P1005 矩阵取数游戏

P1005 矩阵取数游戏

题目大意：给定一个n*m的非负整数矩阵，每次从每行行首或行尾取一个数；每取一个数都有一个对应的得分，得分值=被取走的数 * \(2^i\)，其中 i 表示第 i 次取数，求取完所有数之后的最大得分；值得注意的一点是，每一次取数都在所有的行中各取一个数，共算作一次，所以共经过m次后取完所有的数

从题中不难发现，对于每一次取数的每一行，都有两种决策，即取行首或取行尾；而每一行取的是那个数并不影响其他行怎么取、取的是什么数，所以我们只需要处理每一行的取数决策就可以了

一开始我采用了贪心的做法，每次取数都比较行首和行尾的数字，从中取较小的数，这样就可以之后用较大的数乘上较大的\(2^i\)（下称“得分权值”），借此得到最大的分数；但是这样的思路有很明显的逻辑漏洞：对于每一行的正数第二个数和每一行的倒数第二个数，在我们取完行首，行尾的数之前是不能取的，如果行首的数是一个较小的数，第二个数是一个很大的数，而行尾的数是一个较大的数，倒数第二个数很小，就会导致在一开始取走了较大的数，使得最终的答案不一定能够最大化，因为总有一个时刻不得不用一个较小的数乘一个较大的得分权值，或不得不用一个较大的数乘一个较小的得分权值；事实证明，采用这种思路只能得到可怜的20分

然后想到了DP的思路，毕竟每一行的取数决策并不会影响其他行，且每次的答案累加方式都很格式化，我们可以轻易地在思考后得到每一行得分的状态转移方程：\(f_{i,j}=max(f_{i+1,j}+a_{k,i}*2^{m+1-j},f_{i,j-1}+a_{k,j}*2^{m+i-j})\)

对于每一行，我们都可以看作是一个有m个数的数列，编号从1到m；将区间范围变为从 i 到 j 时累计的答案记做 \(f_{i,j}\)，那么它一定是由 \(f_{i+1,j}\) 或者 \(f_{i,j-1}\) 转移来的，只要写出这个方程，就可以切掉这道题了

我一开始也以为是这样，然而这道题还需要开高精，事实证明不开高精只有60分