案例 040 平台给的是区间，不是时刻：中点硬窗、双边界软窗与机会约束的三种处理
案例 040 平台给的是区间，不是时刻：中点硬窗、双边界软窗与机会约束的三种处理
摘要：平台只承诺「17:30—17:42 之间送达」，不承诺确切时刻。本文对同一批 10 单建统一的开放式路径 MILP，只替换约束 \(t_i\) 的三套写法：甲取区间中点当硬窗（\(t_i=m_i\)，中点挤不下就甩单）；乙把两端都写成软边界（越界即罚 0.5/2.0 元每分钟）；丙承认到达抖动 \(\varepsilon\sim U(-\Delta,\Delta)\)、要求 \(P(a_i\le t_i+\varepsilon\le b_i)\ge\alpha\)，并证明均匀分布下它等价于窗口两端各内缩 \((2\alpha-1)\Delta\)。标称成本甲 127.84、乙 5.85、丙 15.12 元；8000 次蒙特卡洛后，期望实际代价甲 127.84、乙 9.74、丙 8.07 元，有效准时率 50.0%／79.0%／84.3%。结论：甲用甩 5 单换「精确命中」，实际最差；乙账面最便宜，但把落点贴在窗左沿，均值、尾部、准时率三项全输给丙；丙的代价随 \(\alpha\) 陡增而准时率在 84.6% 处封顶，说明 \(W_i<2(2\alpha-1)\Delta\) 时 95% 承诺不是钱能买到的。
关键词：外卖配送；区间承诺；软时间窗；机会约束；均匀分布；Gurobi
1 问题提出
1.1 问题是什么
17:20，小哥在体育西路路口，手上 10 单。App 上给的承诺不是"17:35 送达"，而是一段："17:30—17:42 之间送达"。用户只在这段里接受，早到没人接、晚到要赔。
数据见表 1。10 张窗在时间轴上首尾相叠（每隔 4 min 开一张），空间上散布在 3 km 见方的天河南—珠江新城一带。窗口宽度 8—14 min，中点是平台心里的"那一个时刻"，但这个时刻平台自己也说不准。
表 1 十单数据（时刻以 17:20 为零点，单位 min）
| 订单 | 送达点 | x / km | y / km | 区间 [a, b] | 宽度 W | 中点 m | 停靠 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| O1 | 天河城A座 | 0.55 | 0.35 | [10, 22] | 12 | 16 | 2.0 |
| O2 | 体育东小区 | 0.35 | 1.05 | [13, 25] | 12 | 19 | 1.5 |
| O3 | 富力中心15F | 1.75 | 1.55 | [16, 30] | 14 | 23 | 2.5 |
| O4 | 冼村路口 | 1.30 | 0.95 | [20, 32] | 12 | 26 | 1.5 |
| O5 | 猎德小区 | 2.10 | 1.20 | [24, 36] | 12 | 30 | 1.5 |
| O6 | 员村四横路 | 2.55 | 0.55 | [28, 40] | 12 | 34 | 1.5 |
| O7 | 石牌桥 | 0.95 | 1.75 | [32, 46] | 14 | 39 | 1.5 |
| O8 | 天河南二路 | 0.75 | 0.60 | [36, 48] | 12 | 42 | 1.5 |
| O9 | 岗顶 | 1.95 | 0.90 | [42, 50] | 8 | 46 | 2.0 |
| O10 | 华景新城 | 2.30 | 1.95 | [46, 60] | 14 | 53 | 1.5 |
核心问题：区间是模糊承诺，三种处理方式各说各话——把中点当硬时刻、把两端都当软边界、还是把区间内当成均匀分布去做机会约束？三者的成本与违约风险差多少？
图 1 十单的空间结构与 B、C 两条最优路线（气泡大小=窗口宽度，红=窄窗）
1.2 为什么要优化
- "中点"是个假时刻：平台给区间，恰恰因为它对到达时刻没有把握；把它压成一个点，等于假装方差为零。
- 早到不是免费的：早到要等（等待占用时间，也占用下一单的时间），客户还可能不在家，本题按 0.5 元/min 计罚，是迟到罚 2.0 元/min 的四分之一。
- 风险要能标价：乙方案标称 5.85 元、蒙特卡洛期望却 9.74 元，差 3.88 元全是抖动撞出来的违约罚——不标价就无法在"账面便宜"与"实际便宜"之间选。
- 区间宽度是资源：宽窗自带缓冲，窄窗必须靠排程让路。谁该让路，只有把宽度写进模型才知道。
图 2 各单的区间中点与宽度（气泡=距出发点距离）
1.3 Gurobi 如何求解
