POI 2023/2024 R1 VP

100+100+100+41+100=441，而波兰有整整 69 位老哥分比我高。真是受不了了，在波兰都进不了集。

• T1

二分答案 \(k\)，枚举选了一个横着的长条（竖着可以转一下再做一遍，同理），现在要找从剩下的格子里面能否选出一个长度为 \(k\) 的长条。

一种情况是横着选，如果和第一个横着的选在了不同的行，整个行都能取到，否则只能去左边右边，前缀和算一算即可。

另一种情况是竖着选，如果在这个横着的左边或右边的列上，整个列都能取到，否则会被分割成一个前缀和一个后缀，预处理一下即可。时间复杂度 \(\mathcal O(n^2\log n)\)。

• T2

这个问题太不可做了，于是猜一手有循环节，然后就过了。

卡哈希，素质一。

证明不用分类讨论太多，你考虑把对应后缀建成一张图，一定是一个基环树，因为对于每个后缀而言，我只会不断增加他的众数，因此众数不会改变。那么基环树上跳就会得到一个 ρ 状路径，和循环节的形态相同。

时间复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\)。

• T3

出的真好。

把按钮作为边，将对应行列作为点连起来，现在问题转化为选出一个非空边集使得每个点度数奇偶性相同。

偶数是好搞的：拉一个环出来就是对的了。

奇数不太好搞。我们发现一个必要条件是连通块大小是偶数，因为奇数大小的度数和是奇数，矛盾；而对于任意偶数大小连通块，我们都一定可以构造，具体来说，考虑拉出一棵生成树，从底向顶构造就是正确的。

那么就做完了，时间复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

• T4

我只会 41 分，而波兰语题解看不懂，难受了。

41 分做法非常简单，考虑对于每个左部点，将他和连边的右部点全部设成字母 A，剩余左部点设成字母 B，剩余右部点设成字母 C，这样连边的限制就全部满足了。

接下来还要保证两边内部联通且两两不同，可以考虑二进制分组，每次把左部点全部设为 A，右部点中对应位是 1 的设为 B，是 0 的设为 C，不超过 \(n+2\log n\) 次操作。

• T5

首先，只选一组线段是典中典问题，按照右端点贪心即可。设答案为 \(ans\)。

我们发现，原问题一定存在 \(=ans-1\) 的一组解：具体而言，把弱化问题的前 \(ans-1\) 条线段都和第 \(ans\) 条匹配即可。而原问题的答案不可能超过 \(ans\)，因此只需要判定能否取到 \(ans\) 即可。这就简单了，还是按照右端点贪心，每次两个两个加入即可。时间复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\)。