案例 047　两个平台同时派单：双开冲突与切换成本

案例 047　两个平台同时派单：双开冲突与切换成本

摘要：午高峰 11:30—11:36，美团推 3 单、饿了么推 2 单，5 张单的取送方向交叉、取餐时刻相互咬合，其中 5 对存在方向相反或同时取餐的硬冲突。骑手最多接 3 单、总耗时不超过 75 min，双开要额外付出 4.0 元固定成本。本文把"接哪几家、接哪几张"写成带配对惩罚的 0-1 规划：目标为毛收入减去双开固定成本、冲突罚金与空驶成本，冲突用配对变量 \(y_{ij}\) 线性化。四种策略实测：只接美团净收益 16.62 元、只接饿了么 14.60 元、按利润密度贪心 13.86 元（毛收入最高却最差）、联合优化 21.68 元。联合方案比单平台高 5.06 元（30.4%），比贪心高 7.82 元；而双开成本一旦超过 9.1 元，最优解立刻退回单平台。双开不是多接一单，而是先买一张 4.0 元的门票，再为每次冲突付一次绕行的钱；门票涨到 9.1 元，这门生意就不做了。

关键词：多平台派单；二分匹配；冲突惩罚；双开成本；0-1 规划；切换成本

1　问题提出

1.1　问题是什么

午高峰两部手机同时响。美团（A 组）推 3 单，饿了么（B 组）推 2 单，五张单全部落在 11:30—11:36 这 6 分钟里，取餐点在石牌村、岗顶、体育西、珠江新城、天河南之间打转，取送方向角散布在 6 度到 276 度之间。骑手只有一个人：最多接 3 单，来回总耗时压在 75 min 以内。

表 1　同一午高峰两个平台推送的 5 张单（时间窗 11:30—11:36）

订单 平台 取餐→送达 方向角 ° 取餐 收入 元 耗时 min 空驶 km 冲突数 密度 元/min
01 美团 石牌村→珠江新城 270 11:30 12.0 21 0.9 2 0.57
02 美团 岗顶→天河北 63 11:33 9.0 17 1.1 3 0.53
03 美团 体育西→客村 276 11:35 7.5 19 1.5 2 0.39
04 饿了么 珠江新城→员村 6 11:36 10.5 23 1.2 1 0.46
05 饿了么 天河南→岗顶 90 11:34 6.5 15 0.8 2 0.43

表 1 的"冲突数"是这样数出来的：方向角相差 130 度以上算方向相反，接了就要掉头；取餐时刻相差 3 min 以内、取餐点却相距 2 km 以上算同时取餐，接了必然迟到。两者合计 5 对。

1.2　为什么要优化

第一，毛收入最高的方案往往最差。五张单的密度集中在 0.395—0.571 元/min 之间，按密度贪心会一次抓满 3 单、毛收入 31.5 元；但这三张单互相之间有两处冲突，扣完门票、罚金与绕行只剩 13.86 元。

第二，双开有固定成本。两部手机、两份保证金、两套超时规则，一天的摊销摊到午高峰就是 4.0 元。这笔钱与接几单无关，只与"是否同时开两家"有关，所以它是一张入场券，不是按单计费。

第三，单平台不是保守，而是放弃。只接美团 01、03 净收益 16.62 元，只接饿了么 04、05 净收益 14.60 元；一家 16 元、一家 15 元，说明任何一家都喂不饱这 75 分钟。

1.3　Gurobi 如何求解

五张单、5 个配对变量、一个双开指示变量，规模只有 11 个二进制。Gurobi 的分支定界在 0.05 s 内收敛，MIPGap 设为 \(10^{-9}\)。真正的价值不在求解，而在参数扫描：双开成本扫 7 点、时间预算扫 7 点、成本与罚金 4 行 5 列共 20 点，全部求解墙钟 2 s。

