案例 048 急件插进来：在途订单被急件插入的滚动重排

案例 048　急件插进来：在途订单被急件插入的滚动重排

摘要：外卖小哥手上正跑着 6 单，原路线 88 min、23.2 km，6 单全部按承诺时刻留有余量；闪送此时弹来一张 18 元、15 min 必达的急件。本文把"插不插、插在哪"写成 7 个插入位置 + 1 个接单指示的 0-1 规划，并另建一个 7 单全重排的时序模型作对照。结果：7 个位置里只有"第一站之前"一个能赶上 15 min 死线，代价是总时长增加 6.1 min、6 张在途单全部超时；而最便宜的位置（第 2 位，只多 0.7 min、零超时）急件要到 22.9 min 才送达，超死线 7.9 min。四方案实测：原序尾插 48.94 元、强行插队 50.83 元、全局重排 77.64 元、拒接 57.50 元——硬插比拒接还少赚 6.7 元，重排却多赚 20.1 元。临界溢价：硬插需 24.7 元，重排为 -2.1 元（重排省下的 9.4 min 已把急件成本全部抵掉）。

关键词：滚动重排；插入位置；时间窗；0-1 规划；临界溢价；超时传导

1　问题提出

1.1　问题是什么

午高峰的尾巴，小哥车停在体育西路口，车上挂着 6 张已接单。按原计划跑完要 88 min、23.2 km，均速 19.9 km/h；每单到达时刻都在承诺时限之前，余量 2—5 min。第 7 张单在选择的那一刻弹进来：取餐在天河村、送杨箕，18 元，15 min 内必达。

表 1　在途 6 单与急件：承诺时刻一律按「预算到达 + 余量」给出（时刻单位 min，自决策点起算）

订单	类型	取餐→送达	收入 元	服务 min	计划到达	承诺时限	余量	尾插	插队	重排
01	在途	石牌村→珠江新城	12.0	3	16.5	19.5	3	是	否	否
02	在途	岗顶→天河北	9.5	3	26.2	28.2	2	是	否	是
03	在途	天河南→体育中心	8.0	3	35.5	39.5	4	是	否	是
04	在途	珠江新城西→员村	10.5	3	61.3	64.3	3	是	否	是
05	在途	五羊新城→客村	6.5	3	74.9	79.9	5	是	否	是
06	在途	赤岗北→赤岗	11.0	3	88.0	92.0	4	是	否	是
07	急件	天河村→杨箕	18.0	2	—	15.0	—	否	是	是

表 1 的三列"尾插 / 插队 / 重排"是同一张单在三种跑法下能否按时：尾插把急件排在最后，急件 126.4 min 才到；插队把它塞在第一站之前，急件 9.8 min 到、6 张在途单全崩；重排把 7 单一起重排，急件 9.8 min 到、只有 1 单超时。

1.2　为什么要优化

第一，位置不是随便挑的。插入位置 \(k\) 有两个互相打架的后果：越靠前，急件越可能赶上死线；越靠后，已接单被推移得越少。本例最省时的位置（\(k=1\)）只多 0.7 min、一张都不超时，可急件要到 22.9 min 才送到，死线早就过了。

第二，超时是成串传导的。插在第一站之前，后面 6 单的到达时刻被整体推移 6.1 min，而它们的余量只有 2—5 min，于是一张不剩地全部超时。超时不是"这一单的事"，是"整条链的事"。

第三，拒接也是一种方案，而且不差。接急件要付 18 元的对价，却要赔 6 单超时；本例硬插之后净收益 50.83 元，比什么都不做（57.50 元）还低 6.7 元。"多接一单一定多赚"是错觉。

1.3　Gurobi 如何求解

两套模型：插入式是 7 个位置变量 \(z_{k}\) 加 1 个接单变量 \(u\)，规模 8 个二进制；重排式是 7 节点带时间窗的开路排序，用弧变量 \(x_{ij}\) 加到达时刻 \(\tau_{i}\) 的时序约束，规模 56 个二进制。两者都在 0.1 s 内证到最优（MIPGap \(10^{-9}\)）。真正花时间的是预计算：每个插入位置对后续 6 单到达时刻的推移量，以及 5040 种全排列的枚举对照。

