动态规划

　　关于动态规划问题，入门者一般会学习背包问题（参考百度词条：背包问题），而关于背包问题，入门者一般会学习0-1背包问题。所谓0-1背包问题，指的是物品可以选择不放或者放入，也就是每个物品最多放入一次。现在我们来通过介绍0-1背包问题了解动态规划的算法思想。

　　在谈背包问题之前，我们先来给出如下定义。

　　（1）属性：用于描述实体的一个名称。通常拥有一个值，组成键值对。一个实体可以有多个属性。

　　（2）状态：由所关注的属性组成的集合。

　　（3）转移：需要满足转移条件后，由一个旧的状态扩展转移出一个新的状态。

　　在接下来关于动态规划的文章中，我们都将不断地使用以上三个定义。

　　0-1背包问题模板如下：给定n(1 ≤ n ≤ 4000)件物品以及体积为v(1 ≤ v ≤ 10000)的背包，每件物品具有价值、体积两个属性，问如何合理选择物品，使得在不超过背包体积v的情况下，背包中的物品价值和最大。

　　在0-1背包问题中，实体是物品，属性是物品的价值、重量等，状态是物品的价值、重量，转移条件是新状态的价值大于旧状态的价值。我们使用一个一维数组value来记录价值，例如value[i]表示在背包体积为i时的最大价值。下面给出代码实现：

　　

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 4001;
const int MAXV = 10001;

struct BOX {
    int v;
    int w;
};

BOX box[MAXN];
int value[MAXV];
int n, w;

int max(int a, int b) {
    return a < b ? b : a;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &w);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &box[i].w, &box[i].v);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = w; j >= box[i].w; j--) {
            value[j] = max(value[j], value[j - box[i].w] + box[i].v);
        }
    }

    printf("%d", value[w]);
    return 0;
}

　　需要指出的是，由于物品所占的体积都是整数，因此我们将背包体积的粒度设为1，当物品体积更小时，我们需要将粒度更加细化，当物品体积更大时，我们需要将粒度相应加大。

　　特别值得注意的是，数组value的空间大小要和背包体积挂钩，而不是和物品数量挂钩！！！

 

 

 

 

　　圆满完成。