P4597 序列 sequence 题解

题面

题意

给定一个序列，每次操作可以把某个数 \(+1\) 或 \(−1\)。要求把序列变成非降数列。

\(n\le5\times10^5\)，\(|a_i|\le10^9\)

考虑一种 \(dp\) 做法，设 \(f_{i,j}\) 为考虑前 \(i\) 个数，第 \(i\) 个数取值为 \(j\) 时的最小代价。

有转移 \(f_{i,j}=\min{\sum_{k=1}^{j}f_{i-1,k}+|a_i-j|}\)。

设 值域为 \(m\)。

通过前缀 \(\min\) 可以 \(O(nm)\) 得到。

重点

考虑优化，\(dp\) 拍到坐标系中，从绝对值下手，考虑加入一个绝对值函数，再做前缀和。

按绝对值分讨，\(a_i\) 左边线段相当于斜率 \(-1\)，右边线段相当于斜率 \(+1\)。

加上前缀 min，显然满足单调不升，维护一个下凸壳。最后在判断最后面的斜率大于 \(0\) 的删去（翘起被前缀min删去）。