关于数论

积性函数推式子

莫反

式子：

\[[i = 1] = \sum_{d | i} \mu(d) \]

\[f(i) = \sum_{d | i} g(d) \to g(i) = \sum_{d | i} f(d) \mu(\frac{i}{d}) \]

\[f(i) = \sum_{i | d} g(d) \to g(i) = \sum_{i | d} f(d) \mu(\frac{d}{i}) \]

技巧：

1. 能预处理的卷积先预处理，最后使用莫比乌斯反演。
2. 也可以最后整除分块
3. 遇到 \(\gcd\)，可以枚举然后用莫反，也可以 \(\gcd(i, j) = \sum_{k|i, k|j}\varphi(k)\)
4. 实在太难了，那就递归求解
5. 整除分块 \(\to O(n \log n)\)，\(\sum_{i = 1}^n f(i)G(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor) = \sum_{i = 1}^n (f * g)(i)\;(g(i) = G(i) - G(i - 1))\)

练习：
https://uoj.ac/problem/62
https://vjudge.net/problem/黑暗爆炸-3512

一些重要式子

\(\varphi \times 1 = id\)
\(\mu \times 1 = \varepsilon\)
\(1 \times 1 = \tau\)
\(id \times 1 = \sigma\)
\(\mu \times id = \varphi\)
\(\varphi(i, j) = \varphi(i) \times j\)（\(j\) 的质因子集包含于 \(i\)）

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bsgs

在剩余系上跳跃的题，都可以考虑 bsgs。

https://www.luogu.com.cn/problem/P3306

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dp 的某一维很大的时候

1. 直接离散化 https://www.luogu.com.cn/problem/P3643
2. 考虑能不能拉格朗日插值 https://www.luogu.com.cn/problem/P5469

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一边容斥，一边 dp

考虑有一些 dp 的有一些转移条件不好维护，那么容斥掉，每次转移乘以 \(-1\) 即可。

https://www.luogu.com.cn/problem/P14364

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