算法复习

省选前最后一周了，对照大纲过一遍，每个算法稍微写一点自己的理解与板子记忆技巧。

感觉很多东西还是之前听别人讲的时候学的似懂非懂......导致现在看起来好像啥都会一点实际上好像啥也不会，每次越临近考试就会感觉整个人很虚无啊......反正不是很好受。

主要写一些我不太会的，所以没啥参考意义。

数论

把不熟的板子题写一遍，exLucas 学一下。

• exgcd【7】

用于解决形如 \(ax+by=c\) 的整数域不定方程，有解的条件是 \(\gcd(a,b)|c\)（裴蜀定理 【7】）。

具体地，对于方程 \(ax+by=c\)，辗转相除构造 \(a=b',b=a \bmod b\) 的解 \((x',y')\)，那么 \(x=y'\)，\(y=x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y'\)，边界条件 \(b=0\) 时 \(x=1,y=0\)，容易验证其正确性。

得到是一组特解，如果需要求最小最大解 / 正整数解之类的其他要求，直接调整即可。所有解和特解的关系形如 \(x=x_0+kb/g,y=y_0-ka/g\)，其中 \(g=\gcd(a,b)\)。

void exgcd(ll a,ll b,ll&x,ll&y){
	if(!b)return x=1,y=0,void();
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}

• 费马小定理 【7】

\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)，\(p\) 是质数，常用于求模质数意义下的逆元。

• 威尔逊定理 【7】

\((p-1)!\equiv -1\pmod p\)，证明考虑两两分组乘起来。

• 欧拉定理和欧拉函数 【7】

欧拉函数 \(\varphi(n)\) 表示 \([1,n]\) 中与 \(n\) 互质的正整数个数，是积性函数，可以线性筛求。

常用结论：\(\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n\)，证明考虑组合意义。

（扩展）欧拉定理：当 \(b\ge \varphi(p)\) 时 \(a^b\equiv a^{b\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\pmod p\)（欧拉降幂法）

• exCRT 【7？】

exCRT 可以完全替代 CRT。

要求形如 \(x\equiv a_i \pmod {p_i}\) 的方程组。

考虑依次合并各个方程组，那么现在问题变为，已知前 \(i-1\) 个方程组的某个解为 \(x\)，前 \(i-1\) 个 \(p\) 的 LCM 为 \(M\)，那么调整这个 \(x\)，加上 \(M\) 的倍数使得 \(x\) 满足第 \(i\) 个方程组。用形式化的语言描述就是 \(x+Mt\equiv a_i\pmod{p_i}\)，移项得到 \(Mt\equiv a_i-x\pmod{p_i}\)，可以表示为 \(Mt+p_is=a_i-x\) 的二元一次不定方程的形式，用 exgcd 解决。

• 原根和指数 【8】

阶：对于 \(a,m\)，\(a\) 在 \(\bmod m\) 意义下的阶定义为最小的 \(p\) 满足 \(a^p\equiv 1\pmod m\)。

原根：阶为 \(\varphi(m)\) 的 \(a\)。

如果求得了一个原根 \(a\)，那么可以得到所有原根 \(a^k\)，其中 \(\gcd(k,\varphi(m))=1\)，所以如果一个数有原根，个数一定是 \(\varphi(\varphi(m))\)。

\(2,4\) 和形如 \(p^{k},2p^{k}\)（其中 \(p\) 是奇质数）的数有原根。

检验一个数 \(x\) 是否是原根，需要满足 \(x^{\varphi(m)}=1\)，且 \(x^{\varphi(m)/p}\neq 1\)，其中 \(p\) 为 \(\varphi(m)\) 的质因子。

最小原根是 \(\mathcal O(n^{1/4})\) 级别的。

常用技巧：将乘法问题通过求原根的离散对数转化为加法问题。

• exBSGS 【8】

主要思想：meet in the middle。

目标：求解 \(a^x\equiv b\pmod p\)。

设 \(t=\sqrt(2\varphi(p))\)，那么预处理出 \(a^{kt}\) 和 \(a^{k}\)（\(k\in [0,t]\)）。

设 \(x=ft-g\)，那么枚举 \(g\le t\)，一个必要条件是 \(a^{ft}\equiv ba^g \pmod p\)，找到对应的 \(f,g\) 中的前两个，带回检验（条件不是充分的）。只需要代入前两个是因为循环成 \(\rho\) 形，只有前两次有效。

存储使用 unordered_map 或者 gp_hash_table。

顺便 mark 一下这个 pbds 咋用：需要引入头文件 #include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>，并 using namespace __gnu_pbds，剩下和 unordered_map 一样用就行了。

• exLucas 【？】

求 \(\binom{n}{m}\bmod p\)，\(n,m\le 10^{18},p\le 10^6\)。

将 \(p\) 分解为若干个形如 \(p^k\) 的子问题，最后用 exCRT 合并，下面考虑一个 \(p^k\) 的求解方式。

不能方便地计算 \(\binom{n}{m}\) 的问题主要在于包含质因子 \(p\) 的数不能求逆元，所以不妨先把所有的 \(p\) 分解出来。记 \(c(x)\) 为 \(x\) 包含的 \(p\) 因子个数，可以 \(\mathcal O(\log n)\) 求出一个 \(c(x)\)。现在要做的就是计算形如 \(\frac{n!}{p^{c(n!)}}\) 的事情，最后答案乘上多出来的 \(p\) 因子。设 \(f(n)\) 为如上这件事情，那么可以分治到规模为 \(n/p\) 的子问题，要乘上 \(n/p^k\) 个 \([1,p^k]\) 中非 \(p\) 倍数的数的乘积，这件事可以预处理。现在就可以 exgcd 求逆元了，复杂度 \(\mathcal O(p\log p)\)。

