复健计划
10.18
T1 向量
给 \(n\) 位数字（\(n\le2e5\)），每次操作将两位数字合并，如果合并后仍为两位数，则写成两位数的形式，求最大操作次数。
结论：操作次数总是固定的。考虑数字总和，合并要么不变要么 \(-10\)，所以感性理解和跟顺序没有关系，大于 \(10\) 就减。
T2 顺序
构造，显然下界为 \(n+m-2\)，上界为 \(nm-1\)。
考虑对下界的构造，构造成一个王字。
蓝线是下界骨架，红线走 \(s\) 构造下界与上界之间的值。
注意如果 \(n,m\) 都是偶数取不到下界且与奇数有一定区别，一奇一偶可以交换 \(nm\)，最后输出调换即可。
T3 缺损的表达式
建表达式树直接 \(dp\) 即可。
T4 熵值
每次操作都减少一个 \(d\)，所以两个点最多操作一次，且不会成环，换言之，这些点最后将会形成森林。对于每个联通块，最小代价是最小生成树，最后 \(dp\) 即可。
10.18
T2
结论：在所有 \(2t+1\) 个字符串中，存在一个唯一出现次数为奇数的字母，出现的字母要么后面不变在最后一个字符串出现，要么被替换时出现。
T4
给定长度为 \(n\) 的序列，求 \(mex\) 为 \(0\) 到 \(n\) 的子序列个数。
给一组样例分析：
固定左端点为 \(1\)，则 \(mex\) 为：
左端点右移一位，则 \(mex\) 为：
分析可以发现，在左端点由 \(i\) 变为 \(i+1\) 的过程中，\(mex\) 数组发生改变的是一段区间，左边界是第一个大于 \(a_i\) 的，右边界为下一个 \(a_i\) 的位置减一。用 \(set\) 维护连续段和时间戳即可。
11.5
B
给一个完全图 \(G\)，\(|G|\le3000\) ，每次询问加入一条边，求最小生成树的权值和。
用一种新式的求最小生成树方法，令 \(S\) 为未加入的点集，\(T\) 为最小生成树中的点集，类似 \(dij\) 每次把距离 \(S\) 集合最小的点加入进 \(T\) 并修改信息，可以做到 \(O(n^2)\)。
然后每次修改就删一条加一条 \(O(qn)\)。
D
有一个 \(k\times k\) 的矩阵（\(k\) 并未给出），其中每个格子的石子数 \(\ge m\)，且对角线格子石子数和小于等于 \(n\)，任意选择 \(k\) 个行和列都不相同的格子石子数都一样。
最后一个限制很强可以从最后一个格子开始推。由题意 \(a_{x,i}+a_{y,j}=a_{x,j}+a_{y,i}\)，于是得到 \(a_{x,i}-a_{y,i}=a_{x,j}-a_{y,j}\)，这启发我们转化问题，对 \(k\) 行 \(k\) 列都赋一个权值，\(a_{i,j}=x_i+y_j\)，这个矩阵合法，显然这是充分的。考虑和小于 \(n\)，先减去 \(k\times m\)，剩下的值分配到 \(2k\) 个行列权值中（可以有剩余），可能算重（\(x\) 加 \(y\) 减），限制至少一个为 \(0\)，方案数为 \(\dbinom{n-k\times m+2k}{2k}-\dbinom{n-k\times m+k}{2k}\)
11.26
B
在一条数轴上，有 \(n\) 个杆子，价格为 \(c_i\)，若当前位置为 \(x\)，则可以跳到 \(x-v_i\) 和 \(x+v_i\) 上（购买后可以重复用），求走到任意一个格子上的最小费用。
转化能走到每一个格子的条件为选出若干个杆子 \(\gcd_{v_i}=1\)。发现钦定某个杆子必选以后最多只有 \(\log\) 个质因数，爆搜即可。
C
不是很会描述。
考场上脑子太死了。考虑先把原序列分为一个个块，设块的个数为 \(m\)，那么有 \(m!\) 种排列符合条件，但是这样做是忽略了两个块拼成一个块的情况，考虑容斥，设合并后块的个数为 \(x\) 那么贡献是 \(x!\times 2^{d}\times(-1)^{m-x}\)，这里的 \(d\) 是不为 \(1\) 的个数，次幂是因为长度不为一的块可以左右调换。
直接做是 \(O(n^3)\) 的，考场倒在这里是没想到的。把容斥系数装进 \(dp\)。令 \(f_{i,j}\) 为处理完前 \(i\) 个块，合并完剩下 \(j\) 个块的答案。
如果 \(a_i=1\) 有 \(f_{i,j}=f_{i-1,j-1}\times(-1)\times j\)，否则 \(f_{i,j}=f_{i-1,j-1}\times(-2)\times j\)
如果不从 \(i-1\) 转移过来那么填入的数肯定不是 \(1\) 了。
\(f_{i,j}=\sum_{k=0}^{i-2}f_{k,j-1}\times(-2)\times j\)
容易优化。
D
好像是 border 论啥的，不会。
11.28
简单写一下。
A
求有多少个可重集的和等于 \(n\)，其中 \(n\le10^5\)。
根分，如果可重集只有 \(\le \sqrt n\) 的数，可以用完全背包，发现这个时候集合大小是大于的 \(\sqrt n\)。
集合小于等于 \(\sqrt n\) 可以 \(dp\)，令 \(f_{i,j}\) 为 \(i\) 个元素，和为 \(j\)。两种转移，一种是直接加入一个 \(1\)，另外一种是全部加一。
B
不难的题。给 \(l_i,r_i,w_i\) 表示将编号在 \(l_i\) 到 \(r_i\) 之间的点两两之间连一条权值 \(w_i\) 的边，求 \(1\) 到 \(n\) 的最短路长度。
考虑一个点 \(u\) 从 \(v\) 转移过来，如果转移过来的这条边对应的 \(l_i \le v\) 那么可以也从 \(l_i\) 转移，所以按 \(l_i\) 扫描线，每次到 \(r_i\) 与 \(w_i+dis_i\) 取 \(\min\)，其中 \(dis_i\) 表示走到 \(i\) 的最短路径长度。
D
给一棵树，两个聪明人玩游戏，轮流移动旗子，限制要比上一个人移动的距离远，走不了时游戏结束，求旗子在树上的每一个点是先手必胜还是后手必胜。
考虑一个链编号为 \(1\dots n\)，显然旗子在 \(1\) 和 \(n\) 先手必胜，往内缩，考虑 \(2\) 和 \(n-1\)，发现我们可以走对应的点使得对手下一步走到 \(1\) 或 \(n\)。
一直往内缩，如果长度为奇数则中间那个点是后手必胜，先手不管走到哪都是先手必胜点，其余情况都是先手必胜。
考虑树，把树的直径拉出来，发现树的直径以外的点实际上可以在直径找到和他等价的点，做法同链。
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