2　数学模型

2.1　符号说明

\(i,j=1,\dots,N\) 为订单，\(p(i)\) 为订单所属平台（美团记 A、饿了么记 B），\(w_{i}\) 为收入，\(t_{i}\) 为耗时，\(d_{i}\) 为从当前位置到取餐点的空驶里程，\(\kappa\) 为每公里空驶成本，\(F\) 为双开固定成本，\(\lambda\) 为每次冲突的罚金，\(e\) 为每对冲突订单的额外绕行里程，\(c_{ij}\in\{0,1\}\) 为冲突标记。决策变量：\(x_{i}\in\{0,1\}\) 表示接单，\(y_{ij}\in\{0,1\}\) 表示第 \(i,j\) 单的冲突同时被触发，\(u\in\{0,1\}\) 表示双开。

2.2　目标函数

净收益把毛收入、入场券、冲突罚金与绕行一起算清：

\[\max\ Z=\sum_{i=1}^{N}\big(w_{i}-\kappa d_{i}\big)x_{i}-F\,u-\sum_{(i,j)\in\mathcal{C}}\big(\lambda+\kappa e\big)y_{ij}\tag{1} \]

其中 \(\mathcal{C}\) 为冲突对集合。式 (1) 的第二项与单量无关，这是双开与"多接一单"最本质的区别：它是一次性投入，所以必须由增量收益来摊销。

2.3　约束条件

冲突是"两单都接才付"的逻辑与，用三条不等式定死：

\[y_{ij}\ge x_{i}+x_{j}-1,\qquad y_{ij}\le x_{i},\qquad y_{ij}\le x_{j},\qquad \forall (i,j)\in\mathcal{C}\tag{2} \]

双开指示同理，只要 A 组与 B 组各有一单被接，\(u\) 就被顶到 1：

\[u\ge x_{i}+x_{j}-1,\qquad \forall i\in A,\ j\in B\tag{3} \]

体力与时间是硬约束：

\[\sum_{i=1}^{N}x_{i}\le 3,\qquad \sum_{i=1}^{N}t_{i}x_{i}\le 75\tag{4} \]

\[x_{i},\,y_{ij},\,u\in\{0,1\}\tag{5} \]

单平台策略不必另建模型，只需加上"另一平台全不接"：

\[x_{i}=0,\qquad \forall i:\ p(i)\ne \hat{p}\tag{6} \]

2.4　规模与性质

\(N=5\)、\(|\mathcal{C}|=5\)，整数变量 11 个。若把配对项整块删掉，模型退化为一个按密度排序取前缀的背包——这正是贪心策略的适用边界；一旦加入 \(F\) 与冲突项，密度序就不再单调，贪心会在第一处交叉上翻车。式 (1) 的系数矩阵每列最多出现在 3 条约束里，全幺模性被式 (2) 破坏，所以必须走分支定界。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

冲突对只有 5 个，直接枚举比写指示约束更省事：

for k, (i, j) in enumerate(PAIRS):
    m.addConstr(y[k] >= x[i] + x[j] - 1)
    m.addConstr(y[k] <= x[i]); m.addConstr(y[k] <= x[j])
for i, j in XPAIR:                       # A 组 x B 组的笛卡尔积
    m.addConstr(u >= x[i] + x[j] - 1)
m.setObjective(gp.quicksum((wv[i] - KAP*D0[i])*x[i] for i in range(N))
               - fsw*u - gp.quicksum((lam + KAP*EIJ)*y[k] for k in range(len(PAIRS))),
               GRB.MAXIMIZE)

一个实现细节：\(u\) 必须设成二进制而不是连续变量。若放松到 \([0,1]\)，在 \(F>0\) 且交叉项约束并存时，\(u\) 仍会被顶到 1，本例结果不变；但当 \(F<0\)（补贴）时松弛解会退化为 \(u=0\) 的伪解，模型的语义就丢了。

3.2　求解结果

表 2　四种策略的毛收入、冲突、空驶与净收益（单位：元 / km / 次）

策略 单量 毛收入 冲突次数 空驶 km 净收益
只接美团（单平台） 2 19.5 0 2.4 16.62
只接饿了么（单平台） 2 17.0 0 2.0 14.60
利润贪心（不看冲突） 3 31.5 2 7.2 13.86
联合优化（本文模型） 3 30.0 0 3.6 21.68

