来都来了多更几篇

要学不完了。

简单记一点点。

由于 MathJax 居然不支持多重的环积分，我下面所有的多重环积分全部用 $$\oint$$ 来表示，能看懂就行。没时间调了啊啊啊啊啊啊啊啊啊来不及了要考试了啊啊啊啊啊啊啊啊

\[\iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ \;\;\large{\subset\!\supset} \]

这样子打：

\iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ \;\;\large{\subset\!\supset}

虽然有点抽象，但你就说打没打出来吧（

---

Gauss's Law

\[\iint_S{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ \;\;\large{\subset\!\supset} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A}} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0} \]

这个 \(\varepsilon_0\) 其实是真空的电容率。

直观理解就是每个电荷 \(q\) 能产生 \(\frac{q}{\varepsilon_0}\) 的电场线。

他能推库仑定律，就是你考虑一个点电荷 \(q\) 为中心，半径为 \(r\) 的球面，表面积是 \(4\pi r^2\)，然后因为整个球是中心对称的，于是我们就有：

\[\left\|\vec{E}\right\|\cdot A = \iint_S{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ \;\;\large{\subset\!\supset} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A}} = \frac{q}{\varepsilon_0} \]

于是乎：

\[\left\|\vec{E}\right\| = \frac{q}{4\pi r^2 \varepsilon_0} \]

如果不是真空，也就是如果有电解质（Dielectric，记住这个单词！！！）的话，就是你假设现在我有个平板电容中间是电解质。两个板子电荷密度分别为 \(\sigma_m\) 和 \(-\sigma_m\)。

然后把电场加上之后，会发现中间的 dielectric 因为正负电子被拉开然后产生一个电场，可以认为是在这个 dielectric 的边缘出现了 \(-\sigma_D\) 和 \(\sigma_D\) 的电荷。其中：

\[\sigma_D=\varepsilon_0\chi_e E \]

然后这个 \(\chi_e\) 就叫 electric susceptibility（电极化率），跟 dielectric 有关的一个数。

我们用用高斯定律就能得到一个：

\[\left\|\vec{E}\right\| = \frac{\sigma_m-\sigma_D}{\varepsilon_0} \]

然后我们跟上面的公式联立，就能得到：

\[\left\|\vec{E}\right\| = \frac{\sigma_m}{\varepsilon_0(1+\chi_e)} \]

于是乎：

\[V = \int \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \frac{\sigma_md}{\varepsilon_0(1+\chi_e)}=\frac{Qd}{\varepsilon_0(1+\chi_e)A} \]

我们让：

\[C = \frac{\varepsilon_0 (1+\chi_e)A}{d} \]

就能得到：

\[V = \frac{Q}{C} \]

然后我们就推了一下平板电容的公式，而其中这东西的电容率就是 \(\varepsilon_0 (1+\chi_e)\)。

然后我们考虑另一个结果就是其实我们就可以直接去认为电场穿过 dielectric 的时候，电场强度会变小，这个变小的倍数就是 \(1+\chi_e\)，于是乎我们可以改进一下这个方程：

\[\iint_S{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ \;\;\large{\subset\!\supset} \left(1+\chi_e\right)\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A}} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0} \]

Gauss's Law for Magnetism

同样很好理解，毕竟磁感线一定是个闭环：

\[\iint_S{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ \;\;\large{\subset\!\supset}{\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{A}}} = 0 \]

Faraday's Law

感应电动势等于磁通量的变化率：

\[\oint{\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iint_S{\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}} \]

Ampère's Law with Maxwell's Addition

就首先我们需要说的是 Ampère's Law：

\[\oint\vec{B}\mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0\sum I_\text{enc} \]

就和高斯定律很像的一个东西，其实就是每个 \(I\) 都会产生一个 \(\mu_0 I\) 的磁感线。

这个东西如果在电流恒定的情况下是对的，然后可以推 Biot-Savart Law：

\[\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{I\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}\times\hat{r}}{\left\|\vec{r}\right\|^2} \]

当然需要注意的是其中的 $$\hat{r}=\frac{\vec{r}}{\left|\vec{r}\right|}$$

证明上课没讲有空再推。

当然如果是单个粒子的话运动的话我们可以把 Biot-Savart Law 稍稍改一改：

\[\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \frac{q\cdot\vec{v}\times\hat{r}}{\left\|\vec{r}\right\|^2} \]

然后这个东西其实有一点小问题，就是你假设有一个电容，在一开始充电的时候电容里面那部分是没有电流的，他其实是一个电场的改变，就我们可以把它当成电流，而这其实是电场的改变率。于是乎我们在公式里加个项就可以了：

\[\oint{\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}} = \mu_0\sum I_\text{enc} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iint_S{\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A}} \]

当然 \(\iint_S{\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A}}\) 其实就是电通量的变化量了：

\[\oint{\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}} = \mu_0\sum I_\text{enc} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}\Phi_E}{\mathrm{d}t} \]

咋来的捏。

就考虑到：

\[I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{Q}{\varepsilon_0}=\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iint_S{\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A}} \]

于是乎我们有：

\[\oint\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \mu_0\left(\sum I_\text{enc} + \varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iint_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A}\right)=\mu_0\sum I_\text{enc} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iint_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A} \]