01背包和dp入门

今天学了01背包，算是领略到dp的魅力了吧。。。>_<
开始还是有点难理解的，但是后面在草稿纸上画一画就懂了，花了半个多小时^^
第一种 01背包 1
题目大意：有一个背包体积为V，有N个物品，每个物品体积为Vi,取若干个物品放到背包里使背包剩余体积最小，每个物品只能放一次！！
输入：N，V，和N个整数表示每个物品体积

输出：一行，表示背包剩余的最小体积

其实就是要让背包里放的物品体积越大越好，我们建立可以定义个数组dp,大小是V+1，同时全部初始化为0，表示还没有放入物品
数组dp其实就是表示背包容量为0~V时可以装的物品体积的最优值

• 由于每个物品只能放一次，所以我们要倒序遍历
• 对于每一个物品，我们可以选择拿或者不拿
• 如果不拿，就是保持当前状态，也就是dp[j]；如果拿，就是dp[j-items[i]]+items[i] (这里的items数组是用来存储每个物品的体积的）
• dp[j-items[i]]表示给新的物品items[i]腾出空间后，箱子原有的物品的体积和，那么现在要放入新的物品，则要加上这个物品的体积，也就是items[i]
  由于题目说到我们需要让背包中物品的体积之和最大，就用头文件中的max函数比较一下就行了
  于是我们得到状态方程：dp[j]=max(dp[j],dp[j-items[i]]+items[i])
  一开始确实难理解！！但自己造一个简单样例，把过程全部写出来就能理解了！！！
  现在我们可以得到一个完整的代码辣！！^_

点击查看代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
const int MAX_N=55;
const int MAX_V=1005;
int n,v;
int items[MAX_N];
int dp[MAX_V];
int main(){
	cin>>n>>v;
	for(int i=0;i<n;++i){
		cin>>items[i];
	}
	for(int i=0;i<v;++i){
		for(int j=v;j>=items[i];--j){//j>=items[i]是为了防止物品体积大于背包容量，倒序遍历是因为一个物品只能放一次
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-items[i]]+items[i]);//dp[j]表示：如果背包容量是j,最多能装多少体积的东西
			//dp[j-物体体积]表示当箱子容量为dp[j-v]时，能装下的最大价值，这个值代表了“腾出v空间后，箱子原有物品的价值”。
		}
	}
	cout<<v-dp[v]<<endl;
	return 0;
}

补充一点：j>=items[i]是要保证我们的物品体积一定小于背包的体积dp[j] 这样就不会出现要让一个体积为3的物品放入体积为2的背包dp[2] 最后让背包的体积V去减去背包容量为V(dp[v])的值就可以得到最小剩余体积了。。。

第二种：01背包2
这个和上一种的唯一区别就是多了一个价值，每个物品有体积和价值，要求的就是让背包中物品价值最大

状态方程只有一个部分要变，就是把+items[i]改成+t[i](t数组表示每一个物品的价值)

点击查看代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAX_N=55;
const int MAX_V=1005;
const int MAX_T=105;
int items[MAX_N],t[MAX_T],dp[1005];
int n,v;
int main(){
	cin>>n>>v;
	for(int i=0;i<n;++i){
		cin>>items[i]>>t[i];
	}
	for(int i=0;i<n;++i){
		for(int j=v;j>=items[i];--j){
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-items[i]]+t[i]);
		}
	}
	cout<<dp[v]<<endl;//最多可以在背包里放多少价值的物品
	return 0;
}

第三种：完全背包
就是第二种+每个物品可以放无限次。。。
我们只需要把倒序遍历改成正序遍历即可

点击查看代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAX_N=55;
const int MAX_V=1005;
const int MAX_T=1005;
int items[MAX_N],t[MAX_T],dp[MAX_V];
int n,v;
int main(){
	cin>>n>>v;
	for(int i=0;i<n;++i){
		cin>>items[i]>>t[i];
	}
	for(int i=0;i<n;++i){
		for(int j=items[i];j<=v;++j){//因为一个物品可以拿多次，所以正序遍历
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-items[i]]+t[i]);
		}
	}
	cout<<dp[v]<<endl;
	return 0;
}

要赶紧去刷题了。。。。><
菜死了菜死了菜死了