学习笔记·堆优化$\mathscr{dijkstra}$

嘤嘤嘤今天被迫学了这个算法……其实对于学习图论来说我内心是拒绝的\(\mathscr{qnq}\)

由于发现关于这个\(\mathscr{SPFA}\)的时间复杂度\(O(kE)\)中的\(k \approx 2\)好像只针对于稀疏图？\(emmm\)想不到时间复杂度居然还有数据分治这一说\(ORZ\)

好的，对于我的图论而言，好像只会\(MST\)、\(\mathscr{MT \ \ Law}\)和最短路？哦呵呵呵呵那可真优秀啊\(QAQ\)

要不是今天上午学了堆优化的，没准我连普通的都不会了！

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回归正题，最朴素的\(\mathscr{dijkstra}\)的思想是我们要从已知的点里面选一个离源点最近的，然后以此不断松弛周围的点（代码显性），并保存这个点的最短路（代码隐性）。而\(dijkstra\)遵循的是贪心思想，就是在边权都是正的的情况下，当前找到的最短路一定是对于这个点全局最优，因为不会再有更短的路径了——而显然这个贪心在有负权边的时候的错误的。

于是我们发现，对于其中“找到最近的点”，即当前记录的\(dist_i\)最小的\(i\)，是有优化性可言的。朴素是\(O(n)\)的查询，加上堆之后就可以变成\(O(logn)\)。所以原本时间复杂度\(O(mn)\)的\(dijkstra\)就可以优化成\(O(mlogn)\)，并且相对稳定。

于是核心的代码就是这一部分啦~

inline void dijistra(){
    fill(dist + 1, dist + N + 1, 2147483647) ; 
    q.push((node){S, 0}) ; dist[S] = 0 ;
    while(!q.empty()){
        node qwq = q.top() ; q.pop() ;
        x1 = qwq.t, x2 = qwq.v ;
        if(vis[x1]) continue ; vis[x1] = 1 ;
        for(k = head[x1]; k ; k = e[k].next){
            dist[e[k].to] = min(dist[e[k].to], x2 + e[k].v) ;
            q.push((node){e[k].to, dist[e[k].to]}) ;
        }
    }

\(qwq\)就这样了