10 单、11 个节点、111 条弧，用带时间递推的开放式路径 MILP 一次求解，弧变量 \(y_{ij}\) 定序、到达时刻 \(t_i\) 连续。三种处理只换约束 \(t_i\) 的那几行，模型骨架完全一样，因此成本差可以干净地归因于"对区间的假设"。求解墙钟 12.4 s（含全部灵敏度扫描）。
2 数学模型
2.1 符号说明
节点 \(0\) 为 17:20 的位置，\(i=1..10\) 为订单，\(E\) 为虚拟终点。\(y_{ij}\) 弧是否走；\(u_i\) 是否配送；\(t_i\) 计划送达时刻（服务开始）；\([a_i,b_i]\) 平台区间；\(m_i=(a_i+b_i)/2\) 中点；\(W_i=b_i-a_i\) 窗宽；\(s_i\) 停靠耗时；\(\tau_{ij}\) 行驶时间；\(d_{ij}\) 弧长；\(\varepsilon_i\) 到达抖动；\(\Delta\) 抖动半宽；\(\alpha\) 达标率；\(\pi_e,\pi_l,\pi_d\) 早到、迟到、甩单的罚率；\(c_k\) 每公里成本。
2.2 目标函数
四项：行驶、早到越界、迟到越界、甩单。式 (1) 对三种处理都成立，差别只在 \(\delta^{e}_i,\delta^{l}_i\) 相对哪个区间取越界。
2.3 路径与时间递推
式 (2)(3)(4) 与案例 039 同构：入出度相等保证被甩的点不占时间轴，时间递推兼防子回路。
2.4 三种处理：只改"约束 \(t_i\) 的那几行"
甲 中点硬窗：把区间压成一个点。
\(\delta^{e}_i=\delta^{l}_i\equiv 0\)，但 \(u_i\) 放开——中点太挤时只能甩单，赔 \(\pi_d\)。这是"平台说 17:36，就必须 17:36"的口径。
乙 双边界软窗：两端都罚，窗只罚不封。
\(\delta^{e},\delta^{l}\ge 0\)，故早到与晚到都按分钟计罚，可行域永远非空。
丙 区间内均匀分布的机会约束：承认真实到达有抖动 \(\varepsilon_i\sim U(-\Delta,\Delta)\)，要求落在平台区间内的概率不低于 \(\alpha\)：
\(\varepsilon_i\) 均匀时，\([t_i-\Delta,t_i+\Delta]\) 与 \([a_i,b_i]\) 的重叠长度须达 \(2\Delta\alpha\)，即
式 (8) 是本题最有用的一行：机会约束在均匀分布下退化成"窗口两端各内缩 \((2\alpha-1)\Delta\)"，一个非线性概率约束变成了两条线性不等式，不必引入 0-1 变量或场景。当 \(W_i<2(2\alpha-1)\Delta\) 时式 (8) 为空——这就是"这么窄的窗根本给不出 \(\alpha\) 的承诺"的代数表达。丙在收缩窗上仍保留软罚（松弛量罚 8 元/min 量级），保证任何输入都有解。
2.5 规模与性质
10 个客户点、111 条弧，0-1 变量 121 个、约束 182 条、非零元 680 个，MIP gap 0.0e+00。三套模型规模一致，可比的不是规模而是假设。
3 Gurobi 求解实现
3.1 建模要点
s = DELTA * (2*alpha - 1) # 均匀分布下的内缩量
wa, wb = a + s, b - s # 式(8)：机会约束的确定等价
m.addConstr(t[k] >= t[i] + srv[i] + TT[i,j] - M*(1 - y[i,j])) # 时间递推
m.addConstr(e[k] >= wa[k] - t[k] - M*(1 - u[k])) # 早到越界
m.addConstr(l[k] >= t[k] - wb[k] - M*(1 - u[k])) # 迟到越界
m.setObjective(0.6*km + 0.5*e.sum() + 2.0*l.sum() + 25*(1-u).sum())
三个要点：其一，统一骨架——甲把 (5) 的两行换成等式，丙把 \([a,b]\) 换成 \([a+s,b-s]\)，其余一字不改，成本差才可归因；其二，早到必须显式建模——若只写 \(t_i\ge a_i\) 而不罚早到，求解器会把"早到 20 min 干等"当免费，这正是本题的经典坑；其三，抖动只进评价、不进模型——甲乙丙的计划都是确定性的，\(\varepsilon\) 用蒙特卡洛（8000 次抽样）后验，这样"标称成本"与"期望实际代价"两个口径才能分开报。
3.2 求解结果
表 2 三方案的代价拆解（元）与蒙特卡洛实测（8000 次）
