CF487E Tourist

题目大意：

给定一张无向图，每个点有点权。
有 \(q\) 次操作，分两种：

1. 给定 \(u, w\)，将点 \(u\) 的权值改为 \(w\)。
2. 给定 \(u, v\)，求出一条从 \(u\) 到 \(v\) 的简单路径，使得最小权值最小。
   \(n,m,q \le 10^5, w \le 10^9\)

解题思路：

首先看到 "一条简单路径"，大概有以下几种方法。

1. dfs/bfs/dijkstra 但不能优化，时间复杂度有点高，不能通过此题。
2. 点双+圆方树 可以将问题转化成路径上方点上的答案，不过这样做有要求，就是每个点双内部最优策略一定是唯一的。

但 \(min\) 加和显然满足 点双+圆方树 的要求。
所以可以使用圆方树。

有个点双的性质：点双中任意 \(x,y,z\)，都存在一条 \(x -> y\) 的路径包含 \(z\)。
因为若不满足，那么 \(z\) 就是一个割点，不满足点双的定义。

那么路径上点双中的点的权值都可以被遍历到。
套路就是将每个圆点的答案挂在父亲（定为方点）上，那么相当于单点修，路径查询最小值。
树剖+线段树即可。
注意当 \(LCA\) 为方点的时候，要算上 \(LCA\) 的父亲（圆点）的答案。
\(O(n \log^2 n)\)。

总结：

这题好像评不上 *3200？感觉就是将套路拼起来了。

1. 简单路径要分清圆方树能不能做。
2. 圆方树有许多性质。
3. 可以将圆点答案挂在父亲上，因为路径必经方点。