贪心的毛收入 31.5 元是全场最高，净收益 13.86 元却是全场最低——差额 17.6 元全部喂给了 2 次冲突与 7.2 km 空驶。联合优化的毛收入只有 30.0 元，比贪心少 1.5 元，净收益反而多 7.82 元。

4　结果分析

图 1　双平台派单的空间结构与冲突对

4.1　冲突长在地图上　图 1 把五条取送方向画在同一张平面图上，红色虚线是冲突对。01 号与 02 号方向角 270 度对 63 度，一南一北，取餐点却只隔 0.9 km——这是"方向相反"最典型的形态：车头先朝南，再想掉头去北边，单程就多烧 2 km。02 与 04 则是"同时取餐"：11:33 在岗顶、11:36 在珠江新城，直线 2.9 km，三分钟内跑不完。冲突不是抽象的配对，是地图上两条箭头打了个叉。

图 2　收益—耗时散点（气泡为空驶里程）

4.2　密度一样，价值不同　图 2 横轴耗时、纵轴收入、气泡是空驶里程。五张单贴着平均密度线 0.477 元/min 附近散开，谁也没比谁高多少；但气泡大小差一倍以上——04 号空驶 1.2 km、01 号只有 0.9 km，02 号只有 1.1 km，却背着两处冲突，绕行比谁都贵。密度只算"车上"的账，空驶与冲突算"车外"的账，只盯密度一定会选错。

图 3　四种策略的毛收入与净收益

4.3　四种策略　图 3 把毛收入与净收益并排。只接美团 16.62 元、只接饿了么 14.60 元，两家只差 2 元；贪心毛收入 31.5 元最高、净收益 13.86 元垫底；联合优化毛收入 30.0 元、净收益 21.68 元。注意两组数：贪心的毛收入比联合高 1.5 元，净收益却低 7.82 元——多接的那点流水，被 17.6 元的双开与冲突开销吃了个干净。这就是"贪心税"。

图 4　按推送时刻展开的累计净收益

4.4　累计视角　图 4 按推送时刻把决策摊开。贪心在 11:30 的第一张单上就先背了 4.0 元门票加两处冲突的账，起点是 -2.9 元，之后每一单都在还债，收在 13.86 元；联合优化在 11:35、11:36 连续两级台阶，从 6.9 元抬到 21.7 元。同一个午高峰，贪心把第一批单的力气全用在填坑上，联合优化把它用在爬坡上。

图 5　双开固定成本的断崖：净收益与单量

4.5　主灵敏度：双开成本　图 5 让 \(F\) 从 0 扫到 12 元。\(F=0\) 时净收益 25.68 元、接 3 单；随 \(F\) 上升，净收益沿斜率 \(-1\) 下滑（每一元入场券都从利润里直接扣走），到 9.1 元处出现断崖：最优解从"美团 2 单 + 饿了么 1 单"跳回"只接美团 2 单"，单数从 3 掉到 2，净收益落到 16.62 元。断崖位置就是双开的盈亏平衡点——本例只有 9.1 元，连一小时的手机折旧都盖不住。

图 6　双开成本 × 冲突罚金的净收益热图

4.6　二维：成本与罚金　图 6 是 4 行 5 列的净收益热图。\(F=0\) 与 \(F=4\) 两行是一条横带：无论 \(\lambda\) 从 0 加到 5 元，净收益都锁在 25.7 与 21.7 元——因为这两档双开划算，而最优解本身零冲突，罚金无处可罚。真正的分岔在 \(F\ge8\)：\(\lambda=0\) 时骑手会退回单平台并硬吃两处冲突，拿 19.5 元；\(\lambda\ge1.5\) 后冲突有了价，解立刻变干净：\(F=8\) 时退回双开 17.7 元，\(F=12\) 时退回零冲突的两单 16.6 元。两个参数是分层起作用的：\(F\) 决定要不要双开，\(\lambda\) 只在双开不划算时才决定"接多脏的单"。