| 方案 | 访问顺序 | 行驶 | 早到罚 | 迟到罚 | 甩单 | 标称合计 | 期望实际代价 | 有效准时率 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 甲 中点硬窗 | O1→O4→O6→O9→O10 | 2.84 | 0.00 | 0.00 | 125.00 | 127.84 | 127.84 | 50.0% |
| 乙 双边界软窗 | O1→O2→O4→O3→O5→O6→O8→O7→O9→O10 | 5.85 | 0.00 | 0.00 | 0.00 | 5.85 | 9.74 | 79.0% |
| 丙 机会约束 | O1→O2→O4→O3→O5→O6→O7→O8→O9→O10 | 5.93 | 3.62 | 5.57 | 0.00 | 15.12 | 8.07 | 84.3% |
丙标称最贵、实际最省：丙标称 15.12 元（行驶 5.93 + 早到 3.62 + 迟到 5.57），比乙的 5.85 元贵 9.27 元；但把 ±4 min 抖动加回去，乙的期望实际代价涨到 9.74 元（比标称多 3.88 元），丙反而降到 8.07 元，比乙低 1.67 元。乙的便宜全在账面上：它把落点贴在窗的左沿，赌"早到只罚 0.5 元/min、晚一点还留在窗里"，抖动一往左推就掉出窗，95 分位代价 15.46 元比丙的 12.35 元高 3.10 元。
甲中点硬窗更直接：为了精确命中 10 个中点甩掉 5 单、赔 125 元，有效准时率 50.0%——"精确"是用覆盖率买的。丙的 84.3% 也低于 α=0.95：10 单挤在 36 min 的窗序里，收缩窗本身排不满，模型只能在窗上破 9.19 元软罚，这 0.107 的缺口就是"区间太窄"的实锤（图 8 的阴影区）。
图 3 乙、丙两方案的代价分解（菱形=蒙特卡洛期望实际代价；甲 127.84 元见图内说明）
4 结果分析
4.1 结构与过程
图 1 的两条路线差别不大（里程只差 0.12 km），差别全在在每张窗前停多久。B 敢在 17:30 的第一张窗刚到就送到，因为早到只罚 0.5 元/min；C 必须等到 \(a_i+3.6\) 之后才敢落点，于是路线被拉直、等待被摊到路上。图 2 把矛盾摊开：10 张窗里最窄的 8 min，机会约束一开口就要吃掉 7.2 min（90% 的窗宽），窄窗单在丙里几乎没有腾挪余地。图 4 是时间轴上的正面交锋：灰条是平台区间，浅蓝是收缩后的机会窗，叉/圆/菱形分别是甲乙丙的落点。A 的叉只出现在 5 行——另外 5 行空白，那就是被甩掉的单；B 的圆几乎都贴在灰条左端（早到、吃轻罚）；C 的菱形全部落在浅蓝带内，位置普遍比 B 晚几分钟。
图 4 平台区间、收缩窗与三种处理的落点
4.2 灵敏度
图 5 扫抖动半宽 \(\Delta\)：从 1 涨到 3.5，丙的代价从 6.23 元涨到 13.19 元（内缩量 \(0.9\Delta\) 变宽、可行域收紧，涨速越来越快），乙的实测准时率从 89.9% 掉到 80.1%。\(\Delta=4.5\) 那一格丙直接无解（曲线断点）——8 min 的窄窗容不下 \(2\times0.9\times4.5=8.1\) min 的内缩，式 (8) 为空。区间宽度决定了你能承诺到几成：抖动一旦吃满窗宽，机会约束不是变贵，而是不成立。图 6 把 \(\alpha\) 与 \(\Delta\) 放在一张热图上：同一行（\(\Delta\) 固定）从左到右颜色变深，\(\Delta=2.5\) 时 \(\alpha\) 每加 0.05 约多花 1.00 元；同一列（\(\alpha\) 固定）往下颜色变深，\(\Delta=4.5\) 且 \(\alpha\ge0.95\) 两格是空白（不可行）。\(\alpha\) 是钱，\(\Delta\) 是命：拿钱换 \(\alpha\) 是线性的，\(\Delta\) 一旦越界，多少钱都换不回来。图 7 换一维：把窗宽整体缩放 \(k\in[0.6,1.4]\)。\(k=1.4\) 时丙只要 7.28 元，\(k=0.6\) 时涨到 23.99 元，差 16.71 元；而甲的甩单数在 5 单上纹丝不动——中点硬窗根本看不见窗宽，它只看见中点。这是它最大的隐患：平台把区间放宽一倍，丙的成本立降，甲一分不降，因为它压根没用上那部分信息。
图 5 抖动半宽对丙方案总代价（左轴）与乙方案实测准时率（右轴）的影响
图 6 达标率 α 与抖动半宽 Δ 的联合影响（空白=不可行，星=本案）
图 7 窗宽缩放系数对丙方案总代价与甲方案甩单数的影响（双轴）
4.3 前沿、分布与逐单风险
