2.16 求最长递增子序列

问题：求序列a1,a2......an的最长递增子序列

1. 复杂度为O（n2）的算法。

最优子结构分析，假设以ai为最后一个元素的最长递增子序列S，其长度为L，ak为最长递增子序列中满足k<i且ak<ai的k最大的一个，也就是在递增序列中ai的前一个元素，那么以ak为最后一个元素的最长递增子序列必定是S-ai，其长度为L-1。用反证法证明：假设存在以ak为最后一个元素的递增子序列的长度大于L-1，那么肯定存在长度大于L的以ai为最后一个元素的子序列S1，产生矛盾。

递归的定义最优解：假设L[i]表示以ai为最后一个元素的最长递增子序列的长度。L[i]=Max{L[k]+1, 1} 1=<k<i && ak<ai，有了这个递归式之后代码可以很简单的写出，代码如下：

//复杂度为n平方的算法
 int LongestIncreaseSequen(int data[], unsigned int length)
{
    int b[20];//就是上述说明中的L[i]
     int c[20];//为了构造最优解，使用的数据结构
    b[0] = 1;
    for (int i=0; i<length; i++)
    {
        b[i]=1;
        c[i]=-1;
        for (int j=0; j<i; j++)
        {
            if (data[i]>data[j] && b[j]+1>b[i])
            {
                b[i] = b[j]+1;
                c[i] = j;
            }
        }    
    }

    //下面的代码是输出就有结果
    int Max = 0;
    int index = 0;
    for (i=0; i<length; i++){
        if (b[i]>Max)
        {
            Max = b[i];
            index = i;
        }
    }
    int temp = c[index];
    cout << b[index] << endl;
    cout << data[index] <<"  ";
    while (temp != -1)
    {
        cout << data[temp] << " ";
        temp = c[temp];
    }
        
    return Max;
}

解法二：复杂度为nlg(n)的算法

《算法导论》上关于这个的提示，反正我是没看明白，不知道大家看明白了没有。这里说说我的理解，其实要把算法复杂度由n降到lg(n)，我觉得应该首先要考虑下能不能使用二分法。这道题目就是应用的二分查找。一般来说要降低算法的复杂度，一个途径是增加空间消耗，还有一个途径就是利用更多的信息。其实《算法导论》上的提示应该是：长度为i的子序列的最后一个元素的最小值B[i]肯定大于长度为i-1的子序列的最后一个元素的最小值B[i-1]。回到问题本身如果a[j]大于当前B[]数组中的最大值那么说明原问题的递增子序列的长度Len可以加1，而且要更新数组B；当不大于的时候也要相应的更新B数组，这里的更新就用到了二分查找，比如说找到了a[j]大于B[k]且小于B[k+1]说明子序列长度为k+1的最后一个元素的最小值要更新为a[j]。B数组肯定是有序的。代码如下：

int BinSearch(int *B, int len,int w){
    int left = 0;
    int right = len-1;
    int mid;
    while (left<=right)
    {
        mid = (left+right)/2;
        if (B[mid] == w)
        {
            return mid;
        }
        if (B[mid]<w)
        {
            left = mid + 1;
        }else{
            right = mid - 1;
        }    
    }
    return (B[mid] > w)?mid:mid+1; 
}

//nlg(n)的算法
int LIS(int data[], unsigned int length)
{
    int B[10]; //b[c]中存放的是当前长度为c的递增子序列的最后一个元素的最小值
    B[0] = data[0];
    int len = 1;
    for(int i=1; i<length; i++)
    {
        if (data[i] > B[len-1])
        {
            B[len] = data[i];
            len++;
        }else
        {
            int pos = BinSearch(B, len, data[i]);
            B[pos] = data[i];
        }
    }
    return len;
}