数论日志20201017
gcd & lcm
概念
\(a,b\) 最大的共同的约数叫做 \(a,b\) 的最大公约数。
一般写作 \(\rm gcd(a,b)\) 或 \((a,b)\)。
\(a,b\) 最小的共同的倍数数叫做 \(a,b\) 的最小公倍数。
一般写作 \(\rm lcm(a,b)\) 或 \([a,b]\)。
性质
将 \(a,b\) 写成质数乘积的形式，
\(a={p_1}^{c_1} \times {p_2}^{c_2} \times\dots\times {p_k}^{c_k},b= {p_1}^{d_1} \times {p_2}^{d_2} \times\dots\times {p_k}^{d_k}\)。
\(\rm gcd(a,b) = {p_1}^{min(c_1,d_1)} \times{p_2}^{min(c_2,d_2)}\times\dots\times {p_k} ^ {min(c_k,d_k)}\)。
\(\rm lcm(a,b) = {p_1}^{max(c_1,d_1)} \times{p_2}^{max(c_2,d_2)}\times\dots\times {p_k} ^ {max(c_k,d_k)}\)。
\(a\times b=\rm gcd(a,b)\times lcm(a,b)\)。
欧几里得算法求最大公约数
\(\gcd(a,b) = \gcd(b,a\bmod b)\)。
int gcd(int a, int b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
互质
两个数 \(a,b\) 如果 \(\gcd(a,b)=1\)，那么 \(a,b\) 互质，记作 \(a\perp b\)。
威尔逊定理
一个素数 \(p\)，一定满足 \((p-1)!\equiv-1(\bmod p)\)。
一个自然数 \(p\)，如果满足 \((p-1)!\equiv-1(\bmod p)\)，则一定是素数。
费马小定理
内容
一个整数 \(a\) 和一个素数 \(p\)，并且 \(a \perp p\)，那么 \(a^p \equiv a(\bmod p)\)，也可以写成 \(a^{p-1}\equiv 1(\bmod p)\)。
降幂
\(a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)\)
\(a^{p-1} \equiv a^{(p-1)\bmod (p-1)}(\bmod p)\)
\(a^{x} \equiv a^{x\bmod (p-1)}(\bmod p)\)
费马小定理求逆元
若模数为质数 \(p\)，那么根据费马小定理 \(a ^{p-1} \equiv 1(\bmod p)\)，那么 \(a ^{p-2} \equiv a^{-1}(\bmod p)\)，即 \(a^{p-2}\) 是 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的逆元。
欧拉函数
内容
\(\varphi(x)\) 表示的是小于等于 \(x\) 的数中和 \(x\) 互质的数的个数。
\(\varphi(x) = \sum\limits_{i=1}^{x-1} [\gcd(i,x)=1]\)，其中方括号是艾佛森括号。
性质
-
如果 \(p\) 是质数，那么 \(\varphi(p)=p-1\)。
-
欧拉函数是积性函数。
-
当 \(n\) 为奇数时，\(\varphi(2\times n) = \varphi(n)\)。
-
由唯一分解定理，\(n=\prod_{i=1}^{k}{p_i}^{a_i}\)，\(\varphi(n) = \prod_{i=1}^{k}\varphi({p_i}^{a_i})\)。
-
\(n=\sum_{d|n} \varphi(d)\)。
-
如果 \(n=p^k\)，其中 \(p\) 是质数，那么 \(\varphi(n) = p^k - p^{k-1}\)。
-
由唯一分解定理，\(n=\prod_{i=1}^{k}{p_i}^{a_i}\)，\(\varphi(n) = n\times \prod_{i=1}^{k}(1-\dfrac{1}{p_i})=n\times \prod_{i=1}^{k}\dfrac{p_i-1}{p_i}\)。
求单个数的欧拉函数
根据欧拉函数的通式：
将 \(n\) 分解质因数得，\(n={p_1}^{a_1}\times{p_2}^{a_2}\times\dots\times{p_k}^{a_k}\)。
\(\varphi(n) = n\times \prod_{i=1}^{k}(1-\dfrac{1}{p_i})=n\times \prod_{i=1}^{k}\dfrac{p_i-1}{p_i}\)。
int euler_phi(int n) {
int m = int(sqrt(n + 0.5));
int ans = n;
for (int i = 2; i <= m; i++) {
if (n % i == 0) {
ans = ans / i * (i - 1);
//ans = ans / i * (i - 1) = ans * (i - 1) / i
//先除再乘是为了防止数太大。
while (n % i == 0) n /= i;
}
}
if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
return ans;
}
线性筛欧拉函数
void phi_table(int n, int* phi) {
for (int i = 2; i <= n; i++) phi[i] = 0;
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
if (!phi[i])
for (int j = i; j <= n; j += i) {
if (!phi[j]) phi[j] = j;
phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
}
}
欧拉定理
如果 \(\gcd(a,n)=1\)，则有 \(a^{\varphi(n)}\equiv1(\bmod n)\)。
扩展欧拉定理
内容
例题
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 10000001
#define int long long
inline void read(int &T) {
int x=0;bool f=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=!f;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
T=f?-x:x;
}
int t,p,prime[MAXN],phi[MAXN],cnt;
bool vis[MAXN];
inline void count(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (!vis[i]) phi[i] = i - 1, prime[++cnt] = i;
for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++)
{
vis[i * prime[j]] = 1;
if (i % prime[j] == 0)
{
phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
break;
}
phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
}
}
}
int qpow(int a,int b,int mod) {
int ans=1,base=a;
while(b) {
if(b&1) ans=(ans*base)%mod;
base=(base*base)%mod;
b>>=1;
}
return ans%mod;
}
int solve(int now) {
if(phi[now]==1) return 2;
return qpow(2,solve(phi[now])+phi[now],now);
}
signed main() {
count(10000001);
read(t);
while(t--) {
read(p);
printf("%d\n",solve(p));
}
}
