0-1背包和完全背包

　　一直以来对动态规划这个词都是怀着一种敬畏的心情去看待的，首先是刚开始接触的时候不是很理解这到底是神马东西，现在终于知道是神马了，但是又发现自己根本不会用这种方法，不知道有没有什么好的办法。我觉得吧，这东西还要多练习能用动态规划解决的经典问题，从中得到一些所谓只能意会不能言传的感性认识，这样才能在碰到新问题的时候用动态规划的思想去试着解决。下面首先还是复习下动态规划的基本概念吧，有人可能觉得这些概念根本没有用，但是我想说的是如果连这些基本概念都不懂的话，我认为你是不可能学会动态规划的。

　　动态规划适用于求解“最优化问题”，也就是类似最大XX，最小XX的问题。动态规划的基本思想是将待求解的问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适用于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是相互独立的。其实能够用动态规划解决的问题用递归的方法肯定也能够解决，但是如果使用递归来解决可能会重复计算某些子问题的结，因为递归的方法是自顶向下求解的。但是动态规划是自底向上的求解问题，将得到的子问题的解存放在一个数据结构中，在计算规模更大的子问题的时候如果需要用到子问题的解，可以直接通过查表得到，不需要重复计算。

　　一般解动态规划问题的步骤：

1. 找到最优解的性质并刻画其结构特征
2. 递归的定义最优值
3. 自底向上的方式计算最优值
4. 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解

动态规划的基本要素：

1. 最优子结构：一个问题的最优解包含了其子问题的最优解，这种性质就叫最优子结构。在分析一个问题是否具有最优子结构时可以用到的方法：首先假设从问题的最优解得到的子问题的解不是最优的，然后想办法说明在这个假设下，可以构造出比原问题最优解更优的解，从而导致矛盾。利用问题的最优子结构性质，可以自底向上的由子问题的最优解得到问题的最优解。具有最优子结构是一个问题能使用动态规划方法求解的前提。一个问题可能具有多个最优子结构，选择合适的最优子结构，是能不能降低算法复杂度的关键。
2. 重叠子问题：使用递归算法求解问题时，不是每次产生的子问题都是新问题，有的子问题会被重复多次的计算，这种性质就是子问题的重叠性质。

写了这么多的概念，下面来求解动态规划的经典问题：背包问题。

• 0-1背包

首先分析0-1背包问题的最有子结构：定义f[i][v]表示前 i 种物品放入容量为v的背包中可以得到的最大价值。对于第 i 件物品来说，有两种选择，(1)不放入背包(2)放入背包，对于前 i 件物品可以获得的最大价值为两种情况的最大值，即：f[i][v] = MAX{f[i-1][v], f[i-1][v-v[i]]+w[i]}，可以看到01背包有很明显的最有子结构。只要有了边界条件，就可以很容易的自底向上的计算问题的最优解即f[n][c](n为物品的总数，c为背包的容量)。f[0][1...c]=0, f[0...n][0]=0. 当你注意到计算f[i][1...c]只使用了f[i-1][1...c]有关的值的时候，可以想象，只用一个一维数组就可以得到最终的结果。具体的代码见文章末尾。

• 完全背包问题

完全背包问题可以转化为0-1背包问题来求解，但是复杂度很高，还可以用二进制分解，这些都是在背包九讲中看的，这里只介绍最简单也是最有效的一种方法。对于完全背包问题，对于物品 i 来说可以有很多种选择，因为理论上可以放入无限多件，但是对于第i 种物品来说，也是只有两种选择：(1)不放入背包(2)放入背包。对于（1）很明显可以表示为f[i-1][v]，对于（2）第i 种物品放入背包，放多少件不知道，但是至少有一件，对于这一件物品i 首先放入背包，所以背包容量变为v-v[i],这时候又转化为一个子问题，前i件物品放入容量为v-v[i]的背包中能获得的最大价值。所以状态转移方程为：f[i][v] = MAX{f[i-1][v], f[i][v-v[i]]+w[i]}.

具体的实现代码：

// 01背包.cpp : Defines the entry point for the console application.
 //

#include "stdafx.h"
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX(x,y) x>y?x:y

// void Print(int (*data)[201])
// {
//     for (int i=0; i<=8; i++)
//     {
//         for (int j=0; j<=200; j++)
//         {
//             printf("%d  ", data[i][j]);
//         }
//         printf("\n");
//     }
// }

//0-1背包的状态转移方程：f[i][v] = max{f[i-1][v], f[i-1][v-v[i]]+w[i]}
//其中f[i][v]表示前i件物品，放入容量为v的背包中可获得的最大价值
//最有子结构：对于物品i，有两个选择，1.放进背包 2.不放进背包
//放进背包的价值是f[i-1][v-v[i]]+w[i]   不放进背包的价值是f[i-1][v]
//求上面两个的最大值就可以得到最优的f[i][v]
int BeiBao(int w[], int c[], int bagNum, int v)
{
    int f[10][201];
    for (int i=0; i<=bagNum; i++)
    {
        f[i][0] = 0;
    }
    for (i=0; i<=v; i++)
    {
        f[0][i] = 0;
    }

    for (i=1; i<=bagNum; i++)
    {
        for (int j=1; j<=v; j++)
        {
            //f[i][v] = MAX(f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i]);
            int temp1 = f[i-1][j];
            int temp2 = 0;
            if (j < c[i])
            {
                temp2 = 0;
            }else{
                temp2 = f[i-1][j-c[i]]+w[i];
            }
            f[i][j] = MAX(temp1, temp2);
        }
    }
    //Print(f);
    return f[bagNum][v];
}

int BeiBao1(int w[], int c[], int bagNum, int v)
{
    int f[20];
    for (int i=0;i<=v;i++)
    {
        f[i] = 0;
    }
    for (i=1;i<=bagNum;i++)
    {
        for (int j=v;j>=c[i];j--)
        {
            f[j] = MAX(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
        }
        for (int m=0; m<=v; m++)
        {
            printf("%d  ", f[m]);
        }
        printf("\n");    
    }
    return f[v];
}

//完全背包问题：f[i][v] = max{f[i-1][v], f[i][v-v[i]]+w[i]}
//对于容量为V的背包，对物品i有两个选择：1.不放物品i 这时候的最大价值就转化为前i-1个物品放入v背包的问题，即f[i-1][v]
//2.放入物品i    但是这次放物品i不是向上一个状态中放，而是要向当前状态放。所以应该是f[i][v-v[i]]+w[i] 也就是说在当前这件物品i
//放入之前可能已经放入了多件的物品i。
//当前这件物品i放进去之后，背包容量变成了v-v[i],这时候问题已经成为一个子问题：求解前i件物品放入容量为v-v[i]的
//背包中可获得的最优值问题，也就是f[i][v-v[i]]. f[i][v-v[i]]+w[i]也就是放入物品i能得到的最大值；
int CompletePack(int w[], int c[], int bagNum, int v)
{
    int f[11];//v+1个
    memset(f,0,sizeof(f));//将f[i]清空表示当有0件物品的时候可获得的最大价值为0
    for (int i=1; i<=bagNum; i++)
    {
        for (int j=c[i]; j<=v; j++)
        {
            f[j] = MAX(f[j], f[j-c[i]]+w[i]);
        }
    }
    return f[v];
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    //int w[]={0,83,14,54,79,72,52,48,62};
    //int c[] = {0,79,58,86,11,28,62,15,68};
    int w[] = {0,4,5,6};
    int c[] = {0,3,4,5};
    //printf("%d\n", BeiBao1(w,c,3,10));
    printf("%d\n", CompletePack(w,c,3,10));
    return 0;
}