[AGC001F] Wide Swap 题解

有点激动。

题面

题意

给出一个元素集合为 \(\{1,2,\dots,N\}\) \((1\leq N\leq 500,000)\) 的排列 \(P\)，当有 \(i,j\) \((1\leq i<j\leq N)\) 满足 \(j-i\geq K\) \((1\leq K\leq N-1)\) 且 \(|P_{i}-P_{j}|=1\)时，可以交换 \(P_{i}\) 和 \(P_{j}\)。

求：可能排列中字典序最小的排列。

\(n\le5\times10^5\)。

推导

值域的限制难以处理，令 \(B_{P_i}=i\)，那么条件转化过来，就是位置相邻，且值相差大于等于 \(K\)，即可交换。

这个 \(B_i\) 表示的是第 \(i\) 的位置，那么 \(P_i\) 字典序最小正价于 \(B_i\) 字典序最小。

比较暴力的想法就是每次找最小的数的位置暴力向左跳，复杂度为 \(O(n^2)\)。

我们发现如果这个数往左跳不过去有两种情况，一种是左边的数要小于这个数，第二种是有 \(k\) 的限制，显然这两种限制都是针对全局的，也就是说如果这个子区间他的顺序确定了，那么在全局中他的顺序也不会改变。

这里可以归并排序。

左右的子区间顺序都是一定的。因为你把左边的数插到右边 \(x\) 的位置，右边 \(x\) 前面的数对其有 \(k\) 的限制，所以我们从整个区间的最右边加入。

插入优先考虑 \(k\) 的限制，这是硬性的，如果左边不能插进去这个位置，就加入当前右区间的最右边，或者你当前左边的数要小于右边的数，也调整右区间，否则加入左区间最右边的数。

判断是否被 \(k\) 限制还需要树状数组，所以时间复杂度加两只 \(\log\)。