案例 049　冲单奖在 A，高单价在 B：冲量还是冲额

案例 049　冲单奖在 A，高单价在 B：冲量还是冲额

摘要：晚高峰 3 h，A 区挂着"满 8 单奖 30 元"的冲单奖、单价 8.0 元、单均 11 min；B 区单价 10.0 元（高 2.0 元）、单均 13 min、无奖励。本文把"两区各跑几单、要不要够档"写成 3 个变量的整数规划，用 0-1 变量 \(z\) 刻画达标与否，并用 \(x_{A}\ge m z\) 把阶跃奖励线性化。四种方案实测：全 A 冲奖 158 元、全 B 高价 130 元、按单价挑活的混合方案 138 元、混合达档 164 元。最优解是"8 单 A 换 30 元奖励、剩下 7 单全给 B"，比全 B 高 34 元（26.2%）、比不冲档的混合方案高 26 元。冲单奖的临界额度只有 4 元，临界门槛是 15 单；本案的奖励额度是临界额度的 7.5 倍，所以"够档"几乎是无风险动作——真正的取舍不在要不要冲，而在冲完 8 单之后还剩几分钟给 B。

关键词：冲单奖；阶梯激励；0-1 规划；临界单量；区域选择；整数规划

1　问题提出

1.1　问题是什么

班次 3 h、共 180 min，骑手面前摆着两张价目表：A 区（冲量区）单价 8.0 元、单均 11 min，另有"满 8 单奖 30 元"的冲单奖；B 区（高单价区）单价 10.0 元、单均 13 min，没有任何奖励。两区的单都接不完，唯一稀缺的是这 180 min。

表 1　两个区域的单价、单均耗时与班次内的单量上限（班次 180 min）

区域 单价 元/单 单均耗时 min 每小时收入 元/h 冲单奖 满班单量
A 区（冲单奖） 8.0 11 43.64 满 8 单奖 30 16
B 区（高单价） 10.0 13 46.15 无 13

表 1 里"每小时收入"一列是纯单价账：A 区 43.64 元/h、B 区 46.15 元/h，B 高出一截。只按这一列决策，答案就是全跑 B——这正是本案例要推翻的结论。按单均耗时算，A 区一整个班次最多 16 单、B 区最多 13 单，两个上限都不是整数除尽的，尾巴上会剩下 4—11 min 的白板时间。

1.2　为什么要优化

第一，单价高的区不一定赚得多。B 区每小时多赚 46.15 减 43.64 的一小截，但冲单奖是一次性 30 元的阶跃：8 单 A 的单均收益因此从 8.0 元抬到 8.0 加 3.75 元。阶跃不看时长、只看有没有跨过门槛，单价账根本算不出这一块。

第二，奖励是"尾巴效应"。第 8 单的边际收益是 8.0 元加 30 元，第 8 加 1 单又跌回 8.0 元。同一条 A 区路线上，第 8 单和第 9 单的价值差 30 元——边际收益在门槛处跳一次，之后一路走平，这是纯线性模型永远给不出的形状。

第三，混合不是折中，是最优。两区不必二选一：先把 A 区的档打满、拿钱走人，剩下的时间全部投给单价更高的 B 区。本题要回答的就是"先冲多少单、冲到哪一档为止"。

1.3　Gurobi 如何求解

3 个变量（\(x_{A},x_{B}\) 整数、\(z\) 为 0-1），2 条约束，规模小到可以画图。Gurobi 的分支定界在 0.02 s 内证到最优（MIPGap \(10^{-9}\)），真正的价值在参数扫描：奖励额度 7 点、门槛与额度 7 乘 5 共 35 点、班次时长 7 点，另有 130 组可行组合的全枚举和 130 组情景的扰动重算，全部墙钟 1 s。

2　数学模型

2.1　符号说明

\(p_{A},p_{B}\) 为两区单价，\(t_{A},t_{B}\) 为单均占用时长，\(T\) 为班次可用时长，\(m\) 为冲单门槛，\(R\) 为冲单奖额度。决策变量：\(x_{A},x_{B}\in\mathbb{Z}_{+}\) 为两区单量，\(z\in\{0,1\}\) 表示是否达档。