图 7　时间预算灵敏度：净收益、单量与冲突

4.7　第三维：时间预算　图 7 把 \(T\) 从 40 min 扫到 75 min。\(T\le60\) 时只装得下"01+03"两张单（40 min），净收益卡在 16.62 元；到 65 min 档才容得下 3 单的 "01+03+04"（63 min），曲线一步跳到 21.68 元后走平。冲突次数在整段扫描中一直是 0——联合优化在任何时间预算下都不接冲突单，因为一次冲突的代价（2.5 元罚金加 2.0 km 绕行共 4.9 元）已经超过任何一对订单的增量收益。时间预算买到的是"更多单"，不是"更脏的单"。

图 8　空驶—净收益的帕累托前沿与不可行子集

4.8　帕累托前沿　图 8 把 32 个子集全部画出来，横轴空驶、纵轴净收益。可行子集 26 个、不可行 6 个（灰叉，全是 4 单以上的组合，多数同时越过 75 min）。前沿只有 7 个点，从"零空驶零收入"一路抬到 21.68 元。联合优化解（红星）落在前沿上，空驶 3.6 km；贪心解（图中偏右下）用 7.2 km 空驶换回 13.86 元，被前沿严格支配。前沿的斜率就是"每公里空驶值多少钱"，本例从原点到最优解这一段约 6.0 元/km，远高于 1.2 元的空驶成本——所以只要时间够，就该把单接满。

图 9　三百个扰动情景下的净收益累计分布

4.9　扰动下的分布　图 9 给每单的收入乘 ±12%、耗时乘 ±8% 的随机扰动，跑 300 个情景，三条曲线是三个固定决策的收益分布。联合优化的 5% 分位 18.3 元，高于贪心的 10.4 元与单平台的 14.1 元；中位数 21.6 元对 16.7 元。三条曲线几乎平行——决策的差距是平移，不是形状，说明结论对参数扰动稳健，不需要靠运气。

图 10　四种策略的净收益结构分解

4.10　结构分解　图 10 把四种策略的净收益拆成毛收入与四项扣减。只接美团几乎没有扣减（冲突 0 次、空驶 2.4 km），净收益只比毛收入少 2.9 元；贪心的四段扣减加起来 17.6 元，其中冲突罚金与绕行合计 9.8 元、门票 4.0 元、基础空驶 3.8 元；联合优化付了 4.0 元门票、0 元罚金、4.3 元空驶。双开的账要这样算：先付门票，再看罚金，最后看空驶——三笔都算完还有剩，才叫真的多赚。

5　结论

  1. 双开的价值是可以精确标价的：本例联合优化净收益 21.68 元，只接一家最好也只有 16.62 元，增量 5.06 元（30.4%）；但这个增量全部来自 04 号一张单，一旦它被取消，双开立刻变成负收益。

  2. 双开成本存在断崖点。\(F\) 从 0 涨到 12 元，净收益沿 \(-1\) 斜率下滑，在 9.1 元处跳回单平台解，接单数从 3 掉到 2。把 9.1 元当作"双开值不值"的判定线，比凭感觉决定双开要可靠得多。

  3. 按利润密度贪心是最差的策略。它拿到最高的毛收入 31.5 元，却因为 2 次冲突与 7.2 km 空驶，净收益只剩 13.86 元，比联合优化低 7.82 元。密度的分母里没有冲突，所以密度越高越容易撞上冲突。

  4. 冲突罚金与双开成本作用分层。二维热图里 \(F\) 主导纵向分层、\(\lambda\) 只在 \(F\) 较高（8 元以上）时才影响横向取值；\(F\) 在利润区（0—4 元）时 \(\lambda\) 完全无效。调参时应当先定 \(F\)，再定 \(\lambda\)。

  5. 联合优化在所有时间预算下都不接冲突单（冲突次数恒为 0），帕累托前沿的最优点只由"空驶—净收益"的斜率决定。骑手的真实决策规则可以简化为两条：双开成本低于 9.1 元才双开；每公里空驶的边际收益低于 6.0 元就该把这一单接满。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

复现方式：python batch_047.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/

posted @ 2026-11-11 18:02  小青蛙电气  阅读(1)  评论(0)    收藏  举报