离散数学之平面图和涂色问题

复习了下离散，发现图论里面就是对planar graph 没什么印象，所以把它专门拿出来详细的说一下。

应用场景

平面图，顾名思义就是可平面化的图，不管怎么弯弯绕绕的画，总是能把图画在一个平面上。这种图就是平面图，平面图在电子电路的设计和公路网的设计中很是重要。下面是它正经的定义。

Difinition. Planar Graph

A graph is called planar if it can be drawn in the plane without any edges crossing. Such a drawing is called a planar representation of the graph.

那如何来判断一个图是不是可平面的呢？这就要从下面这些公式说起。

Euler's Formula

Let G be a connected planar simple graph with e edges and v vertices. Let r be the number of regions in a planar representation of G. Then, r = e - v + 2.

这个公式不是已知它是个平面图吗，为什么会和判断一个图是不是平面图扯上关系呢，原来我们发现只要是平面图都符合这个公式，那和这个公式相悖的，就一定不是平面图了。
既然这个公式这么重要，那我们来看看它的证明。
它的证明是由数学归纳法给出。
我们考虑对边的数量进行归纳，首先\(e = 1\) 时显然成立的，然后设\(e = k\)时成立，现在来说明为什么\(e = k + 1\)时该式同样成立。
对于这条新加进来的边，有两种情况

1. 把原图中的某一部分重新分成了两部分，此时这条边的两个节点一定是原图中已经存在的节点。该式成立。注意整个平面也是一个区域。
2. 没有新增的区域，此时这条边的有一个节点是支出去在空中的。原式成立。
   
   这张图就充分的说明了这两种情况。

下面还有一些定理可以用来判断一个图不是平面图。
我们需要引入一个新的概念

degree of a region

The degree of a region is defined to be the number of edges on the boundary of this region.
When an edge occurs twice on the boundary, it contributes two to the degree.
简单来说就是围成这个区域的边数，区域内部的边要计算两次。

Corollary 1: If G is a connected planar simple graph with e edges and v
vertices, where \(v \geq 3\), then \(e \leq 3v - 6\).
证明就是利用了欧拉定理，然后想要消去r，观察发现对任意有三个点及以上的区域，\(degree(R) \geq 3\), 而所有区域的度加在一起是边数的两倍，带入不等式，消去r，得证。

Corollary 2: If G is a connected planar simple graph, then G has a vertex of degree not exceeding 5.
证明就是利用上面那个不等式，还有点的度和边数的关系：所有点的度加起来就是边数的两倍，带入证明即可。

Corollary 3: In a connected planar simple graph has e edges and v vertices with \(v \geq 3\) and no circuits of length three, then \(e \leq 2v - 4\).
证明同样是利用欧拉定理，和在"no circuits of length three"的条件下区域数和边数的关系：\(4r \leq 2e\)，带入证明即可。

既然这些定理都可以用于证明一个图不是平面图，那我们来看两个经典的例子：

Show that \(K_5\) is nonplanar.

v = 5 and e = 10.
Using Corollary 1.

Show that \(K_{3,3}\) is nonplanar.
v = 6 and e = 9.
Using Corollary 3.

说了那么多定理，上面的定理都是非平面图的充分条件，那对于非平面图而言有没有充要条件呢？

老玛既然这样问了答案当然是有的。

Kuratowski’s Theorem

elementary subdivision ：If a graph is planar, so will be any graph obtained by removing an edge {u, v} and adding a new vertex w together with edges {u,w} and {w, v}.
就是在一条边的中间加一个点，使一条边变成两条边。

homeomorphic：The graphs G1 = (V1, E1) and G2 = (V2, E2) are called homeomorphic if they can be obtained from the same graph by a sequence of elementary subdivisions.
就是通过上面那种操作可以变成相同的图。

Theorem: A graph is nonplanar if and only if it contains a subgraph
homomorphic to \(K_{3,3}\) or \(K_5\).

举个例子：
注意下图H中def三个点是不能省去的。

我们可以看到G有一个和\(K_5\) homomorphic 的子图，所以不是一个平面图。

说了这么多平面图，它另外一个常见的应用是和涂色理论的结合。
涂色理论中最简单也最常见的问题就是如何给一个图涂色，使得相邻两个区域的颜色不同。常见的限制条件有颜色的数量限制。
A coloring of a simple graph is the assignment of a color to each vertex of the graph so that no two adjacent vertices are assigned the same color.

chromatic number \(\chi(G)\)

The chromatic number of a graph is the least number of colors needed for
a coloring of this graph, denoted by (G).
就是在满足条件下的最少使用的颜色数量。

Theorem (Four Color Theorem):

The chromatic number of a planar graph is no greater than four.
对于平面图而言，颜色最多不超过4个。

对于\(K_n\)而言，颜色是n个。
对于\(k_{m,n}\)而言，颜色是2个，毕竟它是个二分图嘛。
对于n个点的环\(C_n\)而言，如果n是偶数，就只需要两个颜色；如果n是奇数，就需要三个颜色。

总的而言，graph coloring 是个NP-complete 问题。四色定理也很难证明，不过听说最近有两位数学家给出了非常简洁的证明。期待一下。
既然四色定理证不出来，我们退而求其次从六色定理开始证明，然后去证五色。

Theorem (Six Color Theorem):

The chromatic number of a planar graph is no greater than six
证明的过程就是数学归纳法，对组成图的点数n进行归纳，由之前的corollary2，图上由一个度小于等于5的节点，把那个节点去掉就如何k个节点的情况，再加上，就符合k+1个节点的情况了。

Theorem (Five Color Theorem):

The chromatic number of a planar graph is no greater than five.
五色定理同样采用数学归纳法证明。同样是对点数n进行归纳。
同样我们考虑corollary2中的那个度小于等于5的节点。对它进行分类讨论。

由此，平面图和涂色理论也就梳理到这里啦~ 小玛要gun去做离散作业啦~