2　数学模型

2.1　符号说明

\(i=1,\dots,6\) 为在途单，\(i=7\) 为急件；\(w_{i}\) 为收入，\(s_{i}\) 为服务时长，\(\bar t_{i}\) 为承诺送达时刻，\(T_{0}=88\) 为原路线总时长；\(k=0,\dots,6\) 为插入位置（\(k\) 表示插在第 \(k+1\) 单之前，\(k=6\) 为队尾）。预计算量：\(\Delta_{k}\) 为在位置 \(k\) 插入后总时长的增量，\(a_{k}\) 为急件在该位置的送达时刻，\(n_{k}\) 为因此新增的超时单数。决策变量 \(z_{k}\in\{0,1\}\) 选位置，\(u\in\{0,1\}\) 是否接单。

2.2　目标函数

\[\max\ Z=p\,u-\sum_{k=0}^{6}\big(c_{d}\Delta_{k}+c_{t}n_{k}\big)z_{k}\tag{1} \]

\(p\) 为急件单价，\(c_{d}=0.6\) 元/min 是时长成本，\(c_{t}=3.5\) 元/单是每张超时单的赔付加口碑折价。式 (1) 只对新插入的动作计价，6 单的基础收益是常数，可以不进目标。

2.3　约束条件

位置与接单一一对应，不接就一个位置也不选：

\[\sum_{k=0}^{6}z_{k}=u\tag{2} \]

总时长不能超过 110 min，急件必须赶上死线：

\[T_{0}+\sum_{k=0}^{6}\Delta_{k}z_{k}\le 110,\qquad \sum_{k=0}^{6}a_{k}z_{k}\le 15\tag{3} \]

重排模型把顺序也放开，用弧变量与到达时刻刻画：每点一进一出，且

\[\tau_{j}\ge \tau_{i}+s_{i}+t_{ij}-M(1-x_{ij}),\qquad \tau_{7}\le 15,\qquad \tau_{E}\le 110\tag{4} \]

超时用指示变量 \(\ell_{i}\) 计数，\(\tau_{i}-\bar t_{i}\le M\ell_{i}\)，重排目标为 \(\min\ c_{d}\tau_{E}+c_{t}\sum_{i}\ell_{i}\)。原序尾插方案不必建模，直接把急件接到队尾即可；违约赔付按急件超时超过 20 min 时赔 60% 单价计。

\[z_{k},\,u,\,x_{ij},\,\ell_{i}\in\{0,1\}\tag{5} \]

2.4　规模与性质

插入模型 8 个二进制、3 条耦合约束，本质是"在 7 个候选里挑 1 个"，背包式结构，分支定界一步收敛。重排模型 7 个节点、57 个弧变量、7 个时间变量，是带时间窗的开路 TSP，规模小但时间约束密。两个模型的难度都不在求解，而在预计算 \(\Delta_{k}\) 与 \(n_{k}\)——题源说得很准：工作量全在"插入位置对后续到达时刻的推移量"。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

插入位置只有 7 个，先把每个位置的后果算成常数，模型里就只剩线性项：

for k in range(N + 1):
    seq = list(range(k)) + [6] + list(range(k, N))
    arr, T = route_eval(seq)
    DT[k] = T - T0
    NL[k] = sum(1 for i in range(N) if arr[i] > DDL[i])
    AU[k] = arr[6]
m.setObjective(p * u - gp.quicksum((CD * DT[k] + CP * NL[k]) * z[k] for k in range(N + 1)),
               GRB.MAXIMIZE)
m.addConstr(gp.quicksum(z[k] for k in range(N + 1)) == u)
m.addConstr(gp.quicksum(AU[k] * z[k] for k in range(N + 1)) <= theta)   # 死线