2.2　目标函数

\[\max\ Z=p_{A}x_{A}+p_{B}x_{B}+R z\tag{1} \]

式 (1) 的前两项是线性的"按单计价"，第三项是阶跃的"按档计价"。二者量纲相同（元 / 班次），但结构完全不同：前者随单量线性增长，后者只在 \(z\) 从 0 翻到 1 时整块跳出。

2.3　约束条件

班次时间是唯一的硬约束：

\[t_{A}x_{A}+t_{B}x_{B}\le T\tag{2} \]

达标与单量的耦合是本模型的核心。用一条不等式把"\(z=1\) 必须以拿到 \(m\) 单为前提"写清楚：

\[x_{A}\ge m z\tag{3} \]

式 (3) 只给了下界，没有给上界——因为式 (1) 中 \(R>0\)，求解器绝不会在 \(x_{A}<m\) 时把 \(z\) 白放到 1；反之若 \(x_{A}\ge m\)，把 \(z\) 顶到 1 一定更优。一条不等式加一个正系数，就够刻画整个阶跃，这是阶梯激励最省事的写法：

\[x_{A},x_{B}\in\mathbb{Z}_{+},\qquad z\in\{0,1\}\tag{4} \]

达档的相对代价可以解析地写出来。令 \(\bar n_{B}=\lfloor (T-t_{A}m)/t_{B}\rfloor\) 为冲完 \(m\) 单后还能跑几单 B，则"够档"的临界奖励额度为

\[R^{*}=p_{B}\Big\lfloor\frac{T}{t_{B}}\Big\rfloor-\Big(p_{A}m+p_{B}\bar n_{B}\Big)\tag{5} \]

式 (5) 的右端第一项是不冲档的最优收入（全给 B），括号内是够档方案在"零奖励"下的收入，两者之差就是够档要付的机会成本。反过来，给定 \(R\) 与单价差，临界门槛为

\[m^{*}=\Big\lfloor\frac{R}{p_{B}-p_{A}}\Big\rfloor\tag{6} \]

式 (6) 是纯单价账：每把一单 B 换成 A 就少赚 \(p_{B}-p_{A}\) 元，够档要换 \(m\) 单，摊到每单的奖励必须盖过这个价差。

2.4　规模与性质

2 个整数变量、1 个二进制、2 条约束，搜索空间不到 300 个格点，属于"可以手算、但手算会漏"的规模。漏在哪里：\(x_{A}\) 与 \(x_{B}\) 的可行域不是矩形，时间约束把右上角切掉一条斜边；而目标里的阶跃又让等值线在 \(x_{A}=m\) 处断开。可行域是斜切的，目标是断开的，两个性质叠在一起，最优点必然落在阶跃线或时间边的交点上——本例恰好两条都占。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

三个变量、两条约束，代码与公式一一对应：

xA = m.addVar(vtype=GRB.INTEGER, lb=0, ub=int(T / tA) + 2)
xB = m.addVar(vtype=GRB.INTEGER, lb=0, ub=int(T / tB) + 2)
z  = m.addVar(vtype=GRB.BINARY)
m.setObjective(pA * xA + pB * xB + R * z, GRB.MAXIMIZE)
m.addConstr(tA * xA + tB * xB <= T)      # 班次时间
m.addConstr(xA >= mth * z)               # 达档：z=1 必须先凑够 m 单

一个实现细节：\(x_{B}\) 的上界不能省。若把 \(x_{B}\) 设成无界整数，时间约束虽然仍能拦住它，但分支定界的初始域会被撑到 \(10^{30}\) 量级，LP 松弛的数值尺度变差；写成 \(\lfloor T/t_{B}\rfloor+2\) 之后，预求解直接把域收敛到 15 以内。另一处：\(z\) 与 \(x_{A}\) 若同时用来做"分段收益"的其他写法（如大 \(M\) 松弛），\(M\) 必须取 \(\lfloor T/t_{A}\rfloor\) 而不是 \(10^{6}\)。

3.2　求解结果

表 2　四种派单方案的单量、时间占用与收入构成（金额单位：元）

方案 A 单+B 单 占用 min A 区收入 B 区收入 达档 z 总收入
全 A 冲奖 16+0 176 128 30 1 158
全 B 高价 0+13 169 0 130 0 130
混合不冲档 1+13 180 8 130 0 138
混合达档（最优） 8+7 179 64 70 1 164

