案例 039　三个时间窗打架：放弃一单、全部迟到与改序的软窗取舍

案例 039　三个时间窗打架：放弃一单、全部迟到与改序的软窗取舍

摘要：12:00 手上有 5 单落在 3 个点位：O1、O2 承诺 12:05，O3–O5 是同一写字楼的公司拼单、12:10 三份同到。三个窗首尾相接、空间分居三向，可行域为空。本文建带双侧软窗的开放式路径 MILP：弧变量 \(y_{ij}\) 定序、\(u_i\) 定是否配送、\(t_i\) 为到达时刻、\(\delta_i\) 为越界量，目标为 0.6 元/km 的行驶成本 + 8 元/(单·min) 的违约罚（同址三单权重 3）+ 38 元/单的甩单赔付。四方案对比：改序 21.23 元最优（公司晚 0.60 min、O2 晚 0.64 min），甩 O2 39.41 元、甩 O1 39.56 元、原序全晚 225.7 元。甩单与改序的翻转门槛 15.5 元/(单·min)；同址三单合并成超级点后 0-1 变量由 30 降到 16，目标值不变。

关键词：外卖配送；软时间窗；区间调度；违约量；Gurobi

1　问题提出

1.1　问题是什么

12:00 整，外卖小哥在体育西路路口，手上 5 单，落在 3 个点上：O1、O2 两单承诺 12:05 送达，O3、O4、O5 是同一栋写字楼 15 层的公司拼单，12:10 三份一起到。三张时间窗在时间轴上首尾相接、在空间上分居三个方向，这就是"三个时间窗打架"。

数据见表 1。按 20 km/h 折算 3 min/km，单点直达时间分别是 O1 1.96 min、O2 3.32 min、公司 7.01 min——每一单单看都来得及（窗口分别是 5、5、11 min）。可一旦串起来，"O1→O2→公司"最早 11.60 min 才到公司，比 12:10 晚 0.60 min；"公司→O1→O2"则让两单 12:05 各晚 10.60 与 14.29 min。

表 1　五单数据（时刻以 12:00 为零点）

订单 送达点 x / km y / km 距出发点 / km 窗口 / min 停靠 / min 配送费 / 元
O1 O1 天河城 A 座 0.55 0.35 0.65 [0, 5] 1.5 7.5
O2 O2 体育东小区 0.35 1.05 1.11 [0, 5] 1.5 7.0
O3 O3 富力中心 15F 1.75 1.55 2.34 [8, 11] 3.5 9.5
O4 O4 富力中心 15F 1.75 1.55 2.34 [8, 11] 0.0 9.0
O5 O5 富力中心 15F 1.75 1.55 2.34 [8, 11] 0.0 8.5

核心问题：可行域是空的——不存在一条路线能让 5 单全部落在窗内。既然必然违约，就该问：违谁的约、违多少、还是干脆甩一单？

图 1　三个送达点的空间结构与两条典型路线（虚线=公司置顶的原序，实线=改序）

1.2　为什么要优化

  1. 同址三单把违约成本放大三倍：公司那组晚 1 min，是三份餐同时凉、三个客户同时点差评，违约量按 3 计。合并成超级点只是少建变量，权重不能合并掉。
  2. "全部迟到"的代价高一个量级：原序（公司置顶）总代价 225.7 元，改序只要 21.23 元，差 204 元。
  3. 甩单不是免费的：一单赔付 38 元，而改序的全部违约罚只有 19.51 元。只有当违约罚率超过 15.5 元/(单·min) 时，甩单才划算（图 5）。
  4. 代价可以算死：最优解的总违约量 2.44 单·分钟，正好等于枚举出的下界 2.44，再压只能靠提速或加人。

图 2　单点直达时间与承诺时刻（圆=单点直达，菱形=串行后的实际到达，箭头=被推后的时间）

1.3　Gurobi 如何求解

5 单 3 点的规模可以直接枚举：16 个"甩单组合 × 访问顺序"方案，用来做基准与前沿。正式模型把顺序（弧变量 \(y_{ij}\)）、是否配送（\(u_i\)）、到达时刻（\(t_i\)）、违约量（\(\delta_i\)）放在同一个 MILP 里，软窗用"越界即罚"的方式写，保证任何输入都可行。求解墙钟 0.02 s，MIP gap 0.0e+00。

2　数学模型

2.1　符号说明

节点 \(0\) 为 12:00 的位置，\(i=1,2,3\) 为三个送达点（\(3\) 是公司超级点，代表 O3–O5 三份）；\(E\) 为虚拟终点。\(y_{ij}\) 弧 \((i,j)\) 是否走；\(u_i\) 点位是否配送；\(t_i\) 到达时刻；\(\delta_i\) 软窗越界量；\(a_i,b_i\) 窗口开闭；\(s_i\) 停靠耗时；\(\tau_{ij}\) 弧上行驶时间；\(d_{ij}\) 弧长；\(\omega_i\in\{1,3\}\) 该点的订单份数；\(\pi_\ell\) 每单每分钟违约罚；\(\pi_d\) 每单甩单赔付；\(c_k\) 每公里行驶成本。

