CF1608F MEX counting 题解

题面

题意

给定 \(n\) 和 \(k\) 和一个长度为 \(n\) 的整数序列 \(b\) 。

求有多少个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 满足对于任意的 \(1 \le i \le n\) 都有：

• \(0 \le a_i \le n\)
• \(|MEX(a_1,a_2,\dots,a_i)-b_i| \le k\)

其中 \(MEX(c)\) 表示 \(c\) 中没出现过的最小的非负整数。

答案对 \(998244353\) 取模

\(n \le 2000\) , \(k \le 50\)

推导

首先可以肯定的是，mex 不降，那我们分类讨论一下。

当前填的数小于大于 mex，那么mex不变。

当前填的数等于 mex，那么mex变大，但不确定到底变大多少，比方说下图。

总结一下，发现有用的只有三个值，已经填了多少个数，当前的mex是多少，有多少种比mex大的数，这里比mex大的数，我们不关心它到底为多少，只要大小关系就行，我们在最后乘上组合数即可。

转移也和上面一样分类讨论。

mex不变：

填小于 \(j\) 的数或大于 \(j\) 且属于那 \(k\) 种：\(f_{i,j,k} \to f_{i+1,j,k}\times (j+k)\)。

填大于 \(j\) 且不属于那 \(k\) 种，因为我们不关心取值，有 \(k\) 种，就有 \((k+1)\) 个间隔.

所以：\(f_{i,j,k} \to f_{i+1,j,k+1}\times (k+1)\)。

mex如果变得话，枚举他的mex跳到哪，设为 \(x\)。

可以发现，如果直接从 \(j\) 跳到 \(x\)，中间就有 \(x-j-1\) 个大于 \(j\) 的数。

\(f_{i,j,k} \to f_{i+1,x,k-(x-j-1)}\)

注意到 \(x + k-(x-j-1)\) 等于 \(k+j+1\) 是定值，可以优化。

如果直接设 \(f_{i,j,k}\) 为上述三个值，空间复杂度为\(O(n^3)\)，爆炸。可以发现对于第 \(i\) 个数，由于第二条限制，mex只有至多 \(2k\) 种选择，我们只取这几种即可，然后第一维可以滚掉，空间复杂度优化到 \(O(nk)\)。

代码细节很多，注意转移时 \(b_i\) 和 \(b_{i+1}\) 范围的变化。