一个实现细节：不可行的位置要显式置零（z[k] == 0），而不是靠大 \(M\) 把它挤掉。本例 7 个位置里 6 个违反死线，若不置零，约束 \(a_{k}\le 15\) 会把模型逼成不可行，而不是给出"不接"的答案——接不接是决策变量 \(u\) 的事，位置可行性是数据的事，两者必须分开写。

3.2　求解结果

表 2　四种方案的时长、超时与净收益（金额单位：元）

方案	超时单数	总时长 min	时长成本	超时赔付	违约赔付	净收益
A 原序尾插	1	126.4	23.1	3.5	10.8	48.94
B 强行插队	6	94.1	3.7	21.0	0.0	50.83
C 全局重排	1	78.6	-5.6	3.5	0.0	77.64
D 拒接急件	0	88.0	0.0	0.0	0.0	57.50

四方案的排序是 C（77.64）> D（57.50）> B（50.83）> A（48.94）。最反直觉的一条：B 强行插队比 D 拒接还差 6.7 元，因为 6 单超时要赔 21.0 元，而急件只带来 18 元。

4　结果分析

图 1　重排方案的实际时序（急件卡死线、06 反而提前收工）

4.1　重排后的时序　图 1 是重排方案的实际时刻表：急件卡在 9.8 min 送达（死线 15 min），之后 02、03、01、04、05 依次落地，只有 01 一单越过了自己的承诺线（红色），06 收在 78.6 min，比原计划还早 9.4 min。重排不是把急件"塞进去"，而是把整条链重新捋直——捋直之后多出来的 9.4 min 正好给急件让路。

图 2　七张单的收入—占用时长散点（气泡为承诺余量）

4.2　单量结构　图 2 横轴是单均占用时长、纵轴是收入、气泡是承诺余量。急件（橙）收入 18 元最高、占用只有 9 min，看着是最划算的一张；但它的气泡最小——余量为零，一秒钟都拖不起。6 张在途单收入 6.5—12.0 元、占用 9—26 min，余量 2—5 min，全是"薄利且紧"的单：它们的价值不在单笔高低，而在已经排好的顺序里。

图 3　四种跑法的净收益与超时单数

4.3　四方案对比　图 3 把四种跑法摆在一起。A 尾插 48.94 元最差：急件 126.4 min 才送到、迟到 111.4 min，触发触发 60% 违约赔付（18 元）；B 硬插 50.83 元，急件赶上了，6 张在途单全超时；D 拒接 57.50 元，什么都不赔；C 重排 77.64 元，急件按时、只赔 1 单。A < B < D < C 这个次序说明：接不接不是关键，怎么接才是。

图 4　按送达时刻累计的毛收入

4.4　累计视角　图 4 按送达时刻累计毛收入。A 尾插在前 88 min 里和老路线完全重合，最后才靠急件把收入抬到 75.5 元附近，但那时已经违约；B 硬插在开头就拿到急件，曲线起步快，可 6 单全压在承诺线之后；C 重排的曲线最陡——同样的 7 张单，它在 78.6 min 内全部跑完，比 A 早 48 min 收工。收入曲线陡不陡，取决于单位时间里能落下几单，而不是单笔多大。

图 5　急件单价灵敏度：净收益与接单决策

4.5　主灵敏度：急件溢价　图 5 让单价从 8 元扫到 28 元。两条策略线斜率都是 +1（每多一元全进兜里），但它们与"拒接"水平线 57.50 元的交点完全不同：硬插的交点在 24.7 元，重排的交点在 -2.1 元。18 元的急件，硬插只值 50.83 元（低于拒接），重排却值 77.64 元。右轴的接单决策阶梯也印证：硬插要等到 24.7 元以上才该接，重排则全程为 1。