2.2　目标函数

\[\min\; c_k\sum_{(i,j)} d_{ij}y_{ij} + \pi_\ell\sum_{i}\omega_i\delta_i + \pi_d\sum_{i}\omega_i(1-u_i) \tag{1} \]

三项分别是行驶成本、软窗违约罚、甩单赔付。\(\omega_3=3\) 是本题的关键：公司点晚 1 min 罚三次，所以模型会本能地把这个点往前排，而不是按"12:10 还早"的直觉往后放。

2.3　约束条件

\[\sum_{j\ne 0}y_{0j}=1,\qquad \sum_{i\ne E}y_{iE}=1 \tag{2} \]

\[\sum_{j}y_{ij}=u_i,\qquad \sum_{j}y_{ji}=u_i \qquad (i=1,2,3) \tag{3} \]

\[t_j \ge t_i + s_i + \tau_{ij} - M(1-y_{ij}),\qquad t_j \ge \tau_{0j} - M(1-y_{0j}) \tag{4} \]

\[\delta_i \ge t_i - b_i,\qquad \delta_i \ge a_i - t_i - M(1-u_i) \tag{5} \]

\[t_i \le M u_i,\qquad u_i \in \{0,1\},\qquad y_{ij}\in\{0,1\},\qquad t_i,\delta_i \ge 0 \tag{6} \]

式 (2)(3) 保证从 0 出发、走成一条到 \(E\) 的链，被甩的点入出度同为 0；式 (4) 是 MTZ 时间递推，兼防子回路；式 (5) 是双侧软窗，早到与晚到都算越界，等时可以把 \(t_i\) 抬到 \(a_i\)，所以最优解里 \(\delta_i\) 只会由晚到触发；式 (6) 的 \(t_i\le Mu_i\) 让被甩的点不占时间轴。

2.4　规模与性质

合并后 3 个点、11 条弧，0-1 变量 16 个、约束 26 条；若把同址三单当三个独立停靠点，则 5 个点、24 条弧、30 个 0-1 变量、52 条约束——规模翻倍，而且三点之间没有弧，度约束会逼模型整组甩单。这是带软时间窗的开放式路径问题：窗只罚不封，所以永远可行，但可行域里没有任何"零违约"的点（最小违约 2.44 单·分钟），本质是区间调度不可行后的最小违约覆盖。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

y  = m.addVars(arcs, vtype=GRB.BINARY)        # 弧
u  = m.addVars(3, vtype=GRB.BINARY)           # 点位是否配送（0=甩）
t  = m.addVars(3, lb=0.0); dl = m.addVars(3, lb=0.0)
m.addConstr(t[j] >= t[i] + s[i] + TT[i,j] - M*(1 - y[i,j]))     # MTZ 推进
m.addConstr(dl[k] >= t[k] - b[k])                               # 晚到
m.addConstr(dl[k] >= a[k] - t[k] - M*(1 - u[k]))                # 早到
m.setObjective(0.6*sum(d[i,j]*y[i,j]) + 8*sum(w[k]*dl[k])
               + 38*sum(w[k]*(1 - u[k])))                       # w = (1, 1, 3)

三个实现细节：其一，同址三单折成一个超级点，权重 \(\omega=3\) 挂在目标上，0-1 变量从 30 降到 16；其二，软窗写成双向不等式，早到那一边靠"等"自消，不必单独设 0-1；其三，甩单用 \(u_i=0\) 而不删节点，删节点会让"少送一单"与"改序"的口径对不上。

3.2　求解结果

表 2　四个方案的代价拆解（元）

方案 访问顺序 加权违约 / 单·min 行驶 违约罚 甩单赔付 合计
甲 甩掉 O2 O1→公司（甩 O2） 0.00 1.41 0.00 38.00 39.41
乙 甩掉 O1 O2→公司（甩 O1） 0.00 1.56 0.00 38.00 39.56
丙 一单不甩 公司→O1→O2 27.85 2.86 222.83 0.00 225.68
丁 改序 O1→O2→公司 2.44 1.72 19.51 0.00 21.23

丁 改序最优：总代价 21.23 元，顺序 O1→O2→公司，只有公司那组晚 0.60 min（算 3 份，共 2.44 单·分钟），O2 晚 0.64 min。Gurobi 目标 21.2290 与 16 个方案的枚举最优 21.2290 一致到 1e-13；作为对照，把同址三单当三个独立停靠点的朴素写法算出 119.95 元（它被迫整组甩单），比正确解贵 98.72 元。

