CF1981F Turtle and Paths on a Tree

题目大意：

有一棵有点权的二叉树，你要画出来若干个路径，使得每条边恰好被覆盖了一次。
这个总权值为每条路径连接的点的点权 MEX。
问这个总权值最小是多少。
\(n \le 2.5 \times 10^4\)。

解题思路：

显然我们先要有一个保证正确性的时间复杂度尽可能低的算法。
考虑由于每条边要被覆盖一次，设 \(dp_{i,j}\) 表示考虑完 \(i\) 子树的了，向外延申的端点是 \(j\)，的最小的和。

这个转移是 \(O(n^2)\) 的，但是发现 \(n\) 等于 \(2.5 \times 10^4\) 时时空都不对。
考虑改变状态，注意到这个 MEX 是不会太大的，因为他一旦太大完全可以拆成两个从而使得 MEX 最小。

设 \(dp_{i,j}\) 表示 \(i\) 子树内的，往外连的边的 MEX 为 \(j\) 的和的最小值。
这是并不容易维护的，因为你想合并两个集合的 MEX 直接合并 MEX 并不能做。

考虑这个 MEX 的定义，注意利用这个最小化的性质，而 MEX 与之相应的是最小的没出现的数。
那么我们只要保证没出现，就一定能取到最小值，其他的我们并不关心。

那么钦定 \(i\) 连出去的路径不能有 \(x\)，这样就可以转移了。
而我们的第二维是 \(O(\frac{n}{\ln n})\) 级别的，这样就是 \(O(\frac{n^2}{\ln n})\)。

考虑每个数对他的限制，假设是 \(x\)，那么把 \(x\) 相邻的两个最大贡献 \(4\)，除掉他最多 \(x\)。
加起来是 \(O(n \ln n)\) 级别的。
所以链长最大 \(O(n \ln n)\)，std 说是 3863。

考虑构造出来第二维的上限，首先因为我们是若干条链，极限情况肯定整棵树都是一条链。
对于每个数 \(x\)，考虑他对