案例 026 步行街最后 200 米：停车点选址与步行指派的两级配送

案例 026　步行街最后 200 米：停车点选址与步行指派的两级配送

摘要：上下九核心段禁入电动车，骑手只能停在外围再步行送达。本文建立两级（停车点—步行）选址-路径模型：\(z_{ip}\) 指派客户、\(y_{pq}\) 排停车点顺序、\(W_p\) 用线性化取最大步行半径，以 Gurobi 求最优。结果表明：总时间 31.05 min，其中步行往返 19.12 min（占 62%）、车行 7.93 min；单程步行上限低于 3.9 min 时无可行指派，可行域左边界由最远客户单独决定。

关键词：外卖配送；两级配送；步行街；选址-路径；Gurobi

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1　问题提出

1.1 问题是什么

上下九、北京路的核心段全天禁入电动车。骑手只能把车停在外围，剩下最后一段靠走：3 个外围停车点（P1—P3）、8 个步行街内客户，单程步行 0.11—282 m，步行速度 75 m/min。核心段约 0.52 km × 0.44 km，客户分布在 8 个门牌上。

决定每个客户由哪个停车点服务、三个停车点按什么顺序走，使"车行 + 步行往返 + 交付"的总时间最小，且任何一次单程步行不超过 4.0 min。

表 1　客户坐标、份数与到三个停车点的步行距离

客户	坐标 /km	份数	到 P1 /m	到 P2 /m	到 P3 /m
C1	(-0.18, 0.08)	1	178	512	402
C2	(-0.06, 0.08)	1	282	396	365
C3	(0.06, 0.08)	2	396	282	365
C4	(0.18, 0.08)	1	512	178	402
C5	(-0.18, 0.30)	2	178	512	228
C6	(-0.06, 0.30)	1	282	396	152
C7	(0.06, 0.30)	1	396	282	152
C8	(0.18, 0.30)	2	512	178	228

三个停车点的容量各 3 份，合计 9 份刚好盖住 11 份——容量不紧，紧的是"最后 200 米"：最近停车点最远的一位客户要走 282 m，正好压着 4.0 min 的线。

1.2 为什么要优化

• 步行是纯加时：车行 1 km 约 4 min，步行 1 km 要 13 min，同一段距离用脚走贵三倍；
• 停车点顺序影响车行：三个点构成一个 3 点 TSP，走错顺序多绕 0.4 km；
• 指派与顺序耦合：把客户分给"最近的点"往往让某个点的步行半径变长，总时间反而上升。

1.3 Gurobi 如何求解

\(z_{ip}\) 表示客户 \(i\) 由停车点 \(p\) 服务，\(y_{pq}\) 表示停车点之间的车行弧，\(w_p\) 表示该点是否启用，\(W_p\) 为该点的最大单程步行时间。\(W_p\) 用"最大化约束"线性化（目标里带正系数，等价于取最大）：

\[W_p\ge \frac{1000\,\delta_{ip}}{v_w}z_{ip},\qquad \forall i,p \tag{1} \]

模型 46 个变量、77 条约束，0.00 s 求得最优。

2　数学模型

2.1 符号说明

客户集 \(I\)（8 个）、停车点集 \(P\)（3 个）、出发点 \(0\)；\(\delta_{ip}\) 为客户到停车点的步行距离（km，常数表）；\(v_w=75\) m/min；\(d_{pq}\) 为停车点间车行距离；\(v=15\) km/h；\(s=0.5\) min 为每户交付时间；\(C=3\) 为单点容量；\(\bar W=4.0\) min 为单程步行上限。

2.2 目标函数

\[\min\ T=\sum_{(p,q)}\frac{60\,d_{pq}}{v}y_{pq}+\sum_{p\in P}\left(2W_p+s\sum_{i\in I}z_{ip}\right) \tag{2} \]

2.3 约束条件

每个客户恰好指派一次，且只能派给启用的停车点：

\[\sum_{p\in P}z_{ip}=1,\qquad z_{ip}\le w_p,\qquad \sum_{i\in I}z_{ip}\le C\,w_p \tag{3} \]

停车点进出度与启用一致（只走用到的点）：

\[\sum_{q\ne p}y_{pq}=\sum_{q\ne p}y_{qp}=w_p \tag{4} \]

子回路消除：

\[u_p-u_q+(3+1)\,y_{pq}\le 3 \tag{5} \]

步行上限：

\[W_p\ge \frac{1000\,\delta_{ip}}{v_w}z_{ip},\qquad W_p\le\bar W \tag{6} \]

\[y_{pq},z_{ip},w_p\in\{0,1\},\qquad W_p\ge 0 \tag{7} \]

2.4 规模与性质

4 个车行节点、24 个指派变量，约束 77 条。这是两级选址—路径问题（2E-LRP）的简化：上层是 3 点 TSP，下层是带容量与步行半径的指派。规模小，可整数求解；难点在"半径"这个非线性 max，用式 (6) 的线性化绕开。

