随机抽样问题

随机抽样问题，要求从N个元素中随机的抽取k个元素，其中N无法确定。
《计算机程序设计与艺术》中的题目，以下是分析求解以及证明的详细过程。

分析：
N个元素中随机抽取k个元素，即使每个元素被抽到的概率都是k/N，所涉及的算法最后也应该保证这个性质。

算法设计：
Reservoir Sampling （蓄水池抽样）：
1.        Init: a reservoir with the size: k
2.        for i=k+1 to N,
3.            M=random(1, i);
4.            if( M <= k)
5.                SWAP the Mth value and ith value
6.        end for
   
证明：
1）初始状态，池中元素为k，每个元素被抽中的概率均为1，算法成立。
2）当i=k+1时，第i个元素被抽中的概率（即M<=k的概率）为k/i；前k个元素不被替换仍在池中的概率为(1-1/i)=k/i；故所有元素被抽中放入池中的概率均为k/i，算法成立。
3）假设i=j时算法成立，即所有元素被抽中放入池中的概率均为k/j；当i=j+1时，要证明所有的元素被抽中放入池中的概率均为k/(j+1)；
首先，根据第j+1个元素被抽中的概率为k/(j+1)，而前j个元素被抽中的概率包括两部分：①在i=j时被抽中（概率为k/j）；②在i=j+1时不被替换（概率为1-1/(j+1)=j/(j+1)）。根据乘法原则，前j个元素被抽中的概率为①②部分的乘积，即k/j*j/(j+1)=k/(j+1)；
由此可得，当i=j+1时，每个元素被抽中的概率均为k/(j+1)，算法成立。

 

参考：http://wansishuang.iteye.com/blog/443902