图 3　四个方案的代价分解（行驶 + 软窗违约罚 + 甩单赔付）

4　结果分析

4.1　结构与过程

图 1 里两条路线的差别不是"远近"，而是谁挨罚：虚线把公司置顶（因为 12:10 听上去最晚），结果两单 12:05 全毁；实线反过来，先扫两个近点再北上，代价只是让公司那组晚 0.60 min。图 2 把矛盾画得更清楚——三个点在"单点到达 vs 承诺时刻"平面上都贴着对角线（O2 只剩 1.68 min 余量），任何串行都会把后面的点推过线。

图 4 是时间轴上的正面交锋：五条灰条是承诺窗，圆点是改序后的送达，叉是原序。改序方案只越界两处（O2 晚 0.64 min、公司那组晚 0.60 min），都在 1 min 内；原序方案则是公司早到 0.99 min、O1 晚 10.6、O2 晚 14.3 min——五单没有一张脸是好看的。

图 4　五单的承诺时间窗与两种方案的送达时刻（圆=改序，叉=原序）

4.2　灵敏度

图 5 扫违约罚率：2 元时总代价 6.60 元，21 元时 39.41 元，50 元时都是 39.41 元（已改为甩单）。15.5 元之前曲线严格线性——违约量被下界 2.44 卡死，罚率只能等比放大代价。真正的结构翻转发生在 15.5 元/(单·min)：超过这个点，甩掉 O2 的 38 元赔付反而比"晚 2.44 单·分钟"便宜，阶梯从 0 跳到 1。题面给的 50 元/min 就在翻转点右侧，属于"宁可赔一单"的口径；按广州实际（超时赔付 4 元 + 差评摊销 4 元）标定到 8 元，结论是改序。

图 6 把罚率与赔付放在一张热图上：同一列（罚率相同）颜色几乎一致，同一行（赔付相同）从左到右明显变浅——罚率是主因子，赔付只在 15.5 附近决定离散跳变。星标为本案参数。

图 7 换一维：把两个 12:05 的承诺从 7 min 一路压到 1 min。承诺越紧成本越高，7 min 时只要 16.11 元，1 min 时涨到 47.06 元；3 min 是分水岭——再紧一格（2 min），O2 单点直达就要 3.32 min，最优解直接改成甩单，因为任何排序都救不回来。

图 5　违约罚率的灵敏度：最优总代价与甩单决策（双轴）

图 6　违约罚率与甩单赔付的联合影响（星=本案参数）

图 7　两个 12:05 承诺时刻的松紧灵敏度（双轴）

4.3　前沿、分布与规模

图 8 把 16 个方案摊在"违约量—总代价"平面上：非支配点只有两个，甩单落在左端（违约 0，代价 39.4），改序落在 2.44 单·分钟处（21.23 元），其余 14 个方案全被这两点支配，原序在右上角。左侧红色阴影是任何排序都到不了的区域——违约量下界 2.44 就是"三个窗打架"的定量证据。

图 9 是同一批方案的违约量直方图加累计曲线：6 个方案靠甩单把违约量压到 0，另 3 个落在 0.64–2.44 的窄带里，再往上直接跳到 9.79——中间 2–9 单·分钟是空的：离散排序下不存在"只多晚三五分钟"的折中，要么最小违约，要么赔一单。

图 10 是两种写法的规模对照：把同址三单当三个独立停靠点要 30 个 0-1 变量、52 条约束，可三点之间没有弧、度约束要求每点入出各 1，模型只能整组甩单（119.95 元）；折成一个超级点后 16 个变量、26 条约束，最优 21.23 元。规模减半不是重点，不把三份餐当成三次停靠才是。

图 8　违约量与总代价的前沿及不可行区

图 9　全部方案的违约量分布与累计占比

图 10　同址三单的朴素建模与合并建模：0-1 变量与约束规模

5　结论

  1. 改序最优：O1→O2→公司，总代价 21.23 元（行驶 1.72 + 违约罚 19.51），只让公司那组晚 0.60 min、O2 晚 0.64 min。
  2. 甩一单不划算：甩 O2 要 39.41 元、甩 O1 要 39.56 元，各比改序贵 18.2 元左右；只有违约罚率超过 15.5 元/(单·min) 才翻转。
  3. 全部迟到代价高一个量级：原序（公司置顶）225.7 元，是改序的 10.6 倍。窗口"听上去最晚"的那一单，恰恰是最该早送的。
  4. 同址合并要留权重：三单折成一个超级点后 0-1 变量从 30 降到 16，但违约权重必须保持 3，否则会把三份餐的迟到当成一份，直接改变最优序。
  5. 落地建议：平台派单时应按 \(\omega_i/\Delta_i\)（份数除以窗口余量）排序而不是按承诺时刻排序；本案 O2 的余量只有 1.68 min，把它放在公司之后是原序失败的直接原因。违约量下界 2.44 单·分钟说明这 5 单无论怎么排都不可能全准点，只能靠增派一人或把公司组的承诺推到 12:12。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

复现方式：python batch.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/

posted @ 2026-11-10 08:34  小青蛙电气  阅读(2)  评论(0)    收藏  举报