110.3 元。罚金只惩罚"已经超时"的方案，它改变的是超时的代价，不是最优 K 的位置——K=3 在三种罚金下都赢。
图 7 默认上限 K=5 下承诺时长对净收益与超时单数的影响
4.7 第三维：把承诺放宽，K=5 能追上吗 图 7 固定默认 K=5，横轴承诺送达时长从 30 扫到 50 min。承诺 30 min 时净收益 -34.5 元（9 单超时），38 min 时 20.1 元，50 min 才爬到 62.1 元（0 单超时）。绿点线是 K=3 的 63.31 元。放宽承诺确实能把 K=5 从 -34.5 元的亏损里救回来，但最多爬到 62.1 元，始终差 K=3 一截——承诺治的是"超时罚"，治不了"折返与负荷"这两笔账。
图 8 整班跨度—净收益前沿与整班拉长区
4.8 前沿与整班跨度 图 8 横轴整班跨度、纵轴净收益，右侧灰区是"整班拉长区"（超过 88 min）。K=1 在 69 min 处只拿到 51.1 元，K=6 拖到 118 min 反而只剩 -65.9 元——前沿在这里是"倒 U"而不是单调曲线，说明"多跑"和"多赚"在 K≥4 之后彻底脱钩。
图 9 逐单超时分钟的累计分布（K=3、5、6）
4.9 超时分布 图 9 是逐单超时分钟的累计分布。K=3 是一条贴着纵轴的竖线——12 单无一超时；K=5 有 6 单超时、合计 37.6 min，曲线在 1—8 min 之间抬升；K=6 有 8 单超时、合计 138.6 min，尾部一直拖到 20 min 以上。超时不是均匀分摊的：K=5 之后，一趟里排在第 4、5 位的单几乎注定要吃罚，这就是封趟的代价落在谁头上。
图 10 K 每增 1 单的边际收益与净收益水平
4.10 边际贡献 图 10 是边际收益的 stem。K=1→2 一次拿 +10.26 元（省下 6 趟空驶），K=2→3 只拿 +1.98 元（空驶已省得差不多，折返与负荷开始吃钱），K=3→4 首次转负（-2.38 元），K=4→5 一口气掉 -40.87 元。边际收益的零点就是最优 K 的定义：再加一单，省下的空驶 < 多出的折返 + 超时 + 负荷。
5 结论
- 最优在途上限 K=3，净收益 63.31 元；K=1 是 51.07 元、K=6 是 -65.92 元，曲线先升后降，极值唯一。
- 平台默认 K=5 时净收益 20.07 元，改到 K=3 多赚 43.25 元（215.5%），同时超时单从 6 单降到 0 单——收益和体验在这一点上不冲突。
- 边际收益序列为 +10.26（K=2）、+1.98（K=3）、-85.99（K=5）元。零点出现在 K=3 附近，K=1→3 的累计边际 12.24 元几乎全部来自空驶的节省。
- 两笔成本方向相反：空驶按趟数线性下降（每趟 1.89 元），折返按 \((n-1)^{1.6}\)、负荷按 \((n-1)^{2}\) 超线性上升，超时按趟内位次串行累积。前两笔可算，第三笔只能靠排序压。
- 罚金只对已超时的方案生效（K=6 在 0.6 倍罚金下 -21.6 元、1.4 倍下 -110.3 元，K≤4 三档罚金下不变）。把 K=5 的承诺从 38 放宽到 50 min，净收益从 20.1 元升到 62.1 元仍追不上 K=3——"上限"是规则，"承诺"是缓冲，两者都改不掉折返这笔硬账。
参考文献
[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.
[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.
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[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.
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