arc148 abcde 题解

A

B

C

题面

给你一颗有根树，每个节点是黑色或白色，初始全为白色。
每次询问给出一个点集 \(S\)，把点集中的点全部染成黑色，问至少需要翻转多少个节点使整棵树全为白点，无解输出 \(-1\)。

\[n\le 2\times 10^5 \]

翻转的定义为：将节点 \(u\) 及其子树中所有节点颜色翻转。

暴力做法：从父亲开始做，如果该点为黑色则翻转整个子树再往下做。

正解：父亲做一次，翻转整个子树，父亲的儿子状态也会改变，相当于对儿子的子树翻转一遍，所以改变状态的只有该点和其直接儿子。

D

题面

场上 \(2N\) 个整数， Alice，Bob轮流取数，Alice 先手，如果最终 Alice 取出的数字的和，与 Bob 取出来数的和，模 \(M\) 后的结果相等，那么 Bob 获胜，否则 Alice 获胜。

从最后开始想，设 A 取值为 \(x\)， B 取值为 \(y\)，剩下两个数分别为 \(a\) 和 \(b\)。

如果 B 获胜则必须满足：

\[x+a \equiv y+b \pmod M \]

且

\[x+b \equiv y+a \pmod M \]

两式相减得到 \(2a \equiv 2b \pmod M\)，是 B 获胜的必要条件。

容易发现满足 \(2a \equiv 2b \pmod M\) 只有两种可能，要么本身相同，要么其中一个取模。

对于把他们两两分组，若取一组中的一个，则下一手取这一组的另一个，对于上面两种情况，第一种没有贡献，第二种使两个人的差增加 \(\frac{M}{2}\)，所以第二种对数必须为偶数。

E

题面

给定长度为 \(n\) 的数列 \(\{a_i\}\) 和一个自然数 \(K\), 可以将 \(\{a_i\}\) 打乱顺序重排，问多少种结果序列满足 \(\forall i \in [1,n), a'_i + a'_{i+1} \ge K\)。 答案对 \(998244353\) 取模。

\[n\le 2 \times 10^5 \]

\[0 \le a_i,k\le10^9 \]

神奇题。

分成两类，一类大于等于 \(\frac{k}{2}\)，一类小于，这里除法是保留小数而非向下取整，因为是方案数有相同，要先去重。

两条限制：

• 两个属于第二类的数不能相邻。

• 对于一个第一类的数和一个第二类的数，设 \(y \ge \frac{k}{2}\)，\(x < \frac{k}{2}\) 则有 \(|y-\frac{k}{2}|\ge|x-\frac{k}{2}|\)

按上面绝对值排序，相同则第一类优先，这样就能处理第二个限制，处理第 \(i\)，分两类做。

设该类数的个数为 \(cnt\)，\(s\) 为现在可放的位置。

• 第二类的数

因为两两间不能相邻，所以方案数为 \({s}\choose{cnt}\)，\(s\) 减去 \(cnt\) （接下来不能放这个数旁边）。

• 第一类的数

两两间可以相邻，而且前面第二类数不能相邻，同上，所以方案数为 \({s+cnt-1}\choose {s-1}\)，\(s\) 加 \(cnt\) （接下来的数可以放在这个位置）。