• 莫比乌斯反演 【9】

• 二次剩余 【10】

可能是你大纲最简单的 10 级，可以会一下。

目标：求解 \(x^2\equiv n\pmod p\)。

定义勒让德符号 \((n/p)\) 为：\(n\) 在 \(\bmod p\) 意义下为二次剩余时 \(=1\)，\(n\equiv 0\pmod p\) 时等于 \(0\)，否则等于 \(-1\)。

判断勒让德符号：当 \(p\) 为奇质数时，\(n^{(p-1)/2}\equiv 1\pmod p\) 说明 \(n\) 是二次剩余。

求解二次剩余运用 Cipolla 算法。首先，随机出一个 \(t\) 满足 \(t^2-n\) 不是二次剩余，设 \(w^2\equiv t^2-n\pmod p\)（虚数单位），那么可以构造 \((n+w)^{(p+1)/2}\) 为合法的二次剩余。

二次剩余相关的一些性质（\(p\) 为奇质数）：两两配对和为 \(p\)，\([1,p-1]\) 中恰好一半是二次剩余。

数据结构

把板子过一遍，重点是平衡树。

• 平衡树 【8】

熟练写的只有 fhq treap，虽然可能因为一个月没写过平衡树题了又变得不熟练了，不讲了。这几天打两遍板子。

• 可合并堆 【8】

pbds 启动。

• 虚树 【10】

虚假的十级算法。

一个简单的虚树建法：把关键点拿出来按照 dfs 序排序，将相邻的 lca 加入后再次排序并去重，此时 \(LCA(a_{i-1},a_i)\) 就是 \(a_i\) 在虚树上的父亲，比那个栈方法不知道高到哪里去了。

记得写一道没写过的板子题，比如消耗战。

图论

• tarjan：强连通，边双，点双，割点，割边，圆方树 【7】

强连通：记录 dfs 栈，遍历结束后 low[x]==dfn[x] 判断。

边双：找割边，对于 \((x,y)\)，如果 low[y]>dfn[x] 说明回不去，是割边。边双只要把割边断开搜一遍就行了。

割点：对于非根节点，只要存在一个儿子能回到的最高点在 \(x\) 子树内 low[y]>=dfn[x] 就说明 \(x\) 是割点，对于根节点需要判断儿子个数 \(\ge 2\)。

点双：和找割点类似，每次出现 low[y]>=dfn[x] 就不断弹出搜索栈中的节点，直到出现 \(y\)，并把 \(x\) 也加入这个分量里，注意特判孤立点。

圆方树：每个点双往一个方点连边，连成菊花就行了。

还有一个玩意儿叫做 Kosaraju，可以用 bitset 优化。我会背板子，牛牛牛。

没想到 NOI2023 后的半年居然能一遍全部写对。

• 次小生成树 【7】

• 次短路 【7】

• 欧拉路 【6】

H 开头忘了叫啥算法了。反正一路 dfs，记一下当前弧，最后倒着输出就行了。注意判无解。

如果用前向星写的话，注意字典序的排序应该是反的。

• 2-SAT 【8】

一般会拆点 \((x,0)\) \((x,1)\) 表示选 \(0/1\)，那么 \(x=i\) 必须推出 \(y=j\) 就可以写成 \((x,i)\) 向 \((y,j)\) 连边的形式，如果 \((x,0)(x,1)\) 在同一个强连通分量里就无解。

构造方案的时候如果 \((x,0)\) 的强连通分量编号小于 \((x,1)\) 那么取 \(0\)，否则取 \(1\)。

• 网络流 【8】

板子我会打，真牛。

上下界，不太会。

• 匈牙利算法 【8】

板子我会打，真牛。

好像打的不太好，抽空重打。

• KM 算法 【9】

板子我不会打，真不牛。

数学

• 高斯消元法 【7】

板子不太会打，难受了。

现在会了。舒服了。

• 群论，burnside，polya 【9】

这个可以先开摆。

• Stirling 数 【9】

• Prufer 序列 【9】

• 行列式，LGV 【9】

板子不太会打，难受了。

• 向量空间与线性相关 【9】

• 快速傅里叶变换 【10】

• SG 函数 【9】

sg 函数的定义是其所有后继状态的 sg 函数的 mex，其中无出边的状态 sg 值为 \(0\)。

多重游戏的结论是：所有状态 sg 异或和 \(\neq 0\) 先手胜。

• 计算几何 【摆了】

字符串

• KMP 【5】

板子我会打，牛牛。

• Manacher 【8】

考虑实时维护当前所有回文串中右端点最靠右的，设其回文中心为 \(id\)，右端点为 \(r\)。

那么计算 \(i\) 的回文半径的时候可以直接从 \(\min(r-i+1,R_{2\times id-i})\) 开始枚举（因为 \([id-r+1,id+r-1]\) 是回文的，所以 \(i\) 的问题可以到 \(i\) 的对称点记录，并且不能超过最大的长度），然后枚举就是均摊线性的了。

注意添加分隔符以计算长度为偶数的回文串并避免越界。

• SA 【8】

• ACAM 【8】

板子在 bfs 建 fail 树的时候两处都是 ch[fail[u]][i]，总是写错，有点难受。

问题可以试着放到 fail 树上看。

求出现次数可以认为是求作为每个前缀的后缀次数。比如说求 \(t\) 在 \(s\) 中的出现次数，可以先找到 \(s\) 的前缀状态 \(s_1,\dots s_n\)，那么出现次数就是 \(t\) 的子树内 \(s\) 状态的个数。

• exKMP 【9】

• SAM 【10】

杂项

• A，IDA 【7】

• dp 的各种优化方法

• pbds 的使用方法

• lg / loj 上的一些其他模板。