数论学习笔记：积性函数，欧拉函数

积性函数定义

• 定义在$N^{+}$上的函数称为数论函数。
• 如果数论函数$f$对于$\forall p,q\in N^{+}$满足$gcd(p,q)=1$有$f(qp)=f(q)f(p)$那么称为积性函数。
• 如果对$\forall p,q\in N^{+}$有$f(qp)=f(q)f(p)$那么称为完全积性函数。

定理：

如果$f$是积性函数，那么$f$的和函数$F(n)=\sum _{d|n}f(d)$也是积性函数。
注意这个在下面应用中多次使用。

常见的积性函数

恒等函数：$I(n)=1$
单位函数：$id(n)=n$
幂函数：$I_k(n)=n^k$
元函数：$\epsilon (n)=\sum _{i=1}^k[i=1]$其中$[...]$表示是否满足
因数和函数：$\sigma (n)=\sum _{d|n}d$
因数个数：$d(x)=\sum _{d|n}1$
欧拉函数：$\phi (n)=n\prod _{p|m}(1-\frac{1}{p})$

欧拉函数

定义

对于正整数$n$，$\phi (n)$表示小于等于$n$且与$n$互质的正整数个数。
$$\phi (n)=\sum _{i=1}^n[gcd(i,n)=1]$$

我们来找规律：

我们发现：

1. 对于质数2,3,5,7,11,13。欧拉函数为1,2,4,6,10,12。
   所以我们有：
   对于任意质数$n$,$\phi (n)=n-1$
2. 对于$2\times 3=6,3\times 5=15$欧拉函数为$\phi (6)=\phi (2)\phi (3)=2$
   通过这个我们可以知道，欧拉函数是积性函数。

狄利克雷卷积

$$h(n)=\sum _{d|n}f(n)g(\frac{n}{d})$$

我们来卷一个$$\phi (n)I(n)=\sum _{d|n}\phi (d)I(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}\phi (d)$$

我们带入几个数试试：
$n=1:1,n=2:2,n=3:3,n=4:4,n=5:5,n=6:6...$

我们惊奇发现居然就是$n$
即$$\sum _{d|n}\phi (d)=n$$
为什么呢？
我们先介绍

欧拉函数通项公式

我们知道每个正整数可以质因数分解，而对于质数，欧拉函数非常特殊。
那我们设：$n=p_1\times p_2\times p_3\times ...\times p_n$,$p_i$为质数。
$$\phi (n)=(p_1-1)(p_2-1)(p_3-1)...(p_n-1)$$
$$=n\times \frac{(p_1-1)(p_2-1)(p_3-1)...(p_n-1)}{p_1{p}_2{p}_3...p_n}$$
$$=n\times (1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})...(1-\frac{1}{p_n})$$
$$=n\prod _{p|n}(1-\frac{1}{p})$$

这就是欧拉函数的通项公式。
现在我们来看这道题。
$$\sum _{d|n}\phi (d)=n$$

以18为例：

不同颜色的分别对应了
黑色18,红色9,蓝色6,绿色3,黄色2,灰色1
我们发现18能全部遍历到，即是$n$
同理于其他的。