四个方案里，全 A 与全 B 的差距只有 158 减 130 等于 28 元，而混合达档比全 B 高 34 元。真正的分水岭是第三、四行：同样跑混合，够档 164 元、不够档 138 元，差 26 元——这 26 元就是 8 单 A 换来的，平均每单 3.25 元，正好等于奖励摊到门槛上的单价。

4　结果分析

图 1　单量—累计收入：A 区的 30 元台阶与两条路线的交叉

4.1　两条路线的形状　图 1 把两区的"单量—累计收入"画在同一坐标里。B 区是一条斜率 10 的直线，A 区是斜率 8 的折线加一个 30 元的台阶：第 1—7 单每单只值 8 元，第 8 单一口气值 38 元，之后又跌回 8 元。台阶之前 A 一直输，台阶之后 A 一路赢：第 9 单时 A 累计 102 元、B 是 90 元；第 13 单时 A 累计 134 元、B 是 130 元，A 反超 4 元。这条交叉正是"要不要冲奖"的几何解释——在台阶之前 B 赢，在台阶之后 A 赢，最优点就长在台阶上。

图 2　130 组可行组合的耗时—收入全景（气泡为单量）

4.2　可行域是斜切的　图 2 把 130 组可行组合全部画出来，横轴占用时长、纵轴总收入、气泡大小是单量。点云左侧贴着 45 度斜带（时间用满的组合），右侧被 180 min 的竖线截断。灰点是未达档组合、蓝点是达档组合，两团在 \(x_{A}=8\) 处上下错开一整块——同一段时间，达档与不达档的收入差就是那 30 元，与单量多少无关。这也解释了为什么最优点总落在蓝色团的上边界。

图 3　全 A、全 B 与混合达档三种方案的总收入

4.3　三种方案　图 3 是三个方案的直接对比：全 A 158 元、全 B 130 元、混合达档 164 元；虚线是"混合但不冲档"的 138 元。注意全 A 与全 B 只差 28 元——A 区单价低 2 元、但跑得快 2 min，一进一出几乎打平；而混合达档比两者都高 6 与 34 元。单价、耗时的差异会互相抵消，唯有阶跃奖励不会。

图 4　按时钟推进的累计收入阶梯

4.4　累计视角　图 4 把三种方案摊在时钟上。全 A 在 176 min 收工，第 88 min 那一步就是 30 元的垂直跳升；全 B 一路匀速爬，169 min 收在 130 元；混合达档前 88 min 与全 A 完全重合（含那次跳升），之后切到 B 区，用更陡的斜率冲到 179 min。两条曲线的斜率差就是单价差，那次垂直跳升就是奖励——混合方案把两段的优点各取了一半。

图 5　奖励额度灵敏度：最优收入与达档决策

4.5　主灵敏度：奖励额度　图 5 让 \(R\) 从 0 元扫到 40 元。\(R\) 小于 4 元时曲线是水平的 138 元（最优解退回"全 B 加零头"，\(z=0\)）；越过 4 元后曲线以斜率 1 上升，\(z\) 的阶梯也从 0 翻到 1。这个临界值 4 元低得反直觉：够档本来要放弃 8 单、每单 2 元共 16 元的价差，但 A 区每单快 2 min，省下的 16 min 又能多跑一单多 B，把代价抵到只剩 4 元。所以"奖励够不够"从来不是跟单价差比，而是跟净机会成本比。

图 6　冲单门槛 × 奖励额度的最优收入热图

4.6　二维：门槛与额度　图 6 是 4 行 5 列的最优收入热图，横向是奖励额度、纵向是门槛。整张图有三条台阶：\(m\le 8\) 的三行完全重合（\(R=30\) 时都是 164 元），\(m=10\sim14\) 整齐地低 2 元，\(m=16\) 再低 4 元到 158 元。\(R=0\) 那一列全部是 138 元——没有奖励时，门槛形同虚设，纵轴整列被拉平。额度方向每加 10 元涨 10 元，门槛方向每加 2 单掉 2—4 元：额度是主导变量，门槛只在跨过时间表能容纳的整数台阶时才起作用。本案的星标（8 单 / 30 元）落在第二条台阶上沿。

