NOIP模拟试题详讲2021/11/6

T1

题目大意：对于一个序列，将其随机排序，求使之单调不下降的期望。答案对1e9+7取模。

送分题，但本蒟蒻做不出来 。
首先我们来看看这个题：
求掷骰子掷到6的期望。

分析：
解法1：
对于掷了x次，就是掷到了概率为P，该次的期望次数就是1，没有掷到概率为$(1-P)$，由于该次没有掷到，所以期望还是E(x)
即
$$E(x)=1+(1-P)E(x)$$
$$E(x)=\frac{1}{P}=6$$

解法2：
根据离散型随机变量期望公式为：
$$E=\sum _{i=1}^{\infty }{X}_i{P}_i$$
如果第一次掷到了6，期望为：
$$E=1\times P$$
如果第二次掷到了6，期望为：
$$E=2\times (1-P)P$$
其中概率等于上一次没有掷到6概率，乘上这一次掷6的概率。
同理，第三次掷到了6,期望为：
$$E=3\times (1-P{)}^{2}P$$
以此类推，我们得到总的期望为：
$$E=\sum _{i=0}^{\infty }(i+1)P(P-1{)}^i$$
所以我们要求
$$E=\underset{i\to \infty }{\lim }\sum _{i=0}^{\infty }(i+1)P(P-1{)}^i$$
最后不 容易得到：
$$E=\frac{1}{P}$$

说了这么多，回到本题。
我们知道序列的全排列数为$n!$，那么将某一位放到正确的位置上的概率为：
$$P=\frac{1}{n!}$$
但注意，序列中可能会有重复，所以去掉重复个数的全排列数，即：
$$P=\frac{\sum x!}{n!}$$
根据上面的，期望即为：
$$E=\frac{1}{P}=\frac{n!}{\sum x!}$$

由于对1e9+7取模，还要用到逆元，先算出$n!$和$\sum x!$，然后求$\sum x!$的逆元即可，逆元传送门这里我使用的快速幂求逆元。
注意：由于已经有序的序列我们要特判！！！
其中使用了一个C++11函数is_sorted,来判断是否有序，如果报错，请在编译选项中加入
-std=c++11
代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

const int N=1e6+5,mod=1e9+7;
ll n,tong[N],x,ans=1,sum=1,a[N];

inline ll qpow(ll a,ll b){
	a%=mod;
	ll cnt=1;
	while(b){
		if(b&1) cnt=(1ll*cnt*a)%mod;
		a=(1ll*a*a)%mod;
		b>>=1;
	}
	return cnt;
} 

int main(){
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
		ans=(1ll*ans%mod*i)%mod;
		tong[a[i]]++;
	}
	ll s=1;
	for(int i=1;i<=1e6;i++){
		sum=1;
		if(tong[i]) for(int j=1;j<=tong[i];j++)
			sum=(1ll*sum*j)%mod;
		s=(1ll*s*sum)%mod;
	}
	if(is_sorted(a+1,a+n+1)){
		cout<<0;
		return 0;
	}
	cout<<((1ll*ans*qpow(s,mod-2))%mod+mod)%mod;
	return 0;
	
}