莫比乌斯反演小计

去年学了，去年忘了，今年再学，今年似了。

引入 狄利克雷卷积

定义乘法卷积：\((f * g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)

实际上可以理解为一个两个函数的卷积就是一个新函数。

满足交换律（显然）。

满足结合律感性，理解就是枚举三个数乘积一定，你先枚举那两个数都对结果没有关系。

若 \(f,g\) 都为积性函数，则 \((f*g)\) 也是积性函数，证明 \(bdfs\)。

积性函数

对于 \(x\bot y\)，都有 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则称 \(f(x)\) 为积性函数。

对于任意 \(x,y\)，都有 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则称 \(f(x)\) 为完全积性函数。

基础函数

\(\epsilon(n) =[n=1]\) 元函数，可以感性理解为 1，有 $f * \epsilon = f $。

\(I(n)=1\) 恒等函数。

\(id(n)\) 单位函数。

反演

有 \(g=(f * I) = \sum_{d|n}f(d)\)，若已知 \(g\) 怎么去求 \(f\) 呢。

乘法中，除以一个数等于乘以该数的逆元，这里我们可以同样运用逆元的思想，则有 \(g*I^{-1}=f\)，在这里元函数的逆是什么呢，其实就是我们的莫比乌斯函数。

知道莫比乌斯函数就可以求解，由于 \(I*\mu=\epsilon\)，可以求解 \(\mu\) 的值。

\(\mu(n) = \begin{cases}1 &, n = 1 \\(-1)^m &, n = p_1p_2 \cdots p_m \\0 &, \mathrm{otherwise}\end{cases}\)

其中 \(p_1,p_2, \cdots, p_m\) 是不同的质数。\(\mu(n)\) 恰在 \(n\) 无平方因子时取值非零。显然 \(\mu\) 是积性函数，可以用线性筛做。

还有欧拉反演，就是以 \(\varphi * I = id\) 为基础求逆。

用途

迫害互质（来自\(\text{command_block}\)）。

\[\sum_i\sum_j [\gcd (i,j) = 1] \]

\([\gcd(i,j)=1]\) 等价于 \(\epsilon(gcd(i,j))\)，带入 \(\epsilon=I*\mu\)。

\[\sum_i\sum_j\sum_{d|gcd(i,j)}\mu (d) \]

也就是

\[\sum_i\sum_j\sum_{d|i,d|j}\mu (d) \]

换元

题面、

前面的式子很好推，自己练一练化成下面的式子。

\[\sum_{d=1}^n d^k \sum_{x=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \lfloor \frac{n}{dx} \rfloor \lfloor \frac{m}{dx} \rfloor \mu(x) \]

可以将令 \(T=dx\)，化简为：

\[\sum_{T=1}^n \lfloor \frac{n}{dx} \rfloor \lfloor \frac{m}{dx} \rfloor \sum_{d|T} d^k\mu(x) \]

后半部分就变成了 \(id * \mu\) 了，显然为积性函数可求，推导过程这里省略。