树-学习笔记

定义：一个树是由n个元素组成的有限集合。其中，每个元素叫结点(node)

性质：

• 有一个特殊的结点叫根节点(root node)
• 从图论的角度，一个树有n-1条边，所以它是无环的。同时，它是连通的，因为可以直接或间接地从一个结点走到另一个结点
• 除了根结点以外，其余的结点可以分成m(m>=0)个互不相交的有限集合 T0，T1，T2...... 其中，每一个集合都叫做这个树的子树
  下面举个栗子捏

不难发现，可以分为3个子树（一定要记住，根结点除外！！！）
第一个子树：结点 2，5，6
第二个子树：结点3
第三个子树：结点4,7,8,9

基本概念

• （1）树是递归定义的
• （2）一个结点的子树个数称为这个结点的度。还是那张图，结点1的度数就是3，结点3的度数就是0
• （3）度数为0的结点叫叶结点，度数不为0的结点叫分支结点，根以外的分支结点又叫内部结点
• （4）一个树，各个结点的度的最大值就是这个树的度。刚刚那张图中，树的度就是3，因为根结点的度最大，为3
• （5）在一个树中，上端结点叫做下端结点的父结点，下端结点叫上端结点的子结点。
• （6）同一个父结点的多个子结点叫做兄弟结点
• (7）从根结点到某个子结点所经过的结点称为这个子结点的祖先
• （8）对于树中任意两个结点，如果从一个结点出发，沿着整个树自上而下能够达到另一个结点，称它们之间存在一条路径。路径长度=路径中包含的结点数-1
• （9）从根结点出发，到树中其余结点，一定存在一条路径
• （10）一个树中，不同子树之间不存在路径
• （11）一个森林(forest): m棵（m>=0）互不相交的树的集合
• （12）层次：定义根结点的层次为1，其余结点的层次等于它的父结点的层次+1。比如，上面的图中，结点8的层次为4
• （12）深度：一棵树中，所有结点的层次的最大值称为这个树的深度（depth）。比如，上图中，树的深度为3

二叉树基本概念和性质

OI中常考的就是二叉树，因为它很特殊
特殊原因：二叉树是一个度为2的数 二叉树的每个结点最多有两个子结点
每个结点的子结点叫做左子树和右子树

性质

1. 二叉树的第i层最多有$$2^{i-1}$$个结点
   2.深度为k的二叉树至多有$$2^{k-1}$$个结点
2. 一棵深度为k且有$$2^{k-1}$$个结点的二叉树称为满二叉树
   
   4.完全二叉树 深度为k, 有n个结点的二叉树，当且仅当每一个结点都与深度为k的慢二叉树中编号从1~n的结点一一对应。完全二叉树的叶子结点仅出现在最下层和次下层，且最下层叶子集中在左部
   
   5.对于任意一个二叉树 如果其叶结点数为n0, 度为2的结点数为n2,则一定满足 n0=n2+1;
   证明：
   假设二叉树有n个结点，n0个叶结点，n2个度为2的结点，则有(n-n0-n2)个度为1的结点。因为一个二叉树有n-1条边，所以
   n-1=n00+n22+(n-n0-n2)1
   n-1=n22+n-n0-n2
   n0=n2+1
   6.对于一个有n个结点的完全二叉树，深度为[log2n]+1