莫比乌斯反演

实际上并没有，只是用来暂时整理一个公式而已：

\(\sum\limits_{d|n}^{}{\varphi(d)}=n\)

那么这个怎么证明呢\(qwq\)？这里整理一种\(rqy\)讲的三种方法之一我最能理解的一种吧。

我们设\(f(n)=\sum\limits_{d|n}^{}{\varphi(d)}\)

那么由于\(\varphi(d)\)是积性函数，所以很显然\(f(n)\)也是积性函数，所以我们考虑\(n\)的标准分解式$$n=p_1^{q_1}p_2p_3^{q_3}....p_k$$

对于其中的任意一项\(p_i^{q_i}\),我们都有$$f(p_i^{{q_i})=1+p-1+p(p-1)+p}2(p-1)...+p^{{q_i-1}(p-1)$$也就是$$f(p_i})=1+(p-1)\frac{p^{{q_i}-1}{p-1}$$所以有$$f(p_i})=p_i^{q_i}$$

那么根据其积性，可以得出$$f(n)=n$$即$$\sum\limits_{d|n}^{}{\varphi(d)}=n$$