递归分治 --- 例题3.合并排序

一.问题描述

将n个元素排成非递减顺序

二.解题思路

若n为1,算法终止;否则,将n个待排元素分割成k(k=2)个大致相等子集合A,B,对每一个子集合分别递归排序
再将排好序的子集归并为一个集合

合并排序算法可递归地描述如下:

template<class Type>
void MergeSort(Type a[], int left, int right)
{
	if(left < right)		//至少有两个元素
	{
		int i = (left+right)/2;		//取中点
		MergeSort(a, left, i);
		MergeSort(a, i+1, right);
		Merge(a, b, left, i, right);	//合并到数组b
		Copy(a, b, left, right);		//复制回数组a
	}
}

事实上,算法MergeSort的递归过程(自顶向下)只是将待排序集合一分为二,直至待排序集合只剩下一个元素为止,然后不断合并两个排好序的数组段.

所以,我们可以先将数组a中相邻元素两两配对,用合并算法将它们排序,构成n/2组长度为2的排好序的子数组段,再将它们排序成长度为4的排好序的子数组段.如此不断继续,直至整个数组排好序.

按此思想,消去递归后的合并排序算法可描述如下(仅介绍思想):

template<class Type>
void MergeSort(Type a[], int n)
{
	Type *b = new int[n];
	int s = 1;
	while(s < n)
	{
		MergePass(a, b, s, n);	//合并到数组b
		s += s;
		MergePass(b, a, s, n);	//合并到数组a
		s += s;
	}
}

其中,MergePass()用于合并排好序的相邻数组段.具体的合并算法由Merge()函数来实现.

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递归算法的完整代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[50], b[50];
template <class T>
void Merge(T nums[], T nums2[], int left, int i, int right);
void Copy(int *nums, int *nums2, int , int );  //函数提前声明
template <class T>
void MergeSort(T nums[], int left, int right)
{
    static int count = 1;
    if(left<right) //至少有两个元素
    {
        int m = (left+right)/2; //取中间位置
        cout<<"第"<<count++<<"次划分, left值为:"<<left<<" m值为:"<<m<<" right值为:"<<right<<endl;
        MergeSort(nums, left, m);  
        MergeSort(nums, m+1, right);
        Merge(nums, b, left, m, right);  //核心,用Merge函数来实现排序.
        Copy(nums, b, left, right);
    }  
}
template <class T>
void Merge(T c[], T d[], int l, int m, int r)
{
    static int count = 1;
    cout<<"第"<<count++<<"次合并,left值为:"<<l<<" m值为:"<<m<<" right值为:"<<r<<endl;
    // 把c[l:m], c[m+1:r]归并到d[l:r]
    int i = l, //第一段的游标
    j = m+1,   //第二段的游标
    k = l;    //结果的游标
    //只要段中存在i和j,则不断进行归并
    while((i<=m) && (j<=r))
    {
        if(c[i]<=c[j]) 
            d[k++] = c[i++];
        else 
            d[k++] = c[j++];
    }
    //考虑余下的部分
    if(i>m)  //右半部分还有剩余
    {
        for(int q=j; q<=r; q++)
            d[k++] = c[q];
    }
    else
    {
        for(int q=i; q<=m; q++)
            d[k++] = c[q];
    }
    // for(i=l; i<=r; i++)  //如果mergesort中不要copy这一个,则需要在这里添加此代码
    // { 
    //     c[i] = d[i];
    // }
}
void Copy(int *nums, int *nums2, int left, int right)
{
    for(int i=left; i<=right; i++)
        nums[i] = nums2[i];
}
int main()
{
    int n, num;
    while(cin>>n )
    {
        for(int i=0; i<50; ++i) a[i] = b[i] = 0;
        for(int i=0; i<n; ++i)
            cin>>a[i];
        MergeSort(a, 0, n-1);  //记住一定是n-1, 因为<=right,=====!!!!!
        for(int i=0; i<n; ++i) 
            cout<<a[i]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}

运行结果:

本篇文章参考毕方明老师《算法设计与分析》课件.
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