[ARC101E] Ribbons on Tree-

题目

题意

给定一个树，节点数为 \(n\)，将树上节点两两配对，对于每一对节点把路径染色，求所有边都被染色的配对方案数。

\[n\le5000，2 | n \]

解法

首先对于 \(n\) 个点，随意配对方案为 \(\prod_{n/2}^{i}i\times2-1\)，记为 \(g(j)\)。

考虑容斥，钦定断掉指定的 \(k\) 条边形成 \(k+1\) 个联通块，每个联通块内的方案数就是 \(g(siz(u))\times(-1)^k\)。

可以做个树型dp，设 \(f_{i,j,k}\) 为子树 \(i\)，且该点所在联通块的大小为 \(j\)，断边有 \(k\) 条，显然不可行。

我们考虑减少状态，我们直接让方案数带上我们的系数，减去第三维。在方案数带上系数的情况，状态转移有所改变。注意状态这里是没有计算当前连通块的方案数的。

\[f_{u,j}\times f_{v,k} \to f_{u,j+k} \]

\[f_{u,j}\times f_{v,k}\times -g_k \to f_{u,j} \]

第一种就是 \(u\) 到 \(v\) 的边连上，第二种断开，此时就会多一个断边，所以乘一个 \(-1\)。
最后计算答案不需要乘 \(-1\) 因为根节点没有断边。

理解的话，断边那里就是你钦定多断一条，就是联通块多一个。