字典树 (Trie) 入门

1. 什么是字典树？

想象一下你查英语字典。
当你要查单词 "apple" 时，你不会把字典里几万个词从头看一遍。你会：

先翻到 a 开头的区域；
在 a 里面找到 p；
再往下找 p... 直到找到 l 和 e。
字典树（Trie） 就是把这个过程具象化的一种数据结构。

它的样子：一棵多叉树。
它的边：每条边代表一个字符。
它的节点：节点本身不存字符，节点代表“走到这里组成的字符串”。
它的核心优势：高效解决“前缀”问题。比如查“有多少个单词是以 app 开头的”，Trie 比哈希表强得多。

2. 核心原理

我们要怎么用树存下单词"abc",“abb”,“bca”,"bc"呢？见图

根节点：是空的（起点）。
第一层：只有两条边 a , 'b'，通向一个节点（代表前缀 "a" 和 "b"）(所有我们要存储的单词都以这两个字母开头)。
第二层：从 "a,b" 节点出发，有两条边 a -> b ,'"b -> c'，通向新节点（代表前缀 "ab" 和 "bc"）。
第三层（分叉了！）：
从 "bc" 节点出发，有一条边 a -> 结束（代表 "bca"）。
从 "ab" 节点出发，有一条边 b -> 结束（代表 "abb"）。
有一条边 ab -> 再接 c -> 结束（代表 "abc"）。
发现了吗？ abb, abc, 的前两个字母 ab 在树上是共用的。这就是 Trie 节省空间和查询快的原因。

3. 代码实现（静态数组版）

最常用的是静态数组模拟，比指针版好写且不易出错。

3.1 变量定义

const int N = 100005; // 预计所有单词的总长度之和

// son[p][u] 表示：节点 p 的第 u 个子节点是谁
// u 代表字符，比如 'a'是0, 'b'是1 ... 'z'是25
int son[N][26]; 

// cnt[p] 表示：以节点 p 结尾的单词有多少个
int cnt[N]; 

// idx 表示：当前用到了第几个节点（类似身份证号分配器）
int idx; 

3.2 插入操作 (Insert)

逻辑：顺着树往下爬，路通就走，路不通就修路（新建节点）。

// 插入一个字符串 s
void insert(string s) {
    int p = 0; // p 是指针，从根节点(0)开始
    for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
        int u = s[i] - 'a'; // 将字符 'a'-'z' 映射为数字 0-25
  
        // 如果当前节点 p 没有对应字符 u 的路，就新建一个节点
        if (!son[p][u]) son[p][u] = ++idx;
  
        // 走到下一个节点
        p = son[p][u]; 
    }
    // 循环结束，p 停在了单词的最后一个字符节点上
    cnt[p]++; // 标记一下：这里是一个单词的结尾
}

3.3 查询操作 (Query)

逻辑：顺着树往下爬，如果在中间断了，说明单词不存在。

// 查询字符串 s 出现了多少次
int query(string s) {
    int p = 0;
    for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
        int u = s[i] - 'a';
        // 如果路断了，说明没有这个单词
        if (!son[p][u]) return 0;
        p = son[p][u];
    }
    // 走完了，返回记录的次数
    return cnt[p];
}

4. 只有这两个操作吗？（进阶一点点）

Trie 的强大之处在于修改 cnt 数组的含义。

场景 A：找前缀 (Prefix Count)
题目：给你一堆单词，问有多少个是以 "app" 开头的？
修改：

在 insert 里的循环内部，每次 p = son[p][u] 之后，都执行 cnt[p]++。
这表示：有一个单词经过了节点 p。
查询时走到 "app" 的末尾节点，直接返回那个节点的 cnt 即可。
场景 B：判断是否存在 (Boolean)
题目：问单词是否存在？
修改：

cnt 不需要是 int，可以是 bool is_end[N]。
结尾时 is_end[p] = true。

5. 初学者必坑指南

空间开多大？

数组 son 的大小 N 不是单词个数，而是所有单词长度的总和。
例如：10⁴个单词，每个长10，N 就要开 10⁵ 。
小心内存爆炸：int son[100000][26] 约占 10MB，如果是 long long 或 N 再大点就要注意了。
多组数据初始化

如果题目有多组测试数据，不要用 memset(son, 0, sizeof(son))！这会超时。
正确做法：把 son 和 cnt 数组里用过的部分清零，或者简单的把 idx = 0，并且在 insert 时如果遇到旧数据覆盖掉（稍微复杂点，初学者建议老老实实写循环清空 0 到 idx 的范围）。
字符映射

如果题目包含大写字母或数字，u = s[i] - 'a' 就不够用了。
可能需要写个小函数 int get_id(char c) 把字符映射到 0-62 之间。