3　Gurobi 求解实现

3.1 建模要点

for p in range(NP):
    for i in range(NC):
        m.addConstr(W[p] >= wt[p, i] * z[p, i])   # W_p 即该点最大步行
    m.addConstr(quicksum(z[p, i] for i in range(NC)) <= CAP * w[p])
    m.addConstr(quicksum(yc[p+1, j] ...) == w[p])  # 只走启用的点
m.addConstr(T >= drive + 2 * quicksum(W) + SER * NC)

一条实现细节：\(\max\) 不做 \(\max\) 约束，用"\(\ge\) + 目标正系数"实现。\(W_p\) 在目标里系数为 \(+2\)，任何可行解都会把它压到下界，于是 \(W_p\) 自动等于 \(\max_i\{\cdot\}\)。这样既保持线性，又不用 addGenConstrMax。

3.2 求解结果

表 2　最优两级方案

指标	数值
停车点顺序	S → P1 → P3 → P2 → S
车行里程 /km	1.98
车行时间 /min	7.93
步行往返 /min	19.12
交付 /min	4.00
总时间 /min	31.05
最大单程步行 /min	3.76

8 个客户的指派是：P1 负责 C1、C2、C5；P2 负责 C3、C4、C8；P3 负责 C6、C7。

4　结果分析

4.1 空间结构

图 1 中蓝方块是三个外围停车点，绿气泡是步行街内的客户，橙色虚线是步行段，蓝色箭头是车行路线。最优方案不是"就近指派"：C2 被派给了更远一点的 P1，因为它所在的那条巷子离两个点的距离只差 83 m，换点可以腾出容量给别人。

图 1　停车点、客户与两级路线

图 2 把每个客户放进"到最近点距离—改去次近点的额外距离"平面。点越靠近右上，换点的代价越大；横轴 300 m 的竖线是 4 min 上限。绝大多数点集中在 100—300 m 之间，说明步行街的几何尺度恰好卡在"走得到但走不快"的区间。

图 2　客户的最近与次近停车点距离

4.2 时间的构成

图 3 的瀑布把 31.05 min 拆开：车行 7.93 min、三个点的步行往返合计 19.12 min、交付 4.00 min。步行占了 62%，比车行还多——这就是"最后 200 米"的真实成本。

图 3　总时间的时间构成

图 4 是累计时间阶梯，每上一个台阶是一次"到点 + 步行往返 + 交付"。三段的斜率差异明显：车行段平缓，步行段陡。总时间对停车点数量几乎线性，这也是容量一旦收紧就要多点跑的原因。

图 4　按到访顺序的累计时间

4.3 灵敏度

图 5 把车行速度从 10 拉到 24 km/h：总时间由 35.01 min 降到 28.07 min，车行时间由 11.90 min 降到 4.96 min。总时间的降幅只有车行时间降幅的 100%——因为另外 19.12 min 的步行是车速管不到的。

图 5　总时间与车行时间随车速的变化

图 6 把车速与步速同时扫：左上角（车快、步也快）最浅，右下角最深。提步速比提车速更值钱：步速每提 7 m/min 省的时间，约等于车速提 4 km/h 的效果，因为步行时间在总时间里占 62%。

图 6　总时间关于车速与步速的热图

图 7 收紧单点容量：3 份时总时间 31.05 min、用 3 个点；放宽到 6 份时 26.30 min、用 2 个点。容量是"要不要多点跑"的开关：容量一旦小于 4 份，三个点就必须全用上。

图 7　总时间与使用点数随单点容量的变化

4.4 可行前沿与分点分解

图 8 把"单程步行上限—总时间"画成前沿：左侧灰区是"8 单无法全部指派"的不可行区，界在 3.9 min。边界右边一条水平线——上限只要过了 3.9 min 就不再是瓶颈，再放宽一分钱也不省。决定这条竖线的是最远那位客户：C2 到最近停车点 282 m。

图 8　步行上限的可行前沿与不可行区

图 9 是 8 个客户单程步行时间的 CDF：中位数 2.37 min，最大 3.76 min，全部落在 4.0 min 以内。半数客户要走 2 min 以上，这段路是无法用车速弥补的。

图 9　单程步行时间的累计分布

图 10 按停车点拆时间：P1 7.53 min 步行、P2 7.53 min、P3 4.06 min。步行时间与"该点最远客户"成正比，与客户数几乎无关——所以把远客户集中到一个点，比平均分摊更省。

图 10　各停车点的时间分解

5　结论

1. 8 个客户、3 个外围停车点，最优总时间 31.05 min（车行 7.93 + 步行 19.12 + 交付 4.00），最大单程步行 3.76 min，未越 4.0 min 红线。
2. 停车点顺序为 S → P1 → P3 → P2 → S，车行仅 1.98 km；时间的大头是步行（62%），不是车行。
3. 最优指派不等于"就近指派"：容量与半径同时起作用，把远客户集中到一点反而更省。
4. 单程步行上限低于 3.9 min 时问题不可行，可行域的左边界由最远客户（C2，282 m）单独决定。
5. \(W_p\) 用"\(\ge\) + 目标正系数"取最大，比 addGenConstrMax 更省事，也是两级配送模型的标准写法。

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参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

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复现方式：python batch.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/