图 8 把达标率 \(\alpha\) 从 0.50 扫到 0.99，画出代价—准时率平面：起点（\(\alpha=0.50\)）79.0%、5.85 元，终点（\(\alpha=0.99\)）84.6%、16.51 元。标称代价随 \(\alpha\) 单调涨 2.8 倍，准时率只在 75—85% 之间来回，\(\alpha=0.80\) 处甚至回落到 75.4%——内缩只校正了"落点在窗内的位置"，没校正"10 单排不排得下"：丙的 9.19 元软罚正是花在收缩窗上，而不是花在真正的准时率上。甲在图外（50.0%、127.84 元，价格超出纵轴一个量级，且被乙丙完全支配）；乙最便宜但准时率最低（79.0%、5.85 元），丙在右上（84.3%、15.12 元）。红色阴影是 \(\alpha=0.95\) 右侧的不可达区——在 \(\Delta=4\) 的抖动下，光靠排程买不到 95%，只能加人、缩小配送半径或让平台放宽区间。图 9 是 8000 次抽样的实际代价分布：乙又宽又右偏（均值 9.74、中位 9.01、95 分位 15.46），丙窄得多（8.07／7.37／12.35）。两条 CDF 在 10 元附近交叉：一半的班次乙更便宜，另一半的班次乙贵得离谱。运营上要问的不是"平均多少钱"，而是"最坏那天赔多少"。图 10 画的是逐单违约概率（没在窗内送达）：甲在 5 个受服务的单上违约率 0%（中点命中、±4 抖动仍在窗内），但另外 5 单是 100%；乙最差的一单是窗宽最小的 O9（51%），丙把最差的一单压到 52%。平均准时率会骗人：甲在"被服务的单"上几乎不违约，整体却是 50%——甩单的 100% 是平均不出来的。
图 8 代价—有效准时率前沿与 α=0.95 的不可达区
图 9 8000 次抽样的实际代价分布与累计曲线
图 10 逐单违约概率：三种处理的风险分布差异
5 结论
- 区间不能当中点：甲把 10 张窗压成 10 个点，为精确命中甩掉 5 单、赔 125 元，标称 127.84 元、有效准时率 50.0%。它不是"保守做法"，而是"用覆盖率换精确度"，且对窗宽完全不敏感（图 7：\(k\) 从 0.6 扫到 1.4，甩单数恒为 5）。
- 双边界软窗账面最便宜、实际被支配：乙标称 5.85 元，抖动下期望 9.74 元、95 分位 15.46 元、准时率 79.0%；丙 8.07 元、12.35 元、84.3%。乙在均值、尾部、准时率三项上全输，它的低价是把落点贴在窗左沿、赌抖动往右走换来的。
- 机会约束的确定等价是一行代数：均匀分布下 \(P(a\le t+\varepsilon\le b)\ge\alpha\) 等价于 \(t\in[a+(2\alpha-1)\Delta,\ b-(2\alpha-1)\Delta]\)，不用场景、不用 0-1，代价是窗口两端各让出 3.60 min。这条式子的用处不止求解：它直接给出"这张窗能不能被承诺"的判据 \(W_i\ge 2(2\alpha-1)\Delta\)。
- 承诺有上限，且不是钱能买的：\(\alpha\) 从 0.50 扫到 0.99，丙的标称代价从 5.85 涨到 16.51 元，准时率只从 79.0% 爬到 84.6%——离 95% 还差 10.4 个百分点。瓶颈是 10 单挤在 36 min 的窗序里，加钱只能买"更靠近窗心"，买不到"更多时间"。
- 窗宽是硬通货：\(k=0.6\) 时丙要 23.99 元，\(k=1.4\) 时只要 7.28 元，差 16.71 元且路线不变。平台把区间各放宽 2 min，骑手侧成本降三成——放宽区间比催骑手便宜。
- 落地建议：派单时先用 \(2(2\alpha-1)\Delta/W_i\) 判断该单"能不能被承诺"，比值超过 1 的（本案 O9，8 min 窗、\(\Delta=4\)）必须优先排或直接放宽区间；\(\Delta\) 要分路段分时段标定，晚高峰跨江段实际可到 ±6 min，那时 \(\alpha=0.95\) 在 8 min 窗上不成立，只能降 \(\alpha\) 或加人手。
参考文献
[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.
[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.
[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.
[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.
复现方式：python batch.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/
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