图 7　班次时长灵敏度：最优收入与 A 区单量

4.7　第三维：班次时长　图 7 把 \(T\) 从 120 min 拉到 240 min。\(T=120\) min 时最优收入 114 元、一共 10 单；\(T=240\) min 时 210 元、20 单。右轴的单量阶梯几乎是一条直线（每 20 min 多 1—2 单），左轴的收入也近似线性（约 0.8 元/min）。真正有意思的是右轴背后的构成：A 区单量在 8 与 11 之间来回摆——多出来的 20 min 既可以添一单 A 也可以添一单 B，谁刚好把时间填满谁就赢。所以"班次变长"并不会让策略单调地向某一区倾斜，只是在整数凑整的边界上反复切换。

图 8　130 组组合的帕累托前沿与不可行域

4.8　帕累托前沿　图 8 把 130 组可行组合画在"耗时—收入"平面上，灰区是超过 180 min 的部分。前沿只有 58 个点，从原点到 164 元一路抬升；全 B（方块）落在前沿下方——它在 169 min 上只拿到 130 元，属于被支配点；全 A（三角）贴着前沿但没到头；最优解（五角星）落在前沿末端 179 min 处。前沿的斜率就是"这一分钟的边际收入"：末段每多投 1 min 只值 7 元出头，正是 A 区单位时间收益偏低的那一段。

图 9　300 个扰动情景下四种方案的累计分布

4.9　扰动下的稳健性　图 9 给两区单价各加正负 12%、奖励加正负 10% 的扰动，跑 300 个情景画累计分布。四条曲线的 5% 分位：混合达档 153 元、全 A 144 元、全 B 115 元、不冲档 123 元。达档方案在最差的 5% 情景里仍然领先，说明结论不是靠奖励刚好发得高——只要奖励落在 27—33 元区间，排序就不会翻。

图 10　四种方案的收入结构分解

4.10　结构分解　图 10 把四个方案拆成"A 区收入 + B 区收入 + 冲单奖"。全 A 的柱子全是蓝的，冲单奖那一小块只占 19%；全 B 全是红的，没有黄块；混合不冲档是 1 单 A 加 13 单 B 的拼接，一根黄块都没有；混合达档的蓝块与黄块同时出现，总收入最高。冲单奖在总收入里只占 30 除以 164 不到 19%，却决定了整张图的形状——这就是阶跃项的地位：金额不大，杠杆极大。

5　结论

  1. 最优方案是"8 单 A 换奖励、7 单 B 赚单价"，总收入 164 元，比全 B 高 34 元（26.2%）、比全 A 高 6 元（3.8%）、比同样混合但不冲档的方案高 26 元。冲量区与高单价区不是竞争关系，是先后关系。

  2. 够档的临界奖励额度只有 4 元。名义上够档要放弃 8 单、每单 2.0 元共 16 元的价差，但 A 区单均快 2 min，省下的时间又能多跑一单多 B，净机会成本被压到 4 元。算冲奖值不值，要算净成本，不能只拿奖励跟单价差比。

  3. 临界门槛为 15 单，公式是 \(m^{*}=\lfloor R/(p_{B}-p_{A})\rfloor\)。本案门槛 8 单只到临界值 15 单的 53%，够档的净代价只有 4 元，所以"够档"是无风险动作；即便门槛抬到 16 单（整班全给 A），热图上的收入仍有 158 元，只是那时候已经没有余量分给 B 了。

  4. 单价差与耗时差会互相抵消：全 A 158 元与全 B 130 元只差 28 元，而单位时间收益 A 是 43.64 元/h、B 是 46.15 元/h，差距明显却抵不过 A 区跑得多。单价高的区未必赚得多，得看一小时能落几单。

  5. 门槛是次要变量、额度是主导变量：二维热图上额度每加 10 元抬 10 元、门槛每抬 2 单只掉 2 元，等值线几乎水平。谈判时该争的是奖励额度，不是门槛高低；门槛只要能排进班次，多一两单无所谓。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

posted @ 2026-11-11 18:02  小青蛙电气  阅读(2)  评论(0)    收藏  举报