图 6　急件单价 × 超时赔付的净收益热图

4.6　二维：单价与超时赔付　图 6 是 4 行 5 列的净收益热图。单价沿横向每抬 1 元，净收益就抬 1 元，整行整行地平移；超时赔付沿纵向每加 1 元，净收益只掉 1 元——因为重排后只剩 1 单超时。全图从 66.1 元到 89.1 元，落差全部由这两个参数线性叠加而成。赔付系数在这里只是"平移项"，不是"开关项"：重排已经把超时压到 1 单，再怎么调赔付也翻不了盘。

图 7　承诺余量松紧灵敏度：净收益与超时单数

4.7　第三维：承诺余量松紧　图 7 把 6 单的承诺余量整体乘以 0.7 到 1.3 的系数。余量压到 0.7 倍时，重排后仍有 4 单超时，净收益跌到 67.1 元；余量放宽到 1.3 倍时降到 1 单，净收益回到 77.6 元，并在这里走平——再宽也不涨了，因为剩下的瓶颈是总时长 110 min，不是承诺线。余量系数在 0.9 以上就进入平台区，说明本案的 2—5 min 余量已经偏紧，正是它把 6 单一起推下了水。

图 8　5040 种排列的总时长—净收益分布与帕累托前沿

4.8　帕累托前沿与不可行域　图 8 把 5040 种排列全画出来，横轴总时长、纵轴净收益，灰区是超过 110 min 的部分。5040 种排法里，急件能按时且总时长不超限的只有 13 种，占 0.26%；这 13 种全部落在图左上角那条窄带里，前沿只有 1 个点——就是重排解（77.64 元、78.6 min）。A 尾插（倒三角）掉进灰区深处，B 硬插（方块）在可行域内但远离前沿。可行域窄到这个程度，说明"随便插一个位置"根本不是选项，只有求解器能给答案。

图 9　全部排列的净收益分布与四方案位置

4.9　净收益分布　图 9 是 5040 种排列的净收益直方图，深色是那 13 种可行排法。全部排列的中位数 53.2 元，可行排法的上限 77.6 元。四条竖线里，C 站在最右端（可行域的最大值），D 在中间，B 和 A 落在左侧主体里——四方案的差距不是"运气差一点"，而是跨了一个分布的主体。

图 10　四种跑法的净收益结构分解

4.10　净收益分解　图 10 把四个方案拆成"在途收入 + 急件收入 − 时长成本 − 超时赔付 − 违约赔付"。A 的违约赔付 18 元砍掉一整块；B 的急件收入 18 元被 21.0 元的超时赔付吃掉还有余；C 的时长成本是负的（省了 5.6 元），所以柱子比 6 单毛收入还高；D 什么都不加不减，就是 57.50 元。看这张图就知道：急件的账要三笔一起算——收入、时长、赔付，缺一笔都会得出相反的结论。

5　结论

1. 7 个插入位置里只有 1 个能满足 15 min 死线，代价是总时长 +6.1 min、6 张在途单全部超时。死线越紧，位置自由度越小；本例的自由度是 1。

2. 最便宜的位置（第 2 位，只多 0.7 min、零超时）恰恰不可行：急件要到 22.9 min 才送到。"代价最小"和"赶得上"是两件事，必须先做可行性筛选再谈优化。

3. 四种跑法排序 C > D > B > A：重排 77.64 元 > 拒接 57.50 元 > 硬插 50.83 元 > 尾插 48.94 元。硬插比拒接还少赚 6.7 元，因为 6 单超时赔付 21.0 元超过了急件的 18 元。

4. 临界溢价可以精确算：硬插要 \(p\ge 24.7\) 元才保本，重排要 \(p\ge -2.1\) 元——后者是负数，意思是重排省下的 9.4 min（折 5.6 元）已经把急件的全部代价抵掉。先重排，再谈溢价；顺序反了，结论就反了。

5. 5040 种排法里只有 13 种可行（0.26%），可行域在"总时长—净收益"平面上是一条窄带，前沿只有 1 个点。这不是靠经验能试出来的问题，8 个变量的 0-1 规划 0.1 s 就能给出确定答案。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

复现方式：python batch_048.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/